组合投资的收益和风险问题-建模

1 组合投资的收益和风险问题组合投资的收益和风险问题 摘要摘要 本文讨论了组合投资的收益和风险问题 首先 根据题中表一给出的数据用目标 规划的方法建立数学模型 然后用 lingo 求其最优解 得到了五年内的最佳投资方案 并得第五年末所得最大利润为 174140 5 万元 问题一得到了解决 根据表二所给数 据用灰色预测对这八个项目独立投资时今后五年各项目的到期利润率 风险损失率进 行了预测 具体数据见文中表 2 接着根据表三所给数据用灰色预测和灰色关联度对这 八个项目在同时投资情况下今后五年的到期利润率和风险损失率进行了预测 具体数据 参考文中表 3 此时问题二得到了解决 对于问题三 我们用第二问得到的结果 表 2 的前两行和表 3 用含参变量的非线 性规划及整数规划 整数 0 1 规划综合对此问题建立了数学模型 之后再次用 lingo 对此模型进行了求解 得第五年末可得最大利润 452525 万元 对于问题四 我们 m 主 要应用了多目标非线性规划 对此规划进行解决时我们又用了偏好系数加权法 最终 在 lingo 上针对此模型编程序 得到了不同权系数下的最佳投资方案 当取值属于 0 012 0 3 之间时 最大利润 R 的取值比较稳定 大致处于 43 47 43 8 之间 当 取值在 0 5 附近如 0 51 0 55 时 R 的值出现了反常现象 有一个峰顶和特低谷 可能 是因为在利润和风险的注重程度相当时不好做决策 从 0 7 之后 R 的取值与大致成 反比 开始下降 对于问题五 采用与问题四类似的方法解决 题中采用银行利率 0 025 贷款利率 0 07 取权重为 0 2 时得的最大利润 R 516256 万元 关键字 目标规划 灰色预测 灰色关联度 偏好系数加权法 一一 背景 背景 2 现在投资成了人们的热门话题 就连普通的市民都热衷于各种投资 对持有大量 资金的企业来说更是如此 但 在现有资金一定的情况下怎样才能使得所得利润最大 怎样应对风险 或在利润和风险同时较大的情况下如何合理安排投资 这成了人们越 来越关注的问题 二 问题重述二 问题重述 1 根据附件 1 中表一的数据对问题一进行分析 即在现有资金 20 亿 共有可投资 项目八个的情况下对这笔资金进行合理安排 使得五年内所得利润最大 2 根据附件 2 中表二和表三的数据 预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影 响下的投资的到期利润率和风险损失率 3 未来 5 年的投资计划中 还包含一些其他情况 a 对投资项目 1 公司管理层争取到一笔资金捐赠 若在项目 1 中投资超过 20000 万 则同时可获得该笔投资金额的 1 的捐赠 用于当年对各项目的投资 b 项目 5 的投资额固定 为 500 万 可重复投资 其中各投资项目的投资上限见表 4 在此情况下 根据问题二预测结果 确定 5 年内如何安排 20 亿的投资 使得第 五年末所得利润最大 4 考虑到投资越分散 总的风险越小 公司确定 当用这笔资金投资若干种项目时 总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量 如果考虑投资风险 问题三的投资问题又应该如何决策 5 为了降低投资风险 公司可拿一部分资金存银行 为了获得更高的收益 公司可在银行贷款进行投资 在此情况下 公司又应该如何对 5 年的投资进行决 策 三 三 问题的分析问题的分析 1 我们对风险损失率一词的理解为 实际到期利润率 预测到期利润率 2 我们对重复投资一词的理解为 对于项目 5 若投其资金额固定为 500 万 且一年之 内可以对项目 5 进行多次投资 即若某年项目 5 投资 则此年内项目 5 的投资金额 必是 500 万的整数倍 3 所谓总体风险我们定义为 项目 i 第 j 年的投资额与相应的风险率乘积即 ij x ij b q q 即为我们所说的总体风险 符号的具体含义见符号 ij q ij x ij b 1 8 1 5 max i j ij q 说明 四 四 模型假设模型假设 1 我们假设财务分析人员给的数据相对准确 2 对于问题三我们假设不考虑风险 3 假设公司每年年初从银行贷款额不超过公司现有资金 设每年年初贷款额为 j 1 5 j yy 4 假设 5 年之中不管哪一年贷款均在第五年年末还 5 假设每年的银行存款都是在该年年末取回本金和利息 3 6 假设五年内银行存款率和贷款利率不变 分别为 r 0 025 t 0 07 五五 符号说明符号说明 1 表示项目 i i 1 8 在第 j j 1 5 年的投资额 其中 ij x 71 x i 4 8 i 3 8 都为 0 81 x 82 x 73 x 4i x 5i x 2 表示第 j j 1 5 年末公司的现有资金 即可用于投资的资金数额 其中 j y 200000 0 y 3 表示项目 i 的到期利润率 i 1 8 i c 1 4 表示项目 i 第 j 年的到期利润率 i 1 8 j 1 5 ij c 5 表示项目 i 第 j 年单独投资时的到期利润率 表示项目 i 第 j 年与相应的项 ija c ija c 目同时投资时的到期利润率 所谓与相应的项目同时投资是指 如项目 3 和项目 4 