立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 l 是空间一直线 A B 是直线 l 上任意两点 则称为直线 l 的方向 AB 向量 与平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量 AB 2 平面的法向量可利用方程组求出 设 a b 是平面 内两不共线向量 n 为平面 的法 向量 则求法向量的方程组为 n a 0 n b 0 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 1和 2 则 l1 l2 或 l1与 l2重合 1 2 v1 2 2 设直线 l 的方向向量为 与平面 共面的两个不共线向量 1和 2 则 l 或 l 存在两个实数 x y 使 x 1 y 2 3 设直线 l 的方向向量为 平面 的法向量为 u 则 l 或 l u u 0 4 设平面 和 的法向量分别为 u1 u2 则 u1 u2 u1 u2 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 1和 2 则 l1 l2 1 2 1 2 0 2 设直线 l 的方向向量为 平面 的法向量为 u 则 l u v u 3 设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2 则 u1 u2 u1 u2 0 4 空间向量与空间角的关系 1 设异面直线 l1 l2的方向向量分别为 m1 m2 则 l1与 l2所成的角 满足 cos cos m1 m2 m1 m2 m1 m2 2 设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m n 则直线 l 与平面 所成角 满 足 sin cos m n m n m n 3 求二面角的大小 如图 AB CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线 则二面角的大小 AB CD 如图 n1 n2 分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角 的大小 满足 cos cos n1 n2 二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角 或其 补角 5 点面距的求法 如图 设 AB 为平面 的一条斜线段 n 为平面 的法向量 则 B 到平面 的距离 d AB n n 规律方法 规律方法 1 利用空间向量证明平行问题 1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的 关键 2 证明直线与平面平行 只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证 直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线 的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何问题转化为向量运算 2 利用空间向量证明垂直问题 1 利用已知的线面垂直的关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何 问题转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 其一证明线线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 其二证明线面垂直 只需证 明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可 当然也可证直线的方向向量与平 面法向量平行 其三证明面面垂直 证明两平面的法向量互相垂直 利用面面垂直的 判定定理 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 3 利用空间向量解决探索性问题 对于 是否存在 型问题的探索方式有两种 1 根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想 找出点或线的位置 然后再加以证明 得出结论 2 假设所求的点或线存在 并设定参数表达已知条件 根据题目进行求解 若能求出参数 的值且符合已知限定的范围 则存在这样的点或线 否则不存在 本题是设出点 G 的坐标 借助向量运算 判定关于 P 点的方程是否有解 4 求异面直线所成的角 可从两个不同角度求异面直线所成的角 一是几何法 作 证 算 二是向量法 把角的 求解转化为向量运算 应注意体会两种方法的特点 转化 是求异面直线所成角的关键 一般地 异面直线 AC BD 的夹角 的余弦值为 cos AC BD AC BD 5 利用空间向量求直线与平面所成的角 1 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或 其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 6