3机械能和功习题思考题

习题 3 1 如图 一质点在几个力作用下沿半径为 R 20m 的圆周运动 其中有一恒力 F 0 6iN 求质点从 A 开始沿逆时针方向经 3 4 圆周到达 B 的过程中 力 F 所做的功 解 ji2020 AB rrr 由做功的定义可知 JW12 2020 6 0 jiirF 3 2 质量为 m 0 5kg 的质点 在 xOy 坐标平面内运动 其运动方程为 x 5t2 y 0 5 SI 从 t 2s 到 t 4s 这段时间内 外力对质点的功为多少 ijiji60 5 020 5 080 24 rrr 22 10ddtddt ia vr 105mm iiFa 由做功的定义可知 560300WJ iiFr 3 3 劲度系数为 k 的轻巧弹簧竖直放置 下端悬一小球 球的质量为 m 开始时弹簧为原 长而小球恰好与地接触 今将弹簧上端缓慢提起 直到小球能脱离地面为止 求此过程中外 力的功 根据小球是被缓慢提起的 刚脱离地面时所受的力为 F mg mgxk 可得此时弹簧的伸长量为 k mg x 由做功的定义可知 k gm kxkxdxW k mg x 22 1 22 0 2 0 3 4 如图 一质量为 m 的质点 在半径为 R 的半球形容器中 由静止开始自边缘上的 A 点滑下 到达最低点 B 时 它对容器的正压力数值为 N 求质点自 A 滑到 B 的过程中 摩擦 力对其做的功 分析 Wf直接求解显然有困难 所以使用动能定理 那就要知道它的末速度的情况 解 求在 B 点的速度 N G 可得 R v m 2 RGNmv 2 1 2 1 2 由动能定理 RmgNmgRRGNW mvWmgR f f 3 2 1 2 1 0 2 1 2 3 5 一弹簧并不遵守胡克定律 其弹力与形变的关系为 其中iF 4 38 8 52 2 xx 和单位分别为和 FxNm 1 计算当将弹簧由拉伸至过程中 外力所做之功 m522 0 1 xm34 1 2 x 2 此弹力是否为保守力 解 1 由做功的定义可知 2 J xxxxdxxxdW x x 2 69 6 12 4 26 4 38 8 52 3 1 3 2 2 1 2 2 2 34 1 522 0 2 1 xF 由计算结果可知 做功与起点和终点的位置有关 与其他因素无关 所以该弹力为保守力 3 6 一质量为的物体 在力的作用下 由静止开始运动 求在任一m 2j iFbtat 时刻 此力所做功的功率为多少 t 解 要求功率就必须知道力和速度的情况 由题意 3 1 2 1 1 1 322 jijibtat m dtbtat m t m F v 所以功率为 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 5232322 tbta m btat m btatN jijiVF 3 7 一质点在三维力场中运动 已知力场的势能函数为 czbxyaxE 2 p 1 求作用力 F 2 当质点由原点运动到 位置的过程中 试任选一路径 计算上述3 x3 y3 z 力所做的功 其中的单位为 的单位为 的单位为 p EJzyx mFN 解 1 由作用力和势能的关系 kjiFcbxbyax r czbxyax r EP 2 2 2 取一个比较简单的积分路径 则积分可得 kjirdzdydx 2 kjikjidrFdzdydxcbxbyaxW 9a 9b 3c 3 8 轻弹簧的上端固定 下端悬挂质量为的重物 已知弹簧原长为 劲ABABm 0 l 度系数为 重物在点达到平衡 此时弹簧伸长了 kO 0 x 如图所示 取轴向下为正 且坐标原点位于 弹簧原长位置 x O 力的平衡 位置 若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点 O试分别计 算重物在任一位置时系统的总势能 P 解 1 取弹簧原长位置为重力势能和弹性势 O 能的势能 零点 则重物在任一位置 坐标设为 时系统的总P x 势能 2 P 2 1 Exkxmg 2 取力的平衡位置为重力势能和弹性势能的势能零点 则重物在任一位置 坐OP 标设为 时系统的总势能 x 0 2 0 2 0P 2 1 2 1 E kxmg kxxxkmgx 而 所以 2 2 0 2 0P 2 1 2 1 2 1 Ekxkxxxkmgx 3 9 在密度为的液面上方 悬挂一根长为 密度为的均匀棒 棒的端刚和液 1 l 2 ABB 面接触如图所示 今剪断细绳 设细棒只在浮力和重力作用下运动 在 的条件下 求细棒下落过程中的最大速度 12 1 2 max v 以及细棒 能进入液体的最大深度 H 解 分析可知 棒下落的最大速度是受合力为零的时候 所以 则 hsglsg 12 lh 1 2 在下落过程中 利用功能原理 2 221 0 1 2 h slvsglhgsydy 所以 2 max 1 vgl 进入液体的最大深度 H 为细棒运动的速度为零时 所以 21 0 H sglhgsydy 1 12 2 l H 3 10 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力的作用 设阻力与速f 度的大小成正比 