项目 5 和项目 6 项目 5 6 和项目 8 6 表示项目 i 第 j 年的投资额与相应的风险率的乘积 即 ij q ij x ij b ij q ij x ij b 7 q 为我们所说的总体风险 即 q max 5 1 8 1 j i ij q 8 与的大小有关 当 20000 时 1 当 20000 则 若 20000 则 0 同理对其他式子作同样的处理 11 x 11 x 1o x 11 x 11 x 1o x 第二次转化 对 1 中 1 作处理 令 2 y 1 y 02 x 12 x 8 1 2 i i x 2 1 22 1 i ii xc 4 3 11 1 i ii xc 1 i c 1 i x 当 i 3 4 同时投资时 当他们不同时投资时 1 i c 1 i c 1 i x 1 i x 1 i c bi c 11 i x 1 i c 这时 1 转化为 同理处理其他式子 这时我们已经将原来的 ai c 11 i x 1 i c 1 i x 1 i c 1 i x 规划大大简化 这时我们在 lingo 上编程 利用 lingo 求解 具体结果见下面的表 4 和表 5 还有我们 的叙述如下 R 452525 万元 即第五年末获得的最大利润为 452525 的取值参看下表 ij x 表 4 单位 万元 10 j i 12345 123362 570021252 2560000 260000006000060000 335000010099350000 41166000300000 530000300003000000 64000040000000 7030000000 8003000000 由表 3 可以看出 第一年项目 3 4 同时投资 项目 5 6 同时投资 第二年项目 5 6 同时投资 第三年项目 3 4 单独投资 项目 5 6 8 分别单独投资 第四年项目 3 4 同时投资 的取值见表 5 j x0 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 1 0 0 1 1 从此表可以得出 项目 1 在 2006 2009 2010 年的投资额超过了 20000 万元 同时我们得到了的值 60 60 60 所以我们得到项目 5 在 2006 2008 j n 1 n 2 n 3 n 年都进行了重复投资 且重复投资的次数为 60 次 综上所述 问题三得到了很好的解决 4 问题四 问题的分析和模型的建立 基于投资越分散 总的风险越小 故利润和风险共同影响公司投资决策 即投资 的目标有两个 一是要求尽可能使得利润最大 一是尽可能使得总体风险最小 根据上面的分析我们在问题三的基础上再加上一个目标函数 min q max 5 1 8 1 j i ij q 另外加上约束条件 i 1 8 j 1 5 ij q ij x ij b q i 1 8 j 1 5 ij q 此时的问题成了多目标非线性规划 max R min q 5 y 0 y max 5 1 8 1 j i ij q 为了解决此问题利用偏好系数加权法 将多目标规划转化为单目标规划 即 目标函数转化为 max Q 1 y5 y0 q 11 约束条件为 1 j 1 8 1i ij x 1 j y j x1 060000 j 1 5 i x1 060000 j 1 5 j x2 035000 j 1 5 j x3 030000 j 1 5 j x4 030000 j 1 5 j x5 040000 j 1 5 j x6 030000 j 1 5 j x7 030000 j 1 5 j x8 i 1 8 j 1 5 ij q ij x ij b q i 1 8 j 1 5 ij q 其中 权重数 1 与分别表示投资者对净收益大小和总体投资风险两者的重视程度 所以的大小带有主观因素 主要由投资公司决定 的取值范围为 0 1 越大 表示投资者越重视总体风险的大小 也即希望风险尽可能的小 当 1 时 表示投资 者极端厌恶风险 此时如有无风险的所供投资项目存在 则这时投资者会毫不犹豫地 选取无风险项目进行投资 如 0 时 则这种为无视风险 一味追求期望净收益 运用参数规划技术得到有效投资方案 为此公司决策提供定量的依据 具体数据我们 根据的不同取值得到了相应的 R 值 利用 MATLAB 打散点图 见下图 单位 亿元 由 此图 12 可以看出 当取值属于 0 012 0 3 之间时 最大利润 R 的取值比较稳定 大致处于 43 47 43 8 之间 当取值在 0 5 附近如 0 51 0 55 时 R 的值出现了反常现象 有 一个峰顶和特低谷 可能是因为在利润和风险的注重程度相当时不好做决策 从 0 7 之 后 R 的取值与大致成反比 开始下降 下面我们仅列出 0 2 时的最佳方案 参看表 6 表 6 元素 ij 表示项目 i 第 j 年的投资额 单位 万元 j i 12345 116247 82006107 02760000 260000006000060000 33500000350000 426362 1100300000 530000300003000000 632390 07316611430963 1000 7030000000 8003000000 由表 6 可以看出 第一年项目 