第二章 圆锥曲线与方程

1 第二章 圆锥曲线与方程 2 1 椭圆 2 1 1 椭圆及其标准方程 学习目标 学习目标 1 理解椭圆的概念 掌握椭圆的定义 会用椭圆的定义解决实际问题 2 理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法 3 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法 重点 难点 重点 难点 理解椭圆的概念 掌握椭圆的定义 理解椭圆标准方程的推导过程及化简无 理方程的常用的方法 一 自主学习一 自主学习 1 引导学生一起探究P41页上的问题 准备无弹性细绳子一条 约60cm 一端结个套 另一 端是活动的 图钉两个 当套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 画出的图形是椭圆 启 发性提问 在这一过程中 你能说出移动的笔尖 动点 满足的几何条件是什么 2 由上述探究过程容易得到椭圆的定义 其中这两个定点叫做椭圆的 两定点间的距离叫做椭圆的 即当动点设为时 椭圆即为点集 合作探究合作探究 1 椭圆标准方程的推导过程 见教材P33 思考 1 已知图形 建立直角坐标系的一般性要求是什么 第一 充分利用图形 的对称性 第二 注意图形的特殊性和一般性关系 2 无理方程的化简过程是教学的难点 注意无理方程的两次移项 平方整理 3 设参量的意义 第一 便于写出椭圆的标准方程 第二 的关系有bcba 明显的几何意义 4 类比 写出焦点在轴上 中心在原点的椭圆的标准方程 01 2 2 2 2 ba b x a y 2 如何用几何图形解释 b2 a2 c2 在椭圆中分别表示哪些线段的长 3 例题 P34例1 例3 二 达标训练二 达标训练 1 在椭圆中 a b 焦距是 焦点坐标是 100425 22 yx 焦点位于 轴上 2 如果方程表示焦点在 X 轴的椭圆 则实数 m 的取值范围是 1 m y 4 x 22 2 3 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在 x 轴上 2 a 4 c 焦点在坐标轴上15 4 已知两定点 3 0 3 0 若点 P 满足 则点 P 的轨迹是 10 21 PFPF 若点 P 满足 则点 P 的轨迹是 6 21 PFPF 5 P 为椭圆上一点 P 到一个焦点的距离为 4 则 P 到另一个焦点的距离为 1 1625 22 yx 6 椭圆 过焦点 F1的直线交椭圆于 A B 两点 则的周长为 1 916 22 yx 2 ABF 7 如果点 M x y 在运动过程中 总满足关系式 10 3 3 2222 yxyx 点 M 的轨迹是什么曲线 写出它的方程 8 已知 ABC 的一边长 周长为 16 求顶点 A 的轨迹方程 6 BC 9 已知B C是两个定点 BC 10 且 ABC的周长等于22 求顶点A满足的一个轨迹方程 10 已知椭圆两焦点坐标分别是 0 2 0 2 并且经过点 求椭圆的标准 2 3 2 5 方程 3 2 1 2 椭圆的简单性质 学习目标 学习目标 1 了解用方程的方法研究图形的对称性 理解椭圆的范围 对称性及对称 轴 对称中心 离心率 顶点的概念 2 掌握椭圆的标准方程 会用椭圆的定义解决实际问题 利用信息技术初 步了解椭圆的第二定义 重点 难点 重点 难点 理解椭圆的范围 对称性及对称轴 对称中心 离心率 顶点的概念 掌握椭圆的标准方程 会用椭圆的定义解决实际问题 自主学习自主学习 1 把平面内与两个定点 的距离之和等于 大于 的点的轨迹叫做 椭圆 其中这两个定点叫做 两定点间的距离叫做 即当动 点设为时 椭圆即为点集 2 写出焦点在 x 轴上 中心在原点的椭圆的标准方程 3 写出焦点在 y 轴上 中心在原点的椭圆的标准方程 合作探究合作探究 1 椭圆的简单几何性质 范围 由椭圆的标准方程可得 进一步得 同 22 22 10 yx ba axa 理可得 即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里 byb xa yb 对称性 由以代 以代和代 且以代这三个方面来研究x xy yx xy y 椭圆的标准方程发生变化没有 从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴 原点为对称中心 xy 顶点 先给出圆锥曲线的顶点的统一定义 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交 点叫做圆锥曲线的顶点 因此椭圆有四个顶点 由于椭圆的对称轴有长短之分 较长的对 称轴叫做长轴 较短的叫做短轴 