线性系统的时域分析法

精品文档 1欢迎下载 第三章第三章线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 时域分析法在经典控制理论中的地位和作用 时域分析法是三大分析方法之一 在时域中研究问题 重点讨论过渡过程的响应形式 时域分析法的特点 1 直观 精确 2 比较烦琐 3 1 3 1系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标 1 典型输入 2 性能指标 稳基本要求 准稳态要求 ss e 快过渡过程要求 s p t h hth 3 2 3 2一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 设系统结构图如右所示 开环传递函数 s K sG 精品文档 2欢迎下载 闭环传递函数 1 1 1 1 1 1 TTs T s T Ks K s K s K s 1 时ttr T s s T ss T sRssC 1 11 1 1 1 0 0 1 1 ccetc t T T ce T tc t T 1 0 1 1 依特点及定义有 th s t 95 0 1 1 s t T s eth 05 0 95 0 1 1 s t T e 305 0 ln 1 s t T Tts3 一阶系统特征根分布与时域响应的关系 1 s T 2 1 11 0 sC ss R sh tt s ss 时 11 1 at a saC sh te s sassa 时 例 1 已知系统结构图如右 其中 12 0 10 s sG 加上环节 使减小为原来的 H KK 0s t 精品文档 3欢迎下载 0 1 倍 且总放大倍数不变 求 H KK 0 解 依题意 要使闭环系统 且闭环增益 10 02 0 0 21 0 s t 1 101 2 0 101 10 1012 0 10 12 0 10 1 12 0 10 1 s 0 0 00 s K KK Ks K s K s K sGK sG K H H H H H 令联立解出 10 101 10 02 0 101 2 0 0 H H K K K K T 10 9 0 0 K KH 例 2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为 at eth 1 求 1 闭环传递函数 2 单位脉冲响应 3 开环传递函数 s 解 at aethtk 1 as a tkLs 2 1 3 sG sG s sGsGss 1 sGss s a aas a as a as a s s sG 1 1 一阶系统分析开环传递函数 s K sG 闭环传递函数 1 1 Ts s 精品文档 4欢迎下载 线性系统重要特性 系统对输入信号的响应 等于系统对该信号响应的 积分 导数 积分 导数 3 3 3 3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 1 二阶系统标准形式及分类 1 二阶系统典型结构及标准形式 典型结构如右 KTss K s 1 T K s T s T K 1 2 T T K n n 1 2 2 KT T K n 2 1 精品文档 5欢迎下载 2 2 2 2 mn n ss 标准形式 2 2 2 22 212 1 nn n ssTssT s 阻尼自然频率闭环系统固有频率 无 阻尼比 阻尼系数闭环系统系统的 n 2 二阶系统分类 nn s 1 2 2 1 负阻尼系统 0 零阻尼系统 0 n jS 2 1 欠阻尼系统 10 nn js 1 2 2 1 临阻尼系统 1 n s 2 1 过阻尼系统 1 nn s 1 2 2 1 2 欠阻尼二阶系统分析 二阶欠阻尼系统极点的两种表示 直角坐标表示 nn d j js 2 2 1 1 极 坐标表示 2 1sin cos 极 角 模 n 二阶欠阻尼系统单位阶跃响应 精品文档 6欢迎下载 sss ssss sRssC nn nnn 1 2 2 2 2 2 2 2 222 1 1 nn nn s s s 222 2 2222 1 1 1 1 1 nn n nn n ss s s 1 1sin 1 1cos1 2 2 2 tteth nn t n tt e nn t n 2 cos 2 sin 2 2 1sin1cos1 1 1 tt e nn t n cos1 1sin 1 1 0 90 2 2 瞬态分量 稳态分量 2 1 1 1 2222 2 11 n nn n s LsLthtk te n t n n 2 2 1sin 1 n t n e h h h th 2 1 0 0 0 0 1 阻尼振荡频率 包络线收敛速度 响应特征 3 指标计算 由 得 0 2 tk01sin 2 t n 即 2 01 2 t n 依定义 应有 p t pnt 2 1 3 1 2 n p t 代入式 p t 1 2 1 1 h etp 精品文档 7欢迎下载 4 h h h 2 1 e tp 由 1 依定义 忽略正弦因子影响 以包括线进入误差带的时刻为 s t5 p t 有 05 0 1 2 snt e 2 1ln05 0 ln snt 5 5 31ln05 0 ln 8 03 0 2 nn s t 37 8 0 5 5 3 707 0 100 1 2 1 2 n s n n p t e t 3 极点分布与响应间关系 1 t 1 5 3 2 s n n s n