3 4 同时投资 项目 5 6 同时投资 第二年项目 5 6 同时投资 第三年 项目 5 6 8 同时投资 第四年项目 3 4 同时投资 的取值见表 7 j x0 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 0 0 0 0 1 从此表可以得出 项目 1 只有在 2010 年的投资额超过了 20000 万元 同时我们得到了的值 60 60 60 所以我们得到项目 5 在 2006 2008 j n 1 n 2 n 3 n 年都进行了重复投资 且重复投资的次数为 60 次 综上所述 问题四得到了解决 5 问题五 题的分析 考虑公司从银行贷款取决于公司资产总额 因向银行贷款需有贷款低压 但本文 没有指明公司是否可通过其他渠道获得额外的资金作为低压贷款 故模型简化为公司 每年年初从银行贷款额不超过公司现有资金 模型假设 1 设公司每年年初从银行贷款额不超过公司现有资金 2 设每年年初贷款额为 j 1 5 j yy 3 设 5 年之中不管哪一年贷款均在第五年年末还 4 假设每年的银行存款都是在该年年末取回本金和利息 5 假设五年内银行存款率和贷款利率不变 分别为 r 0 033 t 0 075 模型建立 13 由于本题考虑到将银行存款也作为一种投资方式 且无风险 所以将银行存款作为 第 9 个投资项目且风险率为 0 用表示第 j 年存款金额 再加上考虑每年的贷款 在 j x9 第四问所建模型的基础上建立模型五 如下 1 1 r 1 y 0 y 1 yy 01 x 11 x 8 1 1 i i x 2 1 11 1 i ii xc 91 x 1 1 r 2 y 1 y 2 yy 02 x 12 x 8 1 2 i i x 2 1 22 1 i ii xc 4 3 11 1 i iii xc 92 x 1 3 y 2 y 3 yy 03 x 13 x 8 1 3 i i x 2 1 33 1 i ii xc 4 3 22 1 i ii xc 6 5 11 1 i ii xc 1 r 93 x 1 4 y 3 y 4 yy 04 x 14 x 8 1 4 i i x 2 1 44 1 i ii xc 4 3 33 1 i ii xc 6 5 22 1 i ii xc 1 r 94 x 1 5 y 4 y 5 yy 05 x 15 x 1 8 1 5 i i x 2 1 55 1 i ii xc 4 3 44 1 i ii xc 6 5 33 1 i ii xc 72 c 1 1 r 72 x 83 c 83 x 95 x 目标函数 max Q 1 y5 y0 q 15 5 1 1 j j j tyy R y5 y0 15 5 1 1 j j j tyy 另外加上约束条件 0 200000 1 10 x11 11 100 x21 x31 x41 x51 x61 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x72 0 200000 1 10 x11 11 100 x21 1 4 x31 27 100 x41 x51 x61 1 10 x12 11 100 x22 x32 x42 x52 x62 x72 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x83 0 200000 1 10 x11 11 100 x21 1 4 x31 27 100 x41 9 20 x51 1 2 x61 1 4 x32 27 1 00 x42 x52 x62 x72 11 100 x22 1 10 x12 x53 11 100 x23 1 10 x13 x33 x43 x83 x63 x24 x14 x34 x44 0 200000 1 10 x11 11 100 x21 1 4 x31 27 100 x41 9 20 x51 1 2 x61 1 4 x32 27 1 00 x42 9 20 x52 1 2 x62 x72 11 100 x22 1 10 x12 x53 11 100 x23 1 10 x13 1 4 x33 27 100 x43 x83 x63 11 100 x24 1 10 x14 x34 x44 x15 x25 0 以上条件限制为每年用于投资的实际金额不能超过现有资金 x11 60000 x12 60000 x13 60000 x14 60000 x15 60000 x21 30000 x22 30000 x23 30000 x24 30000 x25 30000 x31 40000 x32 40000 x33 40000 x34 40000 x41 30000 x42 30000 x43 30000 x44 30000 x51 30000 x52 30000 x53 30000 x61 20000 x62 20000 x63 20000 x72 40000 16 x83 30000 以上条件为各项目的最大投资上限 问题二程序 程序 1 function s fun1 a 输出利润率 a为输入向量 n length a x zeros n 2 1 y zeros n 2 1 for i 1 n 2 x i a 2 i 1 