根据一次函数的图象确定解析式

1 4 4 一次函数的应用一次函数的应用 1 确定一次函数表达式 1 借助图象确定函数的表达式 先观察直线是否过坐标原点 若过原点 则为正比例函数 可设其关系式为 y kx k 0 若不过原点 则为一次函数 可设其关系式为 y kx b k 0 然后再观察 图象上有没有明确几个点的坐标 对于正比例函数 只要知道一个点的坐标即可 对于一 次函数 则需要知道两个点的坐标 最后将各点坐标分别代入 y kx 或 y kx b 中 求出 其中的 k b 即可确定出其关系式 2 确定正比例函数 一次函数表达式需要的条件 由于正比例函数 y kx k 0 中只有一个未知系数 k 故只要一个条件 即一对 x y 的值或一个点的坐标 就可以求出 k 的值 确定正比例函数的表达式 一次函数 y kx b k 0 有两个未知系数 k b 需要两个独立的关于 k b 的条件 求得 k b 的值 这两个条件通常是两个点的坐标或两对 x y 的值 例 1 如图 直线 AB 对应的函数表达式是 A y x 3B y x 3 3 2 3 2 C y x 3D y x 3 2 3 2 3 解析 设直线 AB 对应的函数表达式是 y kx b k 0 当 x 0 时 y 3 代入得 b 3 当 x 2 时 y 0 则 2k 3 0 k 故 y x 3 3 2 3 2 答案 答案 A 点技巧点技巧 用待定系数法求直线解析式 由图象观察可知该函数为一次函数 故应设成 y kx b k 0 的形式 再将 A B 两点 坐标代入该关系式 即可求出 k b 从而确定出具体的关系式 2 待定系数法 1 定义 先设出式子中的未知系数 再根据条件求出未知系数 从而写出这个式子的 方法 叫做待定系数法 其中的未知数也称为待定系数 2 用待定系数法求解析式的一般步骤 根据已知条件写出含有待定系数的解析式 将 x y 的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中 得到以待定系数为未 知数的方程或方程组 解方程 组 得到待定系数的值 将求出的待定系数代回所求的函数解析式中 得到所求函数的解析式 例 2 1 一次函数图象如图所示 求其解析式 2 分析 分析 利用图象所给的信息 即直线与坐标轴交点的坐标 再用待定系数法求出 k b 的值 从而确定表达式 解 解 设一次函数解析式为 y kx b 一次函数图象过点 0 2 2 k 0 b b 2 一次函数图象过点 1 0 0 k 1 b k 2 一次函数解析式为 y 2x 2 例 2 2 在直角坐标系中 一次函数 y kx b 的图象经过三点 A 2 0 B 0 2 C m 3 求这个函数的表达式 并求 m 的值 解 解 根据题意 得 2k b 0 b 2 km b 3 把 b 2 代入 得 2k 2 0 即 k 1 把 b 2 k 1 代入 得 m 1 故函数的表达式为 y x 2 3 一次函数的实际应用 1 通过图象获取信息 通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题 要掌 握这个重点在于对函数图象的观察和分析 观察函数图象时 首先要看横轴 纵轴分别代 表的是什么 也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系 释疑点释疑点 函数图象中的特殊点 观察图象获取信息时 一定要注意图象上的特殊点 这些特殊点对我们解决问题有很 大的帮助 2 一次函数图象的应用 一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数 它们的图象和性质在现实生活 中有着广泛的应用 利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点 这部 分内容在中考中占有重要的地位 谈重点谈重点 函数 y kx b 图象的变化形式 在实际问题中 当自变量的取值范围受到一定的限制时 函数 y kx b k 0 的图象 就不再是一条直线 要根据实际情况进行分析 其图象可能是射线 线段或折线等等 例 3 1 甲 乙两个工程队分别同时开挖两段河渠 所挖河渠的长度 y m 与挖掘 时间 x h 之间的关系如图所示 请根据图象所提供的信息解答下列问题 1 乙队开挖到 30 m 时 用了 h 开挖 6 h 时甲队比乙队多挖了 m 2 请你求出 甲队在 0 x 6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 乙队在 2 x 6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 3 当 x 为何值时 甲 乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等 3 分析 分析 1 由图象可以直接看出乙队开挖到 30 m 时 用了 2 h 开挖 6 h 时甲队比乙队 多挖了 10 m 2 设甲队在 0 x 6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y k1x k1 0 由 图可知 函数图象过点 6 60 6k1 60 解得 k1 10 y 10 x 设乙队在 2 x 6 的时 段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y k2x b k2 0 