类比探究（讲义及答案）

1 图1 A BC D G EF M 图2 A B C D G E F M 图3 A BC D G E F M 类比探究 讲义 类比探究 讲义 课前预习课前预习 1 小明同学碰到如下问题 如图1 在正方形ABCD和正方形CGEF CG BC 中 点 B C G在同一直线上 点M是AE的中点 1 探究线段 MD MF 的位置关系及数量关系 并证明 2 若将图 1 中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 使 D C G 三点在同一直线上 如图 2 其他条件不变 则 1 中得到的两个结论是否发生变化 请写出你的猜想并加以证 明 3 若将图 1 中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 使正方 形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一 直线上 如图 3 其他条件不变 则 1 中得到的两个结论 是否发生变化 请写出你的猜想并加以证明 小明同学分析第一问发现 问题关键在于中点的应用 经过尝试 小明成功解决了第 1 问 并将思路记录如下 MD MF MD MF 等腰Rt DFH M为DH中点 FD FH DFH 90 DM MH AD EH ADM EHM 延长DM 交EF于点H 平行夹中点 仿照小明的证明方法 你能解决 2 3 问吗 扫一扫 看视频 对答案 2 2 如图 在 ABC 中 AF FB 2 3 延长 BC 至点 D 使得 BC 2CD 则 AE EC 提示 求比例 找相似 利用平行线构造 A型 或 X型 相似是我们常用的一种做法 A BDC E F 如图 AB 4 射线BM和AB相互垂直 点D是AB上的一个 动点 点E在射线BM上 2BE DB 作EF DE并截取 EF DE 连接AF并延长交射线BM于点C 设BE x BC y 则y关于x的函数解析式是 A 12 4 x y x B 2 1 x y x C 3 1 x y x D 8 4 x y x 提示 结合直角特征考虑分析 可构造一线三等角 利用相 似整合信息 M F E D C B A 3 知识点睛知识点睛 类比探究问题的处理思路 1 若属于类比探究常见的结构类型 调用结构类比解决 类比探究结构举例 中点结构 直角结构 旋转结构 平行 结构 2 若不属于常见结构类型 根据题干条件 结合 先解决第一问 类比解决下一问 如果不能 分析条件变化 寻找 结合所求目标 依据 大胆猜测 尝试 验 证 精讲精练精讲精练 1 已知梯形 ABCD AD BC AB BC AD 1 AB 2 BC 3 1 如图 1 P 为 AB 边上的一点 以 PD PC 为边作 PCQD 则当点 P 与点 A 重合时 PQ 的长为 2 如图 2 若 P 为 AB 边上任意一点 以 PD PC 为边作 PCQD 请问对角线 PQ 的长是否存在最小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 3 若 P 为 AB 边上任意一点 延长 PD 到 E 使 DE PD 再以 PE PC 为边作 PCQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 如果存在 请求出最小值 如果不 存在 请说明理由 4 如图 3 若 P 为直线 DC 上任意一点 延长 PA 到 E 使 AE nPA n 为常数 以 PE PB 为边作 PBQE 请探 究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 如果存在 请求出最 小值 如果不存在 请说明理由 D Q CB A P 图1 4 A P BC Q D 图2 A BC D E P Q 图3 A BC D A BC D 5 2 已知 ABC 为直角三角形 ACB 90 点 P 是射线 CB 上 一点 点 P 不与点 B C 重合 线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90 得到线段 AQ 连接 QB 交射线 AC 于点 M 1 如图 1 当 AC BC 点 P 在线段 CB 上时 线段 PB CM 的数量关系是 2 如图 2 当 AC BC 点 P 在线段 CB 的延长线上时 1 中的结论是否成立 若成立 写出证明过程 若不成 立 请说明理由 3 如图 3 若 点 P 在线段 CB 的延长线上时 5 2 AC BC CM 2 AP 13 求 ABP 的面积 图1 M Q P A B C 图2 M Q P A B C M C B A P Q 图3 6 3 1 问题发现 如图 1 ACB 和 DCE 均为等边三角形 点 A D E 在 同一直线上 连接 BE 填空 AEB 的度数为 线段 AD BE 之间的数量关系为 图1 C D AB E 2 拓展探究 如图 2 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形 ACB DCE 90 点 A D E 在同一直线上 CM 为 DCE 中 DE 边上的高 连接 BE 请判断 AEB 的度数及线段 CM AE BE 之间的数量关系 并说明理由 图2 M E D C BA 3 解决问题 如图 3 在正方形 ABCD 中 CD 若点 P 满足 PD 1 2 且 BPD 90 请直接写出点 A 到 BP 的距离 A BC D 图3 7 4 如图 1 在 Rt ABC 中 B 90 BC 2AB 8 点 D E 分 别是边 BC AC 的中点 连接 DE 将 EDC 绕点 C 按顺时 针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 当 180 时 AE BD AE BD 2 拓展探究 试判断 当 0 360 时 的大小有无变化 请仅就图 AE BD 2 的情形给出证明 3 问题解决 当 EDC 旋转至A D E 三点共线时 直接写出线段BD 的 长 图3 图2 图1 A BC A E B D C D E C B A 8 参考答案参考答案 课前预习课前预习 1 能 证明略 2 2 A 知识点睛知识点睛 2 分支条件 不变特征 不变特征 精讲精练精讲精练 1 1 2 5 2 存在 最小值为 4 3 存在 最小值为 5 4 存在 最小值为 2 4 2 n 2 1 PB 2CM 2 成立 证