t t s n s n t t 例 系统结构图如右 试求 1 当时系统的动态性能 10 k 2 使系统阻尼比的值 707 0 k 3 当时系统的动态性能 6 1 k 解 当时 1 10 k 2 2 2 22 210010 100 101 0 10 nn n ssssss s 精品文档 8欢迎下载 5 0 102 10 2 10 10100 n n 10 K 16 3 60 5 0 5 K 5 45 707 0 3 30 0 43 2 125 1 6 1 K 7 0 105 0 5 35 3 3 16 363 0 105 01 14 3 1 2 1 22 n s n p t e t 1 22 1010 10 1 0 2 Kss K Kss K s n 2 10 K n 10 2 1 707 0 102 10 令 K K102210 07 7 51010 5 1042100 KKK n 1 s 1 16 8 s2 16 1610 16 6 11 0 6 1 3 21 22 TT s sssss s 精品文档 9欢迎下载 86 1P3 17 1 21 2 1 2 4 3 3 1 8 s T tT TT T 查图 65 1 2 3 3 3 3 1 Tts 例 2某典型欠阻尼二阶系统 要求 52 3 16 5 n 试确定系统极点的允许范围 解 45707 0 5 605 0 3 16 要求等价为 52 6045 n 例 3 系统如下图示 时的响应为 求 1 ttr thaKK 21 解 依题可知 9 2 218 2 75 0 2 p t h 1 22 2 2 2 2 2 1 2 2 21 n n nn n a K ss K Kass KK s 2 2 1 lim lim 1 2 2 21 00 K sKass KK ssRssh ss 精品文档 10欢迎下载 4 75 0 1 2 n p t 2 2 1 2 2 ln0 09 0 7665 1 0 09 5 0 7665 0 60833 52 55 1 0 7665 e 4 5 6 236 5 608 0175 0 2 秒弧 n 1 6 5 2 37 6 236 5 608 0 22 4 27236 5 1 2 2 2 K a K n n 系统极点分布 236 5 5 52arccos n 3 过阻尼二阶系统性能估算 1 1 212 1 2 2 2 1 22 nn n T ssTssT s n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 442 21 2 2 2 1 21 2 22 2 2 22 2 2 1 TTTT T s T s ss s nn n nn n nn nnn 找出与之间的关系 n 21 TT 2121 2 21 2 2 1 11 1 1 2 TT s TT s T s T sss nn 精品文档 11欢迎下载 比较 21 1 TT n 3 1 1 2 1 1 11 2 1 2 11 2 1 21 2 1 2 1 2121 T T f TT T T TT TTTT s n 求阶跃响应 12 21 2 1 12 1212 21 12 11 1 1 11 1111 11 1 1 1 rt n tt TT TT TT C ss ss s ssss TTTT h tee TT TT 求表达式 依定义 s t s t 21 1 1 1 1 195 0 2 1 1 2 T t T t ss e T T e T T 解 3 2 1 1 f T T f T ts 过阻尼二阶系统求思路 s t 缺例题 1 1 1 17 38621 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 T T t t T t TT T T ss K s s s s P n nn nn n 例 86 222 11 2 1 2 1 61612 s 0 1s21016 2 8 1 0 5164 4 2 3 333 71 65 10 1 1 251 1 250 125 2 4 8 nn n p s s sssss TT t T t T T 注 精品文档 12欢迎下载 1 当时 欠阻尼二阶系统 近似用一阶系统代替 4 1 5 2 1 T T 1 3Tts 2 过阻尼二阶系统零极点分布与动态性能之间的关系 i 极点对影响较大 主导极点 1 1 T s s t 6 2 1 时 T T ii 与值 值有关 s t 1 T 2 1 T T 2 1 1 T T f T ts 3 系统相当于两个惯性环节串联时的特性 欠阻尼二阶系统动态性能计算复习 极点的表示方法 动态性能计算公式 n s n p t e t 5 3 1 2 1 2 变化时动态性能的变化规律 n s nn s nn t t 1 1 2 2 不变 实部虚部 不变 虚部实部 极点直角表示法 s n s n t t 不变 阻尼比固有频率 不变 固有频率阻尼比 极点极坐标法 精品文档 13欢迎下载 举例 系统如右图示 求分别取值为 1500 200 13 5 时的动态性能 a K 解 开环传递函数 5 34 5 ss K sG a 开环增益 5 345 a KK a a Kss K s 5 5 34 5 2 a K an K5 n 2 5 34 n p t 2 1 2 1 e n s t 5 3 K e tr ss 1 150086 2 5 78 2 0 0 03752 0 