由图可知 函数图象过点 2 30 6 50 代入 y k2x b 求出 k2 5 b 20 y 5x 20 3 由题意 得 10 x 5x 20 解得 x 4 h 解 解 1 2 10 2 y 10 x y 5x 20 3 由题意 得 10 x 5x 20 解得 x 4 h 故当 x 为 4 h 时 甲 乙两队所挖的河渠长度相等 例 3 2 某单位急需用车 但又不准备买车 他们准备和一个体车主或一国有出 租车公司签订月租车合同 设汽车每月行驶 x km 应付给个体车主的月费用为 y1元 应付 给国有出租车公司的月费用是 y2元 y1 y2分别与 x 之间的函数关系图象 两条射线 如图 观察图象回答下列问题 1 每月行驶的路程在什么范围内时 租国有出租车公司的车合算 2 每月行驶的路程等于多少时 租两家车的费用相同 3 如果这个单位估计每月行驶的路程为 2 600 km 那么这个单位租哪家车合算 分析 分析 本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息 都是一次函数 一个是正比例 函数 两条直线交点的横坐标为 1 500 表明当 x 1 500 时 两个函数值相等 根据图象 可知 x 1 500 时 y2 y1 0 x 1 500 时 y2 y1 解 解 观察图象 得 1 每月行驶的路程小于 1 500 km 时 租国有出租车公司的车合算 2 每月行驶的路程为 1 500 km 时 租两家车的费用相同 3 如果每月行驶的路程为 2 600 km 那么这个单位租个体车主的车合算 析规律析规律 函数图象交点规律 两函数图象在同一坐标系中 当取相同的自变量时 下方图象对应的函数的函数值小 交点处的函数值相等 4 一次函数和一元一次方程的关系 当一次函数 y kx b k 0 中的函数值为 0 时 可得 0 kx b 即 kx b 0 这在形式 上变成了求关于 x 的一元一次方程 也就是说 当一次函数 y kx b 的函数值为 0 时 相 应的自变量的值即为方程 kx b 0 的解 若从图象上来看 则可看做函数 y kx b 的图 象与 x 轴的交点的横坐标 即为方程 kx b 0 的解 由此可见 方程与函数是密不可分 的 例 4 某汽车生产厂对其生产的 A 型汽车进行耗油量实验 实验中汽车视为匀速行 驶 已知油箱中的余油量 y L 与行驶时间 t h 的关系如下表 与行驶路程 x km 的关系如下 图 请你根据这些信息求 A 型车在实验中的速度 行驶时间 t h 0123 油箱余油量 y L 100846852 4 分析 分析 考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力 解法一 余油量 y 与行驶路程 x 的关系图象是一条直线 可设关系式为 y kx b k 0 由图象可知 y kx b 经过两点 0 100 和 500 20 则有 b 100 20 500k b 把 b 100 代入 20 500k b 得 20 500k 100 解得 k 4 25 直线的解析式为 y x 100 4 25 当 y 100 时 x 0 当 y 84 时 x 100 由图表可知 油箱中的余油量从 100 L 到 84 L 行驶时间是 1 h 行驶路程是 100 km A 型汽车的速度为 100 km h 解法二 由图表可知 A 型汽车每行驶 1 h 的路程耗油 16 L 由图象可知 A 型汽车耗油 80 L 所行驶的路程为 500 km 可设汽车耗油 16 L 所行驶的路程为 x km 则 500 80 x 16 解得 x 100 A 型汽车 1 h 行驶的路程为 100 km 它的速度为 100 km h 点评 点评 有时 我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解 5 一次函数图象的平移 一次函数 y kx b k 0 的图象可以看做由直线 y kx 平移 b 个单位长度而得到 当 b 0 时 向上平移 当 b 0 时 向下平移 实际上就是指一次函数 y kx b 的图象沿 y 轴平移时 在 b 的位置上按照 上加下减 的规律进行 如 一次函数 l1 y x 2 的图 2 3 象可以看做是由正比例函数 l y x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度得到的 一次函 2 3 数 l2 y x 2 的图象可以看做是由正比例函数 l y x 的图象沿 y 轴向下平移 2 个单位 2 3 2 3 长度得到的 例 5 如图所示 将直线 OA 向上平移 1 个单位长度 得到一个一次函数的图象 那么这个一次函数的解析式是 解析 由图象可知 直线经过原点 所以设直线的解析式为 y kx k 0 因为直线经 5 过点 2 4 所以直线的解析式为 y 2x 根据 上加下减 的原则 可知所求的一次函数解 析式为 y 2x 1 答案 答案 y 2x 1 析规律析规律 平移中的函数解析式 解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用 也可以找出平移后借助坐标系运用待定 系数法求解 平移前后 k 的值不变 改变的是 b 的值 6 函数 方程和不等式的完美结合 从 数 的角度看 由于任何一元一次方程都可以转化为 ax b 0 a b 为常数 且 a 0 的形式 所以解一元一次方程可以看做 当一次函数 y ax b 的值为 0 