y i a 2 i 记录奇数与偶数位置的数据 end x y s y x 程序 2 function s t GYC x0 输出预测值 向量 和残差 向量 x0 为输入的利润率 向量 n length x0 c min x0 if c 0 x0 x0 c 1 若最小值小于 则做平移 end x1 cumsum x0 生成一次累加序列 r ones 1 n 1 for k 2 n r k 1 r k 1 x0 k x1 k 1 end rho r z1 zeros 1 n 1 for k 2 n z1 k 1 0 5 x1 k 0 5 x1 k 1 end z1 B z1 ones n 1 1 Y x0 2 n YN Y a inv B B B YN y1 1 x0 1 for k 2 n 5 y1 k x0 1 a 2 a 1 exp a 1 k 1 a 2 a 1 end y1 y zeros 1 n 1 17 y 1 y1 1 for k 2 n 5 y k y1 k y1 k 1 end y if c 0 y y c 1 end y 预测值 e1 x0 y 1 n e e1 2 n 残差 dd zeros 1 n 1 for k 2 n dd k 1 abs e k 1 x0 k end dd 相对误差 s y t e 问题二的相关数据 各项目独立投资时的利润率 风险损失率 年份 项目 2004200520062007200820092010 利润 0 14 390 14320 14250 1420 1410 1400 140 项 目 1风险 损失 率 0 00 10 0010 0020 0020 0020 0023 0 0025 31 利润 0 20 5 0 2115 78 0 2183 67 0 2253 75 0 2326 07 0 2400 71 0 2477 75 项 目 2风险 损失 率 0 00 19 0 0019 52 0 0020 53 0 0021 54 0 0022 55 0 0023 56 0 0024 58 利润 0 33 5 0 3329 86 0 3306 71 0 3283 73 0 3260 9 0 3238 24 0 3215 73 项 目 3风险 损失 率 0 00 57 0 0070 09 0 0083 42 0 0096 76 0 0110 12 0 0123 5 0 0136 89 利润 0 36 69 0 3829 74 0 3997 83 0 4173 29 0 4356 46 0 4547 67 0 4747 26 项 目 4风险 损失 率 0 00 05 0 0006 03 0 0007 22 0 0008 4 0 0009 58 0 0010 77 0 0011 95 项 目 5 利润 0 8116 14 0 7798 94 0 7484 51 0 7172 82 0 6863 85 18 风险 损失 率 2 7121 46 2 6940 05 2 6759 85 2 6580 85 2 6403 06 利润 1 7172 36 1 8740 82 2 0368 48 2 2057 57 2 3810 41 项 目 6风险 损失 率 2 4809 43 2 4868 14 2 4926 99 2 4985 98 2 5045 11 利润 3 1780 91 3 3227 95 3 4690 17 3 6167 74 3 7660 83 项 目 7风险 损失 率 10 692 86 10 712 03 10 731 22 10 750 44 10 769 69 利润 1 7920 24 1 8239 78 1 8561 39 1 8885 09 1 9210 88 项 目 8风险 损失 率 3 2421 15 3 2594 61 3 2768 68 3 2943 35 3 3118 64 相关项目投资时的利润率 风险损失率 0 001090 0012750 0014590 0016440 0018290 002014 1 2245041 3007881 3794791 4606531 544389 项 目 31 2218321 2265591 2313051 2360681 24085 0 9874211 0201791 0532861 0867471 120564 项 目 42 03882 0338152 0288422 0238822 018933 1 0919971 1359581 1806421 2260621 27223 项 目 51 3970141 3717021 3468491 3224471 298486 0 5660160 546170 5264940 5069840 487641 项 目 61 9979732 0438732 0908282 1388622 187999 1 0363260 9911940 9467320 9029290 859776 项 目 72 0365732 0466772 056812 066972 077159 0 5241720 5300850 5360640 5421110 5482260 554411 项 目 80 0018140 0020380 0022630 0024870 