20 0046 20031 6 57 545 0 0 1213 0 20 0345 13 58 22 4 32 08 2 1 2 2 1 s s 01 450 5111 响应曲线见右下图 th 3 单位斜坡响应与讨论 ss e 误差传递函数 1 1 sG s e a Kss ss 5 5 34 5 34 2 精品文档 14欢迎下载 sRssE e 2 1 s s e ttr KKsKss ss ssEstee aa ss tss 1 5 5 341 5 5 34 5 34 lim lim 22 00 计算列表见上页表 ss e 结论 1 系统的动态性能 稳态性能均与系统结构参数 有关KKa 2 性能之间对参数的要求有时是有矛盾的 必须折中 使各方面要求满足 若兼顾不到 a ass K Ke 则需校正 三改善二阶系统动态性能的方法 系统 如火炮系统 存在超调的原因 择不合理外部原因 结构参数选 惯性 有储能元件内部原因 系统内部有 1 比例加微分控制 提前控制 改善系统性能的原理 定性分析 见下页图以说明之 2 测速反馈控制 增加阻尼 精品文档 15欢迎下载 6 二阶系统性能的改善 带闭环零点的欠阻尼二阶系统动态性能计算 如右系统 2 2 1 2 1 ndn nd sTss sT s 2 2 2 2 1 nnnd nd sTs sT 2 22 2 n dnn sa ass 式中 d T a 1 精品文档 16欢迎下载 433 2 nd d T 响应 1 t 443 1sin 1 2 1 2 2 2 2 te a a th nd t d nnd nd 其中 463 92 11 22 Parctg a arctg d d nd dn 指标计算 503 1ln 2 1 ln 2ln 2 1 3 493 100 2 473 1 1 22 2 1 2 2 2 2 2 nd dnnd s t nnd dn nd dn p aa t e a a a arctg t dpd 开环增益 K 对系统性能的影响 如右系统 开环传函 1 ss K sG 开环增益 K 闭环传函 2 2 2 2 2 nn n ssKss K s 特征根 nn j K s 2 2 1 1 2 411 特征参数 K K n n 2 1 2 1 动态指标 精品文档 17欢迎下载 n s n p t e t 5 3 1 2 1 2 误差传函 Kss ss ss K sR sE s e 2 1 1 1 1 稳态误差 KKss s s ssee s e s tr ss 11 lim 1 lim 2 0 2 0 注时 讲原理 1 tr 0 ss e 改善二阶系统动态性能的方法举例 原系统 a 测速反馈 b 比例加微分 c 精品文档 18欢迎下载 1 10 ss sG 1 101 1 101 10 10 1 10 ss K K sKss sG t t t 1 101 10 ss sK sG t 10 10 2 ss s 10 101 10 2 sKs s t 10 101 101 10 2 sKs sK s t t 81 158 0 16 3 2 1 16 3 10 n 60 2 1 16 3 2 216 0 101 16 3 10 n 63 4 216 0 11 60 2 1 16 3 10 t n K za 7 5 3 4 60 01 1 1 2 1 2 n s n p t e t 215 2 5 3 3 16 15 1 1 2 1 2 n s n p t e t 1 2 1ln 2 1 ln 2ln 2 1 3 5 3 23 5 0 93 2 05 1 1 1 2 2 2 92 503 92 493 2 21 92 473 n nn n P s P n n nn P p aa t a atg t 1 01 10 ttrKe K ss 316 0 1 16 3 16 3 10 101 10 ttrKe K K ss t 1 0 10 ttre K ss 问题讨论 1 开环增益会影响系统的性能指标 精品文档 19欢迎下载 改变指标的原因 开环增益 1 0 Tss K sG 0 K 闭环增益 1 1 1 0 2 0 0 0 s K s K T K KTss KK s BB B K 变化 特征多项式系数变化 特征根变化 变化 性能变化 0 K th 开环增益变化对性能的改善是有限的 指标对的要求往往是矛盾的只能采取折中方案 0 K 兼顾不同的要求 快 与 准 两项指标相矛盾 ss n e K 0 2 闭环增益不改变系统性能指标 只改变输出的比例尺度 B K B K 3 系统的性能不仅取决于闭环极点 而且与闭零点有关 前者决定响应的模态 后者决定模态的 加权系数 4 不同输入下稳态误差分析 精品文档 20欢迎下载 比例 微分控制的原理 提前控制 图示 dd erh eh eeT eeT h 测速反馈改善性能的原理 增加阻尼 从结构图解释 两种方案 比例 微分 测速反馈 1 对噪声敏感 信号弱 需放大 有滤波作用 信号强 不需放大 2 较简单 成本低 复杂 成本高 3 不改变开环增益 不改变 改变开环增益 ss e ss e 4 引入一个闭零点 不引入闭零点 p t 附加开环零点的作用 原系统与测速反馈系统相比较 原系统 测速反馈系统 1 10 ss sG sKss sG t 10 1 10 10 2 sssD10 101 2 sKssD t 158 0 102 1 d n 不变 5 0 102 216 