巨克满数学模型

数学模型与实验报告 学院 数理学院 学号 20091001332 班级 121091 姓名 巨克满 一 圆管缠布条的长度 用宽 w 的布条缠绕直径 d 的圆形管道 要求布条不重叠 问布条与管道轴 线的夹角 应多大 如下图 若知道管道长度 需用多长布条 可考虑两端的影 响 如果管道是其他形状呢 解 1 取布条的边缘宽度为带宽 则可将此看成在管道上的上升的螺旋曲线则 满足螺旋方程 2 2 为上升旋转的角度 2 设曲线上一点恰好延曲线运动 2 上升的高度恰好为 L 带入上面方程则有 要使布条不重叠则上升一周的高度 L 恰好为 所以有 解得 2 设已知的管道长度为 l 需要布带长度为 s 不考虑两边影响时 布带覆盖 道 则两者表面积应相等 所以有 解得 如果是其他形状只需要知道管道截面周长 h 则可知表面积 hl 利用表面可 求出所需布带长度为 将管道展开如图 4 可 若 d 一定 1 sin 若管道长度 为 l 不考虑两端的影响时布条长度显然为 若考虑两 端的影响 则应加上 对于其它形状管道 只需将 改为相应的周长即可 建立程序建立程序 function arfa chang suru d w l arfa atan 3 14 d w chang l w sqrt w 2 d 2 2 sqrt d 2 w 2 运行结果运行结果 假设 d 3 w 1 l 9 运行程序结果如下 suru 2 1 9 arfa 1 4129 chang 23 5887 ans 1 4129 1 4129 0 45 w d 二 保姆服务公司年招聘计划 一 摘要 问题简述 保姆公司根据下一季度的整个市场对保姆的需求进行招聘 培训 然后从 主那里收取费用 并按月给保姆进行工资的发放 保姆从保姆公司领取工资 而不直接从雇主那里领取 由于每个季度对保姆数量的需求是变化的 因此公 司要在每个季度根据这个季度的需求量合理地进行招聘 以使公司在年底的时 候能够达到最大的利润 下面是本题题目 一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务 根据估计 下一年的需求 是 春季 6000 人日 夏季 7500 人日 秋季 5500 人日 冬季 9000 人日 公司 新招聘的保姆必须经过 5 天的培训才能上岗 每个保姆每季度工作 新保姆包 括培训 65 天 保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬 每人每月工资 800 元 春季开始公司拥有 120 名保姆 在每个季度结束后 将有 15 的保姆自动 离职 1 如果公司不允许解雇保姆 请你为公司制定下一年的招聘计划 哪些 季度需求的增加不影响招聘计划 可以增加多少 2 如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆 请为公司制定下一年的招 聘计划 问题分析 首先保姆公司一定要满足本季度的需求 不能出现某个雇主没有保姆服务 的情况 则必须是本季度招聘保姆加上上一季度剩余的保姆大于本季度需求数 另外能不能解雇保姆是会影响招聘计划的 二 模型假设及符号说明 模型假设 这个题目根据上面的分析可知是一个规划问题 而且是整数规划问题 问 了解这个题目 需要做以下假设 A 本季度所有的保姆 包括招聘的和上季度留下的保姆 都能够在本季 的每天都上班 B 保姆公司不能够解雇保姆 后面再单独讨论公司能够借助保姆的情况 C 保姆公司能够在每一季度开始招聘到公司预定招聘数量的保姆 D 保姆公司每一季度对雇主收取的费用一定 符号说明 保姆公司对雇主收取的费用 单位 元 人 天 公司在每个季度招聘的人数 单位 分别为 人 1 2 3 4 总利润 单位 元 三 模型的建立 分析 A 春季 人数 单位 人 1 120 6000 支出 单位 元 120 1 3 800 收入 单位 元 120 5 6000 85 B 夏季 人数 单位 人 1 120 0 85 2 7500 支出 单位 元 1 120 0 85 2 3 800 收入 单位 元 1 120 0 85 5 7500 86 秋季 人数 单位 人 1 120 0 85 2 0 85 3 5500 支出 单位 元 1 120 0 85 2 0 85 3 3 800 收入 单位 元 1 120 0 85 2 0 85 3 58 5500 87 冬季 人数 单位 人 1 120 0 85 2 0 85 3 0 85 4 9000 支出 单位 元 1 120 0 85 2 0 85 3 3 800 收入 单位 元 1 120 0 85 2 0 85 3 58 9000 87 年利润 总收入 总支出 可以表示为下式 120 5 6000 85 1 120 0 85 5 7500 86 1 120 0 85 2 0 85 3 58 5500 87 1 120 0 85 2 0 85 3 58 9000 87 120 1 3 800 1 120 0 85 2 3 800 1 120 0 85 2 0 85 3 3 800 1 120 0 85 2 0 85 3 3 800 模型 上面的式子整理后的模型如下 max 10 933125 7467 9 1 7 8625 6714 2 4 25 4400 3 2400 4 2418411 975 917448 1 120 6000 1 120 0 85 2 7500 1 120 0 85 2 0 85 3 5500 1 120 0 85 2 0 85 3 0 85 4 9000 四 模型的求解 利用 MATLAB 软件求解 需要的函数是 linprog 函数 而这个函数是求解最 小值的以及其他的一些原因 需要对上面的公式进行修改以利用软件求解 修 改过后的式子如下 min 0 10 933125 7467 9 1 7 8625 6714 2 4 25 4400 3 2400 4 2418411 975 917448 令 1 因为 a 的值不会影响 z 在何时取最大值 同时可以在计算时可略去 z 中的 常数项 所以为简化计算 才有上面假设 则有下面的式子 min 1 7456 966875 1 6706 1375 2 4395 75 3 2400 4 1 5880 0 85 1 2 7398 0 852 1 0 85 1 3 5413 3 0 853 1 0 852 2 0 85 3 4 8926 305 则的矩阵 7456 966875 6706 1375 4395 75 2400 1 0 0 0 0 85 1 0 0 0 852 0 8 1 0 0 853 0 852 0 85 1 5880 7398 5413 3 8926 305 五 结果表示 根据 MATLAB 中输入上面的数据计算出的向量是 5880 2400 0 3301 8 则的出现下一年的招聘计划为 春季招聘 5880 人 夏季招聘 2400 人 秋季不招聘 冬季招聘 3302 人 这样就可以是在上面假设情况下让公司的年底利润达到最大 这是在不允 许保姆公司解雇保姆的情况下计算出的 从上面的数据可以看出 在秋季需求的增加是不会影响招聘计划的 因为 这一季度需求小于上一季度的需求 可以增加 2000 人日 下面讨论若允许公司解雇保姆 公司的招聘计划 由于可以解雇 则每一季度的招聘应该是干好满足这一季度的需求 下一 季度学要的人数若超过留下的人数 则招聘不足的人数的保姆 若留下的人数 多于需求 则解雇多出的部分保姆 这样公司的利润就可以达到最大 在这种 情况下 下一年的招聘计划为 春季招聘 5880 人 夏季招聘 2400 人 秋季不招聘 解雇 450 人 冬季招聘 4325 人 六 模型评价 这个模型假设的是每一季度的保姆能每天上班只要需要 但是实际情况往 往不是这样 总需要多招聘