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 a c e 10 e 椭圆越接近于圆 时当a b ce00 椭圆图形越扁 时当01a b ce 例 1 求椭圆的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 P40 例 22 1625400 xy 4 4 例 2 已知椭圆的离心率为 求的值 22 550mxym m 10 5 e m 练习 练习 1 1 P41P41 1 51 5 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 并画出草图 1 长轴长是短轴长得 3 倍 椭圆经过点 P 3 0 2 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4 例 3 P40 例 5 例 6 3 如图所示 神舟 截人飞船发射升空 进入预定轨道开始巡 天飞行 其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆 近地点 2 F 距地面 远地点距地面 已知地球的半径A200kmB350km 建立适当的直角坐标系 求出椭圆的轨迹方程 6371Rkm 图 2 1 2 5 2 2 1 双曲线及其标准方程 学习目标 学习目标 1 理解双曲线的概念 掌握双曲线的定义 会用双曲线的定义解决实际问题 2 理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法 重点 难点 重点 难点 理解双曲线的概念 掌握双曲线的定义 会用双曲线的定义解决实际问题 自主学习自主学习 复习旧知 1 把平面内与两个定点 的距离之和等于 大于 的点 的轨迹叫做椭圆 ellipse 其中这两个定点叫做 两定点间的距离叫做 即当动点设为时 椭圆即为点集 2 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做 定点 F 不在定直线 l 上 定点 F 叫做抛物线的 定直线 l 叫做抛物线的 3 抛物线的 在一次项对应的轴上 其数值是一次项系数的 倍 准线方程与焦点 坐标相反 反之可以逆推 合作探究合作探究 1 由教材探究过程容易得到双曲线的定义 叫做双曲线 其中这两个定点叫做双曲线的焦点 两定点间的距离叫做双曲线的焦距 即 当动点设为时 双曲线即为点集 MP 2 双曲线标准方程的推导过程 思考 已知椭圆的图形 是怎么样建立直角坐标系的 类比求椭圆标准方程的方法自 己建立直角坐标系 类比椭圆 设参量的意义 第一 便于写出双曲线的标准方程 第二 的关系b a b c 有明显的几何意义 类比 写出焦点在轴上 中心在原点的双曲线的标准方程y 推导过程 22 22 10 0 yx ab ba 6 3 已知双曲线两个焦点分别为 双曲线上一点到 距离差的 1 5 0F 2 5 0FP 1 F 2 F 绝对值等于 求双曲线的标准方程 6 4 已知 两地相距 在地听到炮弹爆炸声比在地晚 且声速为AB800mAB2s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 340 m s 练习练习 P48P48 1 1 2 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程 1 焦点为 0 10 0 10 双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是 16 2 焦点为 0 5 0 5 经过点 2 2 53 2 2 2 双曲线的简单性质 学习目标学习目标 1 了解平面解析几何研究的主要问题 1 根据条件 求出表示曲线的方程 2 通过方程 研究曲线的性质 2 理解双曲线的范围 对称性及对称轴 对称中心 离心率 顶点 渐近线的概 念 3 掌握双曲线的标准方程 会用双曲线的定义解决实际问题 通过例题和探究了 解双曲线的第二定义 准线及焦半径的概念 重点 难点 重点 难点 理解双曲线的范围 对称性及对称轴 对称中心 离心率 顶点 渐近线概 念 掌握双曲线的标准方程 会用双曲线的定义解决实际问题 自主学习自主学习 7 复习旧知 1 把平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于 小于 的点的轨迹 1 F 2 F 12 F F 叫做双曲线 其中这两个定点叫做双曲线的 两定点间的距离叫做双曲线的 即当动点设为时 双曲线即为点集MP 12 2M MFMFa 2 写出焦点在 x 轴上 中心在原点的双曲线的标准方程 3 写出焦点在 Y 轴上 中心在原点的双曲线的标准方程 合作探究合作探究 1 通过图像研究双曲线的简单性质 