0 101 精品文档 21欢迎下载 附加开环零点 改变了闭环极点的位置 前左 增加了阻尼 改善了指标 附加闭环零点的作用 测速反馈系统与比例 微分控制系统相比较 附加闭环极点的作用 附加闭环点的作用 当原系统阻尼较时适用 p p t t 小 大 3 4 3 4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 1 高阶系统的阶跃响应 高阶系统闭环传递函数一般可表示为 21 21 n m sss zszszsK sR sC s 时1 tr 1 21 21 n m ssss zszszsK s ssC n n s c s c s c s c 2 2 1 10 t n tt n ecececcth 21 210 2 闭环主导极点 偶极子 主导极点 距虚轴较近 对过渡过程影响较大的闭环极点 三倍距离 偶极子 靠得很近 作用可以相互抵消的闭环零极点对 距离 10 1 3 高阶系统性能估算 零点 极点法 精品文档 22欢迎下载 估算思路 略去非主导极点和偶极子 用主导零极点对应的低阶系统估算高阶系统性能指标 步骤 1 由 闭环零极点图 s 2 略去非主导零 极点 3 倍于主导极点距虚轴的距离 3 略去不非常靠近原点的偶极子 4 利用教材表 用相应的公式进行动态性能估算 161160 P 例 系统主导零 极点分布如右图示 计算其性能指标 解 按第二行对应公式 81 P Dtp 1 a a 4 3 4 p t p e F E 1 05 0 095 0 2 1 2 2 4 3 4 3 ee a a a a 1 ln 3 FEDA ts 1 3ln 2 3 245 2 aa 附加零 极点对二阶欠阻尼系统的影响 定性分析 附加零点 2 2 2 2 1 nn n ss s 附加极点 2 2 2 2 1 nn n sss 结论 1 附加点 极 零 p p t t 使 精品文档 23欢迎下载 2 附加的零 极 点越靠近原点 对系统的影响越大 欠阻尼二阶系统附加零极点后动态特性的计算 例 零 极 点 分 布 图 原振荡二阶系 统 附加一个零点附加一个极点附加一个零点 一个极点 性 能 指 标 计 算 公 式 1 1 100 3ln p p t s t D e A D t 1 ln 3 100 1 F E D A t e F E D t s t p p 1 2 1 2 1 2 1 1 100 3ln 0 3ln 0 pp p tct s s r t D A c B A C c B D C ec e B c t c t c 时 时 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 100 3ln 0 3ln 0 pp r pD tct s s t AC c BF ACE c BDF C E ec e B F c tc c tc c 时 时 精品文档 24欢迎下载 性 能 计 算 4 32 100 e a tp a ts 2ln3 a 347 3 6 70 2 2 4 3 4 3 e a tp a ts 2 2 2ln3 a 245 3 a a t e a t s p 347 3 2ln3 79 20 1001 2 2 a a t ee c c a t s p 693 3 2ln3 82 2 2 21 1 1 4 5 4 5 2 4 5 2 2 1 a a t ee c c a t s p 693 3 2ln3 0 21 212 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 1 a a t ee c c a t s p 3 1ln3 0 2 2 1 1 2 2 12 1 2 1 1 2 4 5 4 5 4 5 2 2 1 a a t ee c c a t s p 693 3 2ln3 30 14 2 2 1 1121 1 21 1 4 3 2 3 4 5 2 2 1 结论 附加点 极 零 p p t t 使 附加的零 极 点越靠近原点 对系统的影响越大 3 5 3 5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 1 稳定的概念及定义 系统在扰动作用下偏离了原来的平衡位置 当扰动消除后 系统能回到原来的平衡位置 则称 系统稳定 否则系统不稳定 对线性定常系统 若其脉冲响应收敛 则系统稳定 否则不稳定 线性定常若稳定 则原点是其唯一的平衡点 且系统一定在大 范围内渐进稳定 2 系统稳定的充要条件 闭环极点全部落在虚轴左边 设闭环传递函数 1212 1212 mn nn Kszszszccc s ssssss t n tt n ecececsLtk 21 21 1 精品文档 25欢迎下载 必要性 系统稳定0 tk 之间线性无关 不可能在一个时段上恒为 0 t i e n i t i i ec 1 ie t i 0 要求 iR ie 0 平面全部闭环极点落在左半s 充分性 由上反向说明即可得证 3 系统的稳定性判据 高阶方程求解不易 用求特征根方法判定稳定性不现实 设系统特征方程为 0 1 2 2 1 10 nn nnn asasasasasD 1 李一戚 必要性 判据 1 0 0niai 说明 设有 3 2 1 ssssD 65 1 2 sss 6116 65 65 23 12 23 sss ss sss 当全部根在左半 s 平面时 系数只能越加越大 