时 求相应 的自变量的值 反之 求自变量 x 为何值时 一次函数 y ax b 的值为 0 只要求出方程 ax b 0 的解即可 由于任何一元一次不等式都可以转化为类似 ax b 0 或 ax b 0 的 形式 所以解一元一次不等式可以看做 当一次函数 y ax b 的值大 小 于 0 时 求自变 量相应的取值范围 反之 求一次函数 y ax b 的值何时大 小 于 0 时 只要求出不等式 ax b 0 或 ax b 0 的解集即可 从一元一次方程 一元一次不等式与一次函数的关系可以看出 三者最终能用函数观 点统一起来 并且达到一种完美的结合 这种结合 又常常在一些考题中得以体现 例 6 已知一次函数 y ax b a b 是常数 且 a 0 x 与 y 的部分对应值如下表 x 2 10123 y6420 2 4 那么方程 ax b 0 的解是 不等式 ax b 0 的解集是 解析 本题先以表格的形式向我们提供了一次函数 y ax b 的信息 按一般解法 我 们完全可以利用这些对应值 通过待定系数法求出未知系数 a 和 b 然后再去解方程或不 等式 于是得解 果真那样去做的话 说明你没有真正领会到本题的用意 事实上 本题 是想考查你对一元一次方程 一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况 由三者之 间的关系可知 求方程 ax b 0 的解 实质上就是求一次函数 y ax b 的函数值为 0 时 对应的自变量 x 的取值 从表中可直接看出 x 1 同理 求不等式 ax b 0 的解集 实 质上就是求当一次函数 y ax b 的函数值大于 0 时 对应的自变量 x 的取值范围 这时也 可以从表中直接看出为 x 1 答案 答案 x 1 x 1 7 如何确定一次函数的表达式 确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识 点 那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢 因为正比例函数的解析式 y kx 中 只有一个待定系数 k 确定了 k 的值 也就确定了正比例函数的解析式 而一次 函数的解析式 y kx b 中 有两个待定系数 k 和 b 因此需要两个条件 此条件可以是直 线上的两个点的坐标 也可以是两对变量与函数的对应值 但在实际求正比例函数和一次 函数的解析式时 应该具体问题具体分析 1 定义型 若两个量 y 与 x 成正比例 可设为正比例函数形式 y kx 其中 k 是常数 k 0 再 用待定系数法求比例系数k 2 两 或一 点型 把点的坐标代入所设的关系式中 根据点的坐标求解 3 图象型 解决看图获取信息的问题 不仅要注意坐标轴所表示的量是什么 还要抓住图中一些 关键的点 如 起点 终点 折线中的折点 所反映出的信息 通过观察图象 发掘图象经 过坐标轴上的两点 根据两点的坐标构造待定系数的方程组 求出 k b 它体现了数与形 6 的完美结合 是解题的重要思想方法之一 点在函数图象上 就是说点的坐标满足该图象 的函数解析式 只需把点的坐标代入函数解析式 然后求方程 组 的解即可 4 平移型 平移不改变 k 的大小 只改变 b 的大小 5 实际应用型 解这类题的方法是对问题的审读和理解 掌握用一个变量的代数式表示另一个变量 建立两个变量间的等量关系 同时从题中确定自变量的取值范围 这是求实际应用型问题 的函数关系式的至关重要的一点 例 7 1 求一次函数 y m 2 xm2 3 m 3 的关系式 解 解 由一次函数的定义 得 m2 3 1 且 m 2 0 解得 m 2 故所求关系式为 y 4x 5 例 7 2 直线 y kx b 经过点 A 3 0 和点 B 0 2 求这条直线的表达式 分析 分析 把点 A 和点 B 的横 纵坐标分别当做 x y 的值代入 y kx b 中 求出 k b 即 可 解 解 把点 A 和点 B 的横 纵坐标分别当做 x y 的值代入 y kx b 中 得 0 3k b 2 b 得出 k b 2 从而得出这条直线的表达式为 y x 2 2 3 2 3 例 7 3 已知某个一次函数的图象如图所示 则该函数的解析式为 解析 设一次函数解析式为 y kx b k 0 由图可知一次函数 y kx b 的图象过 点 0 2 1 0 2 k 0 b 0 k 1 b 解得 b 2 k 2 一次函数的解析式为 y 2x 2 答案 答案 y 2x 2 例 7 4 将直线 y 2x 向上平移两个单位长度 所得的直线是 A y 2x 2 B y 2x 2 C y 2 x 2 D y 2 x 2 解析 由于直线 y kx b 可以看做由直线 y kx 平移 b 个单位长度而得到 当 b 0 时 向上平移 当 b 0 时 向下平移 所以将直线 y 2x 向上平移两个单位长度 所得的直 线是 y 2x 2 答案 答案 A 例 7 5 大拇指尽量伸开时 拇指与食指的距离称为指距 某研究表明 一般情 况下 人的身高 h 是指距 d 的一次函数 下表是测得指距与身高的一组数据 指距 d cm 20212223 身高 h cm 160169178187 1 求出 h 与 d 之间的函数关系式 2 某人身高 196 cm 一般情况下他的指距是多少 解 解 1 设一次函数的解析式为 h kd b k b 为常数 且 k 0 由题意 得 160 20k b 169 21k b 得 k 9 代入 得 b 20 故一次函数的解析