范围 由双曲线的标准方程得 进一步得 22 22 10 yx ba xa 或 这说明双曲线在不等式 或所表示的区域 xa xa xa 对称性 由以代 以代和代 且以代这三个方面来研究双x xy yx xy y 曲线的标准方程发生变化没有 从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴 原点为对称中xy 心 顶点 圆锥曲线的顶点的统一定义 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点 因此双曲线有两个顶点 由于双曲线的对称轴有实虚之分 焦点所在的对 称轴叫做实轴 焦点不在的对称轴叫做虚轴 渐近线 直线叫做双曲线的渐近线 b yx a 22 22 1 xy ab 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率 a c e 1e 2 求双曲线的实半轴长和虚半轴长 焦点的坐标 离心率 渐近线方 22 916144yx 程 3 求与双曲线共渐近线 且经过点的双曲线的标准方及离心率 22 1 169 xy 2 3 3A 练习练习 P53P53 1 41 4 1 已知双曲线 1 与双曲线 1 它们的离心率 是否满足等式 9 2 x 16 2 y 9 2 x 16 2 y 1 e 2 e 1 e 2 1 e 2 2 8 2 如图 设与定点的距离和它到直线 的距离的比是常数 M x y 5 0Fl 16 5 x 5 4 求点的轨迹方程 M 分析 若设点 则 到直 M x y 2 2 5MFxy 线 的距离 则容易得点的轨迹方l 16 5 x 16 5 dx M 程 2 3 1 抛物线及其标准方程 学习目标 学习目标 1 掌握抛物线的定义 抛物线的标准方程及其推导过程 2 进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法 提高分析 对比 概括 转化等 方面的能力 重点 难点 重点 难点 1 掌握抛物线的定义 抛物线的标准方程及其推导过程 2 掌握解析几何的基本思想方法 提高分析 对比 概括 转化等方面的能 力 自主学习自主学习 复习椭圆知识 1 把平面内与两个定点 的距离之和等于 大于 的点的轨迹叫做椭圆 其中这两个定点叫做 两定点间的距离叫做 即当动点设为时 椭圆即为点集 2 写出焦点在 x 轴上 中心在原点的椭圆的标准方程 3 写出焦点在 y 轴上 中心在原点的椭圆的标准方程 合作探究合作探究 由教材提供的方法画出抛物线的图像 归纳出抛物线的定义和推导标准方程 1 定义 定点 F 叫做抛物线的 定直线 l 叫做抛物线的 2 抛物线标准方程的推导过程 a 建系设标 9 b 建立等量关系 推导方程 练习反馈练习反馈 1 已知抛物线的标准方程是 y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点是 F 0 2 求它的标准方程 3 一种卫星接收天线的轴截面如图所示 卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接 受天线 经反射聚焦到焦点处 已知接收天线的口径为 4 8m 深度为 0 5m 求抛物线的标 准方程和焦点坐标 2 3 2 抛物线的简单性质 学习目标学习目标 1 使学生理解并掌握抛物线的几何性质 并能从抛物线的标准方程出发 推导这 些性质 2 从抛物线的标准方程出发 推导抛物线的性质 从而培养学生分析 归纳 推理等能力 重点 难点 重点 难点 理解并掌握抛物线的几何性质 能从抛物线的标准方程出发 推导这些性质 自主学习自主学习 1 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做 定点 F 不在定直线 l 上 定点 F 叫做抛物线的 定直线 l 叫做抛物线的 2 抛物线的 在一次项对应的轴上 其数值是一次项系数的 倍 准线方程与焦点 坐标相反 反之可以逆推 3 已知抛物线的标准方程是 y2 8x 求它的焦点坐标和准线方程 10 4 已知抛物线的焦点是 F 2 0 求它的标准方程 合作探究合作探究 1 抛物线的几何性质 通过和椭圆几何性质相比 抛物线的几何性质有什么特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但是没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合 抛物线没有中心 3 抛物线只有一个顶点 它是焦点和焦点在准线上射影的中点 4 抛物线的离心率要联系椭圆第二定义 并和抛物线的定义作比较 其结果是应规定抛物 线的离心率为 1 2 已知抛物线的顶点在原