不可能出现负或零 例 1 不稳 0128296 2345 ssssssD 不稳 缺 3 次项 08964 245 sssssD 可能稳定 010275 234 sssssD 2 劳斯判据 充要性 判据 见书劳斯表 107 p 例 2 判定稳定性及在右半平面根个数05432 234 sssssD 解 劳斯表 5 3 1 4 s 0 4 2 3 s 0 5 2 0152 1 2 4132 2 s 精品文档 26欢迎下载 0 6 1 5241 1 s 5 0 s 变号两次 有两个闭极点在右半 s 平面 劳斯表第一列元素全为正时 系统稳定 劳斯表第一列元素的变号次数 右半 s 平面闭环根的个数 特殊情况的处理 108 P见书 某行第一列元素为 0 该行元素不全为 0 时 乘因子 as 某行元素全为 0 时 用上行构成的辅助方程 求导后的新 方程系数代入 例 3判定右半 s 平面中闭环根的个数023 3 sssD 解 劳斯表 3 1 3 s 2 0 2 s 0 0 21 3 1 s 2 0 s 变号两次 有两个正根 实际上 2 1 2 sssD 例 40253520123 2345 ssssssD 试求系统在右半 s 平面的根数及虚根值 解 35 12 1 5 s 5 s32025 0 3 80 3 251353 3 16 3 201123 3 s 0255 0 25 5 316 3 3 80 20 3 16 2 2 s s 0010 0 0 100 5 25 3 16 5 3 80 1 ss 精品文档 27欢迎下载 25 0 s 可见 1 右半 s 平面无根 2 虚根值 由辅助方程5 05 2 1 2 jss 3 由系数看 偶次项系数和 奇次项系数和 是根 sD1 s 55 253520123 1 5 23 2345 2 sss sssss sssD 21 21 52 2 jsjsss 特征根为 5 2 1 js 1 3 s 21 5 4 js 劳斯表的应用 判定稳定性 确定正根的个数 确定是系统稳定的参数取值范围 例 I 系统如右 确定使系统稳定的范围K 解 系统开环增益 100 a K K 100 1 3 s 0 20 2 a Ks a a K K s 2000 0 20 2000 1 0 0 aa KKs 综合之 200 0 2000 100 0 0 KKKa 稳定范围为 阴影部分 K 200 0 K 精品文档 28欢迎下载 II 若 确定使系统闭环极点全部落在左边时的范围2 1 s 解 列劳斯表 23 1 3s 61 37 2 a Ks a aa K KK s 912 0 37 912 37 612337 1 61 61 0 aa KKs 综合之 912 100 61 KKa 即 12 961 0 K 例 已知某单位反馈系统 其开环零极点如下图示 问 闭环系 统是否可以稳定 确定的范围 K 解 依题 系统结构图为 并且有 2 2 1 3 1 1 9 3 1 s sK s sK sG 9 KK 9 6 1 1 3 1 22 KsKs sK sKs sK s 列劳斯表 9 1 2 Ks 精品文档 29欢迎下载 1 3 2 9 6 9 9 6 0 6 0 1 KK KKs KKs 问题讨论 系统稳定性是其自身的属性 与输入类型 形式无关 闭环稳定与否 只取决于闭环极点 与闭环零点无关 n n n m s c s c s c sss zszszsK s 2 2 1 1 21 21 i it n tt c ececectk n 21 21 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系 3 63 6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 稳态误差是系统的稳态性能指标 是系统控制精度的度量 这里讨论的只是系统的原理性误差 不包括非线性等因素所造成的附加误差 计算系统的稳态误差以系统稳定为前提条件 误差与稳态误差 误差的两种定义 te 从输入定义 偏差 误差 sCsHsRsE 从输出定义 te sC sH sR sE 两种定义的误差间关系 sEsHsE 对单位反馈系统 此时有 1 sH sEsE 稳态误差 差 中的稳态分量 动态误第二种定义 第一种定义 lim lim tee tee tee ss s ss t ss 计算的一般方法 ss e 步骤 判定系统的稳态性 精品文档 30欢迎下载 求误差传递函数 ss ene 利用终值定理求 ss e lim 0 sNssRsse ene s ss 由 0 lim sseen s essR ssN s 看出与 ss e 外作用的形式有关 外作用的类型有关 系统结构参数有关 例 1 系统如右 已知 ss ettntr求 解 KTss Tss Tss K s e 1 1 1 1 1 0 2 KsTssD 当时 系统稳定 0 0 KT KKsTs Tss s s s sse s e s ssr 1 1 1 lim 1 lim 22 0 2 0 KsTssT TssK Tss K sT K sN sE s n nn n en 2 1 1 1 1 1 K K KsTssT TssK s ssNsse n n n s en s ssn 22 00 1 1 1 lim lim K K eee n ssnssrss 1 关 扰动及其作用点 有与外作用的类型 输入 等 有关 与系统自身的结构参数 ss