0027110 002936 问题三的程序 max y5 y0 y5代表五年末总收益 y0代表公司现有投资总额 19 y0 200000 y1 y0 0 01 x01 x11 x21 x31 x41 x51 x61 1 0 1425 x11 1 0 2183 x21 y1代表第一年末可用于下一年投资的钱 y2 y1 0 01 x02 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x72 1 0 1418 x12 1 0 2254 x22 x31 c31 x41 c41 y2代表第二年末可用于下一年投资的钱 y3 y2 0 01 x03 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x83 1 0 1411 x13 1 0 2326 x23 x32 c32 x42 c42 x51 c51 c61 x61 y3代表第三年末可用于下一年投资的钱 y4 y3 0 01 x04 x14 x24 x34 x44 1 0 1404 x14 1 0 24 x24 c33 x33 c43 x43 c52 x52 c62 x62 代表第四年末可用于下一年投资的钱 y5 y4 0 01 x05 x15 x25 1 0 1398 x15 1 0 2478 x25 c34 x34 c44 x44 c53 x53 c63 x63 1 3 3227 x72 c83 x83 代表第五年末此公司拥有的所有资金总额 x01 if x11 ge 20000 x11 0 x01 x02 x03 x04 x05分别代表每年投资于 项目1获得捐赠资金 x02 if x12 ge 20000 x12 0 x03 if x13 ge 20000 x13 0 x04 if x14 ge 20000 x14 0 x05 if x15 ge 20000 x15 0 x51 500 n1 n1 n2 n3分别表示项目5第1 2 3年是否重复投资及投资金额 x52 500 n2 x53 500 n3 bnd 0 n2 60 限制的n1 n2 n3的范围 bnd 0 n1 60 bnd 0 n3 60 gin n1 限制n1 n2 n3为整数 gin n2 gin n3 x11 60000 x12 60000 x13 60000 x14 60000 x15 60000 x21 60000 x22 60000 x23 60000 x24 60000 x25 60000 x31 35000 x32 35000 x33 35000 x34 35000 20 x41 30000 x42 30000 x43 30000 x44 30000 x51 30000 x52 30000 x53 30000 x61 40000 x62 40000 x63 40000 x72 30000 x83 0 y1 0 001 x02 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x72 0 y2 0 001 x03 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x83 0 y3 0 001 x04 x14 x24 x34 x44 0 y4 0 001 x05 x15 x25 0 以上条件限制为每年用于投资的实际金额不能超过现有 资金 c31 if x31 x41 eq smax x31 x41 0 33067 x31 0 53 x31 c41 if x31 x41 eq smax x31 x41 0 39978 x41 0 4192 x41 c32 if x32 x42 eq smax x32 x42 0 3284 x32 0 536 x32 c42 if x32 42 eq smax x32 x42 0 4173 x42 0 4180 x42 c33 if x33 x43 eq smax x33 x43 0 326 x33 0 5421 x33 c43 if x43 x33 eq smax x33 x43 0 4356 x43 0 4167 x43 c34 if x34 x44 eq smax x34 x44 0 3238 x34 0 5482 x34 c44 if x34 x44 eq smax x34 x44 0 45477 x44 0 4155 x44 c51 if x51 x61 eq smax x51 x61 0 8116 x51 1 2245 x51 c61 if x51 x61 eq smax x51 x61 1 7172 x61 0 9874 x61 c52 if x52 x62 eq smax x52 x62 0 7799 x52 1 3 x52 c62 if x52 x62 eq smax x52 x62 1 874 x62 1 02 x62 c53 if x53 x63 eq smax x53 x63 0 7484 x53 1 1806 x53 c63 if x53 x63 eq smax x53 x63 2 3684 x63 0 5265 x63 c83 if x53 x63 eq smax x53 x63 1 