比例系数为常数 即 试求质量为的卫星 开始在离地心kkvf m 为地球半径 陨落到地面所需的时间 Rr4 0 R 解 根据题意 假设在离地心处质点的速度为 v1 地面上的速度为 v2 提供卫Rr4 0 星运动的力为万有引力 所以 2 0 2 r Mm G r v m 2 0 1 2 R r v v 在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出 mdvkvdtfdt 通过分离变量取积分 可 得 2 1 2 1 lnln2 v v v mmm tdtdv kvkvk 3 11 一链条放置在光滑桌面上 用手揿住一端 另一 端有四分之一长度由桌边下垂 设链条长为 L质量为 m 试问将链条全部拉上桌面要做多少功 解 直接考虑垂下的链条的质心位置变化 来求做功 则 111 4832 P WEmglmgl 3 12 起重机用钢丝绳吊运质量为的物体时以速m率 匀速下降 当起重机突然刹车时 因物体仍有惯性 0 v 运动使 钢丝绳有微小伸长 设钢丝绳劲度系数为 求它伸长k 多少 所受拉力多大 不计钢丝绳本身质量 解 当起重机忽然刹车时 物体的动能将转换为钢丝绳的 弹性势能 由 可得 2 2 0 2 1 2 1 kxmv 0 v k m x 分析物体的受力 可得到绳子的拉力为 0 vmkmgkxmgT 3 13 在光滑水平面上 平放一轻弹簧 弹簧一端固定 另一端连一物体 边上再AA 放一物体 它们质量分别为和 弹簧劲度系数为 原长为 用力推 使弹簧B A m B mklB 压缩 然后释放 求 0 x 1 当与开始分离时 它们的位置和速度 AB 2 分离之后 还能往前移动多远 A 解 1 当 A 和 B 开始分离时 两者具有相同的速度 根据能量守恒 可得到 所以 2 0 2 2 1 2 1 kxvmm BA 0 x mm k v BA xl 2 分离之后 A 的动能又将逐渐的转化为弹性势能 所以 则 22 2 1 2 1 kxvmA 0 A A AB m xx mm 3 14 已知地球对一个质量为的质点的引力为 为地球的质量mrF 3 e r mGm ee R m 和半径 1 若选取无穷远处势能为零 计算地面处的势能 2 若选取地面处势能为零 计算无穷远处的势能 比较两种情况下的势能差 解 1 取无穷远处势能为零 计算地面处的势能为 ee 2 11 b ea r P e Rr EfdrGm mdrGm m rR 2 若选取地面处势能为零 计算无穷远处的势能为 ee 2 11 eb a Rr e r EfdrGm mdrGm m rR 两种情况下势能差是完全一样的 3 15 试证明在离地球表面高度为处 质量为的质点所具有的引力势能近 e Rhh m 似可表示为 mgh 解 由万有引力的势能函数值 在离地球表面高度为处 质量为的质点所 e Rhh m 具有的引力势能为 2 0 2 00 hRmghR R Mm GhR hR Mm G hR Mm G ee e e ee 如果以地面作为零电势处 则质点所具有的引力势能近似可表示为 mgh 思考题 3 3 1 求证 一对内力做功与参考系的选择无关 证明 对于系统里的两个质点而言 一对内力做功可表示为 A 2211 rdfrdf 由于外力的存在 质点 1 2 的运动情况是不同的 2121 ffrdrd 上式可写为 A 212211 rdrdfrdfrdf 也就是内力的功与两个质点的相对位移有关 与参考系的选择无关 3 2 叙述质点和质点组动能变化定理 写出它们的表达式 指出定理的成立条件 质点的动能变化定理 物体受外力作用下 从 A 运动 B 其运动状态变化 速度为F V1变化到 V2 即动能变化 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 12 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 1 KK EEmvmvrdfA 质点系的动能定理 质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系 内非保守力的功三者之和 即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和 公式表达 12KK EEAAA 内保内非外 3 3 和两物体放在水平面上 它们受到的水平恒力一样 位移也一样 但一个ABFs 接触面光滑 另一个粗糙 力做的功是否一样 两物体动能增量是否一样 F 答 根据功的定义 W rF 所以当它们受到的水平恒力一样 位移也一样时 两个功是相等的 Fs 当时由于光滑的接触面摩擦力不做功 粗糙的接触面摩擦力做功 所以两个物体的总功 不同 动能的增量就不相同 3 4 按质点动能定理 下列式子 22 12 2 12 1 2 1 d xx x x x mvmvxF 22 12 2 12 1 2 1 d yy y y y mvmvyF 22 12 2 12 1 2 1 d zz z z z mvmvzF 是否成立 这三式是否是质点动能定理的三个分量式 试作分析 答 不成立 因为功是标量 不分