nss e KKe 例 2 以上系统 当各为多少 ss et A AttAtr时 2 2 1 解 KsTs Tss s e 2 1 时 1 tAtr 2 0 1 lim0 ss s As Ts es s TssK 精品文档 31欢迎下载 时 tAtr 22 0 1 lim ss s As TsA es sTssKK 时 2 2 t Atr 32 0 1 lim ss s As Ts es sTssK 与外作用的形式有关 ss e 静态误差系数法 利用 r t 作用下的规律性 ss e 设系统结构如右 系统类型 型别 系统开环传递函数中所含纯积分环节个数v 1 1 1 1 0 1 sG s K HGsR sE s v e 1 1 lim 1 1 lim 0 0 1 0 sG s K sRs sHsG sRse v ss ss 与输入与系统自身结构参数有关 以下分两步讨论 ss e tr 0 sG s K v 时 1 tAtr p s s ss K A HG A HGs A se 1lim11 1 lim 1 0 1 0 静态位置误差系数 v ss p s K sHsGK 0 1 0 lim lim 时 tAtr v s s ss K A HGs A HGs A se 1 0 1 2 0 lim1 1 lim 静态速度误差系数 1 0 1 0 limlim v ss v s K HGsK 时 2 2 t Atr a s s ss K A HGs A HGs A se 1 2 0 1 3 0 lim 1 1 lim 精品文档 32欢迎下载 静态加速度误差系数 2 0 1 2 0 limlim v ss a s K HGsK 位置误差 速度误差 加速度误差都是位置上的误差 4 控制信号作用下的稳态误差计算 系统如右图所示 1 1 EE E s sE ssR s R sGH s 其中开环传 递函数 可表为 1 1 1 1 1 1 0 21 21 sGH s K sTsTsTs sssK sGH v vn r m 1 lim 0 0 sGH s 1 1 lim lim 00 sGH sRssEse ss ss 精品文档 33欢迎下载 注 1 利用此表 只要知道即可求出作用下的 条件如下 A K r t ss e 系统必须稳定 只适用于控制输入口加入信号时的计算 ss e 是最小相角系统的开环增益 K 只对定义有效ERB 注 2 不论是位置输入 速度输入 还是 所求出的误差都是位置上的误差 1 At A t 2 2 A t ss e ss ss e trevK 精品文档 34欢迎下载 型系统 有 静 差系统 作用下 若系统 型以上系统 无差系统 作用下 若系统 00 1 0 1 ss ss etAtr etAtr 随输入形式 随系统结构参数 K 变化规律的内在机理 ss ev 中的积分环节数 v 是系统跟踪输入信号能力的一种贮备 G s V 的取值受系统稳定性 动态指标要求的限制 利用静态误差系数法求的条件 ss e 只适用于作用时 除非作用于控制口 也可借用之 tr tn 对系统结构的要求 偏差 误差 不能从前馈引入系统 tr 只适应于最小相角系统 例 3 系统如右 已知 求 2 42 tttr ss e 解 1 2 1 ass TsK sG 2 1 v a K K 稳定性判定 1 1 2 1 TsKass K s 11 23 KTsKasssD 劳斯表 精品文档 35欢迎下载 稳定条件 0 1 2 3 s s s s 1 1 1 1 K a KaT a 0 1 1 K TK 0 1 0 1 K aT a 计算 ss e 11 2 22 1 1 2 0 888 4 2 ss ss r tte tAa r tte K KK a 时 1 21 8 K a eee ssssss 例 4 系统如右 讨论系统结构参数对减小作用下的的影响 tntr ss e 解 21 1321 1 ss sTKKK sG 2 321 v KKKK 稳定性 321132121 21 21 1321 1 1 1 KKKsTKKKss ss ss sTKKK s e 均大于 0 则可稳定 3211321 2 KKKsTKKKssD 1321 TKKK 作用时 tr 3213211321 2 21 3 0 2 lim 2 KKK A KKKsTKKKs ss s A s At tre s ss 开环增益和积分环节分配在回路的任何地方 对减小作用下的稳态误差均有作用 tr 作用时 只能用一般方法讨论 tn 231 23112 1231 121231 12 1 1 1 1 1 en K K Ts K K Tsss t K K K Ts s sK K K Ts s s 11321 2 1121 2 0 1 1 lim K A sTKKKs ssTKK s A sAttre s ssn 精品文档 36欢迎下载 当开环增益和积分环节分配在主反馈口到扰动作用点之前的前向通道上时 才对减小有作用 ssn e 同时减小由和作用时稳态误差的措施 tr tn ss e 1在主反馈口到扰动作用点的前向通道中加增益 2在主反馈口到扰动作用点的前向通道设置纯积分环节 3同复合控制方法 例 5 系统如右 已知Attr 求 使 1 sG0 ss e 解 1 Tss K sG 1v K开环增益 T K 大于 0 时系统稳定 KsTssD 2 KsTs sKGTss Tss K Tss sKG sR sE s e 