8561 x83 0 9467 x83 以上条件用来限制 项目是否同时投资 问题四的程序 max y5 y0 1 u u b u表示权系数 z y5 y0 z为所要求的利润 u 0 5 y0 200000 原有资金 21 y1 y0 0 01 x01 x11 x21 x31 x41 x51 x61 1 0 1425 x11 1 0 2183 x21 y1 代表第一年末可用于下一年投资的钱 y2 y1 0 01 x02 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x72 1 0 1418 x12 1 0 2254 x22 x31 c31 x41 c41 y2代表第二年末可用于 下一年投资的钱 y3 y2 0 01 x03 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x83 1 0 1411 x13 1 0 2326 x23 x32 c32 x42 c42 x51 c51 c61 x61 y3代表 第三年末可用于下一年投资的钱 y4 y3 0 01 x04 x14 x24 x34 x44 1 0 1404 x14 1 0 24 x24 c33 x33 c43 x43 c52 x52 c62 x62 y4代表 第四年末可用于下一年投资的钱 y5 y4 0 01 x05 x15 x25 1 0 1398 x15 1 0 2478 x25 c34 x34 c44 x44 c53 x53 c63 x63 1 3 3227 x72 c83 x83 y5代表第五年末可用于下一年投资的钱 x01 if x11 ge 20000 x11 0 x01 x02 x03 x04 x05分别代表每年投资于项目 1获得捐赠资金 x02 if x12 ge 20000 x12 0 x03 if x13 ge 20000 x13 0 x04 if x14 ge 20000 x14 0 x05 if x15 ge 20000 x15 0 x51 500 n1 n1 n2 n3分别表示项目5第1 2 3年是否重复投资及投资金额 x52 500 n2 x53 500 n3 bnd 0 n2 60 限制的n1 n2 n3的范围 bnd 0 n1 60 bnd 0 n3 60 gin n1 限制n1 n2 n3为整数 gin n2 gin n3 x11 60000 x12 60000 x13 60000 x14 60000 x15 60000 x21 60000 x22 60000 x23 60000 x24 60000 x25 60000 x31 35000 x32 35000 x33 35000 x34 35000 x41 30000 22 x42 30000 x43 30000 x44 30000 x51 30000 x52 30000 x53 30000 x61 40000 x62 40000 x63 40000 x72 30000 x83 0 y1 0 001 x02 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x72 0 y2 0 001 x03 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x83 0 y3 0 001 x04 x14 x24 x34 x44 0 y4 0 001 x05 x15 x25 0 以上条件限制为每年用于投资的实际金额不能超过现 有资金 c31 if x31 x41 eq smax x31 x41 0 33067 x31 0 53 x31 c41 if x31 x41 eq smax x31 x41 0 39978 x41 0 4192 x41 c32 if x32 x42 eq smax x32 x42 0 3284 x32 0 536 x32 c42 if x32 x42 eq smax x32 x42 0 4173 x42 0 4180 x42 c33 if x33 x43 eq smax x33 x43 0 326 x33 0 5421 x33 c43 if x43 x33 eq smax x33 x43 0 4356 x43 0 4167 x43 c34 if x34 x44 eq smax x34 x44 0 3238 x34 0 5482 x34 c44 if x34 x44 eq smax x34 x44 0 45477 x44 0 4155 x44 c51 if x51 x61 eq smax x51 x61 0 8116 x51 1 2245 x51 c61 if x51 x61 eq smax x51 x61 1 7172 x61 0 9874 x61 c52 if x52 x62 eq smax x52 x62 0 7799 x52 1 3 x52 c62 if x52 x62 eq smax x52 x62 1 874 x62 1 02 x62 c53 if x53 x63 eq smax x53 x63 0 7484 x53 1 1806 x53 c63 if x53 x63 eq smax x53 x63 2 3684 x63