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 lim 1 lim 1 0 2 1 2 0 K sG s K KsTs sKGTss s A se ss ss 1 1 sG s K K s sG 1 复合控制可以有效地减小 机理见波形分析 ss e 此题不符合静态误差系数法应用的系统结构要求 只能用一般方法求 ss e 问题 系统不稳定 ss e 3 6 线性系统的稳态误差 5 干扰作用下稳态误差与系统结构的关系 系统如右 1 求 n t 1 t 时 设 ssn e1 1 sG 精品文档 37欢迎下载 解 1 121 2 121 2 sGKKs K s sGKK s K s en 稳定性 0 21 KK 1 1 121 2 00 1 1 1 lim lim K sG ssGKKs K ssNsse s en s ssn ss ssn eK eK 1 2 不变 2 此时要求 求解应满足的条件 0 1 tr essn 1 sG 解 中至少有一个 lim0 lim 11 0 121 2 0 sGsG sGKKs K e ss ssn s 1 为了保证系统稳定性 时 系统结构不稳定 必须同时加比例积分确定 1 sG s 1 比例加积分控制 1 1 1 1 ss s sG 3 比例 积分 时 求时的 1 sG s 1 1 1 ttr ssn e 解 此时 2 22 2 2 12 1212 12 12 1 1 1 en K K sK s s s K K sK KsK K sK K s s K K s 稳定性 只要均大于零 系统一定稳定 21 kK 2 0 2 12 12 1 lim0 ssn s rt K s es K K s sK K s 结论 为了使作用时的稳态误差减小 需要在主反馈口到作用点之前的前向通道中加 tn tn 大增益 加积分环节 作用点之后的增益和积分环节则对引起的没有改善作用 tn tn ssn e 问题讨论 s 系统如右 讨论作用下 ttr 与动态误差之间的关系 te tes 解 依结构图 系统为 型 且 21K KK 精品文档 38欢迎下载 21 21 1 1 KKs s s KK t e 2 1212 11 e rt s E ss R s sK Kss sK K 12 12121212 1111 sK Ks K Ks sK KK KssK K tKKtKK e KKKK e KK te 2121 212121 11 1 1 用动态误差系数法 22 212121 1 1 s KK s KKKKs s s e 22 1212 11 e E ssRsRs K KK K rcrcrctes 20 1 2 121212 111 010 te t K KK KK K 中稳态分量 系统不稳定 ss e 两者的区别可以概括为以下四点 定义 概念不同 稳定性意义 系统则稳定 否则不稳定是否具有回到平衡点的能力 0 t 稳定误差定义 稳定系统的误差达到稳态时的值系统对某信号跟踪好坏程度 基础不同 稳定性是系统的基本要求 稳态误差是在系统稳定的基础上讨论的 取决的条件不同 稳定性只取决于闭环极点在 s 平面上的位置 是系统的自身的一种属性 精品文档 39欢迎下载 稳态误差除了与系统结构参数有关外 还与外作用的类型 形式 幅值有关 物理本质不同 稳态误差 意味着系统跟踪某个信号过程中 由于自身能力 不够 不足而没能跟上 0 ssn e 不稳定的系统时输出发散 意味着系统根本不去跟踪输入 只是我行我素 自由发散 t 例 系统如下 分别讨论在负 正反馈下的 te 解 负反馈 稳定 正反馈 不稳定 Ks K 1 1 1 Ks s s K s e ks K Ks s s K s e 1 1 1 Kt Kett Kt Kett a ss v ss ss K Atr e KK A tr e tr e 2 2 1 1 0 1 用动态误差系数法解时的 2 2 1 tr tes 2 2 11 s K s KKs s s e Rs K sR K sE 2 2 11 r K r K tes 2 11 精品文档 40欢迎下载 2 2 1 tr tr 1 r 0 r 2 11 K t K 2 2 11 2 K t K t tertc ss 例 系统如右图所示 1 ttr 判定系统稳定性 求稳定的 K 的范围 用一般方法和静态误差系数法求 ss e 解 12 1 7 4 1 1 7 4 1 1 7 4 1 12 1 1 2 2 2 sKss ss ss sK s e 12 7 74 12 2 sKssssD 1 7 1014 4 23 KsKss 0 1 2 3 s s s s 1 7 1 281014 1 4 K KK0 1 7 1014 K K 7 9 1 1 7 9 K K K 2 2 4 1 1 1 7 4 1 1 21 7 e ss E ssR s s ssKs 2 00 2 4 1 1 111 7 lim lim 4 11 1 1 21 7 ss ss ss es E ss sKK ssKs 静态位置误差系数 p KK ss sK sGH ss 1 7 4 1 12 lim lim 2 00 KK R e p ss 1 1 1 结论 静态误差系数K 开环增益 当系统为非最小相角系统 且非最小相角环节个数为奇数时 精品文档 41欢迎下载 静态误差系数 开环增益 可见 当时 很大 此时 K 1 ss e 0 2 1 7 4 1 2 2 2 sss ss s nn e 0 lim s e s 改善系统稳态精度的方法 按干扰补偿 若可以测量 可如右构造系统 tn 0 1 21 212 令 GG GGGG s n en 有0 212 n GGGG 全补偿条件 1 1 sG Gn 按输入补偿 加前馈 系统如右 构造使时 sGa 1 tr 稳态误差0 ss e 解 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ssG s sGs s sG s sR sE s a a a e 0 1 0lim 1 lim 00 s s s sse s e s ssr 注 1 实际上 11 1 1 11 11 1 2 1 1 a a G s Cs ss sG ss Rs s 系统对输入信号有完全的跟踪能力 动态稳定性能都非常好 注 2 此时不能用作用时的静态误差计算表来计算有前馈 tr ss e 4 动态误差系数法 用静态误差系数法只能求出时稳态误差的值 但稳态误差随时间变化的规律 t ss e 无法表达 而动态误差系数法可以用以研究当时的变换规律 tes ss e 1 动态误差系数 动态误差系数法解决问题的思路 将展开成级数形式 s e 精品文档 42欢迎下载 i e i eeee s i s s sR sE s 0 1 0 2 1 0 1 1 0 2 动态误差系数 2 1 0 0 1 i i ce i i i i is cscscc 0 2 210 在处展开 只描述时的特性 0 s t 2 210 sRscsRscssRcsRcsRs sE i ie 0 210 trctrctrctrctrcte i i i i is 2 动态误差系数的计算方法 综合应用说明 系数比较法 长除法 3 应用举例 例 系统如图示 要求在 4 分钟内系统不超过 6m 应选用哪个系统 ss e 已知 用稳态误差法计算两系统均为 2 4 1 2 tttr ss e ttr 2 1 2 2 1 t r 0 t r 求动态误差系数 110 110 1 1 2 2 2 210 2 1 ss ss s scscc ss ss s ee 1 22 210 2 ssscsccss 3 3 2 210 scscscc 3 2 2 10 scscsc 4 2 3 1 2 0 scscsc 3 321 2 210100 scccscccsccc 精品文档 43欢迎下载 比较系数 0 0 00 cc 1 11 101 ccc 9 01 2102 cccc 19 1 3103 cccc rcrcrctercrcrcte ssss 21022101 2 1 9 2 1 2 0 0 2 1 2 0 tt tt 2 1 5 6 2 1 2 4 动态误差与误差之间的关系 是中的稳态分量 以系统 1 为例求 tes te tes te te 1 1 2 1 ss ss s e 11 22322 1 21 1 1 41 122 1 e s sss E s s R s sssssss 精品文档 44欢迎下载 222 22 0 522 0 5 0 50 75 0 75 0 5 0 75 0 5 0 75 s ss ss 瞬态分量 稳态分量 tetette tt 75 0sin 75 0 5 0 75 0 cos225 0 5 05 0 1 可见中的稳态分量 可以用以描述随 的变 2 1 2 11 tettes ss et 化规律 使用动态误差系数法的限制条件 系统稳定 保证在处 可以展开位台劳级数 0 s ss ene 只有有限阶导数项 或其高阶导数项可以忽略 这样才能把写成有限项 tr tes 3 73 7 线性系统时域校正线性系统时域校正 系统不同性能指标对系统参数的要求往往是矛盾的 只调整数往往不能达到要求 需要用适当 的方式在系统中加入校正装置 改变系统结构 选择校正装置参数 进一步改善系统性能 校正装置的位 置 精品文档 45欢迎下载 3 7 1 反馈校正 1 反馈校正的作用 比例负反馈 增益有所损失 常数 提高快速性减小被包围环节的时间 原系统 1 Ts K sG 反馈后 1 1 1 Ts KK Ts K s t 1 1 1 1 1 sT K s KK T KK K KKTs K t t t 快速性提高 增益损失 1 1 T KK T T K KK K K t t 负反馈可以降低系统对参数的敏感性 1 1 1 sHsHsG sG s GH 合理利用正反馈可以提高放大倍数 原环节 KsG 反馈后 t KK K s 1 取时放大倍数大大提高 但要注意其负效应 K KH 1 反馈校正举例 例 1 一种灵敏绘图仪的结构图右 试求 1 时系统的性能 0 t K 2 时动态性能变化趋势 t K 3 时 在作用下的变化趋势 t Kttr ss e 精品文档 46欢迎下载 解 1 时 0 t K 2 100 100 1 2 1 v K s sG 系统结构不稳定 100 100 2 1 s s 2 1 10 10s s 100 10 1 10 10 2 2 2 v K K K s K s sG t t t 707 0 2102 10 10100 10010 100 2 2 tt n t KK sKs s 495 0 07 7 5 3 5 5 35 3 5 414 1 707 0 tn s t K t K 12 5 5 3 2 st t s t n t tK K t K K 时 当 不变 3