老师多边形及其内角和经典例题透析

1 知识要点梳理知识要点梳理 定义 由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形 凸多边形 分类 1 凹多边形 正多边形 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 分类 2 多边形非正多边形 1 n 边形的内角和等于 180 n 2 多边形的定理 2 任意凸形多边形的外角和等于 360 3 n 边形的对角线条数等于 1 2 n n 3 只用一种正多边形 3 4 6 镶嵌拼成 360 度的角 只用一种非正多边形 全等 3 4 知识点一 多边形及有关概念知识点一 多边形及有关概念 1 多边形的定义 多边形的定义 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 1 多边形的一些要素 边 组成多边形的各条线段叫做多边形的边 2 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 内角 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角 一个 n 边形有 n 个内角 外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 2 在定义中应注意 一些线段 多边形的边数是大于等于 3 的正整数 首尾顺次相连 二者缺一不可 理解时要特别注意 在同一平面内 这个条件 其目的是为了排除几个点不共面的情况 即空间 多边形 2 多边形的分类 多边形的分类 1 多边形可分为凸多边形和凹多边形 画出多边形的任何一条边所在的直线 如果整个多边形都在这 条直线的同一侧 则此多边形为凸多边形 反之为凹多边形 见图 1 本章所讲 的多边形都是指凸 多边形 凸多边形 凹多边形 图 1 2 多边形通常还以边数命名 多边形有 n 条边就叫做 n 边形 三角形 四边形都属于多边形 其中三角 形是边数最少的多边形 知识点二 正多边形知识点二 正多边形 各个角都相等 各个边都相等的多边形叫做正多边形 如正三角形 正方形 正五边形等 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形 要点诠释 要点诠释 各角相等 各边也相等是正多边形的必备条件 二者缺一不可 如四条边都相等的四边形不一定是正方形 四个 角都相等的四边形也不一定是正方形 只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三 多边形的对角线知识点三 多边形的对角线 多边形的对角线多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 如图 2 BD 为四边形 ABCD 的 一条对角线 要点诠释 要点诠释 1 从 n 边形一个顶点可以引 n 3 条对角线 将多边形分成 n 2 个三角形 2 n 边形共有条对角线 证明证明 过一个顶点有 n 3 条对角线 n 3 的正整数 又 共有 n 个顶点 共有 n n 3 条对角线 但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次 凸 n 边形 共有条对角线 知识点四 多边形的内角和公式知识点四 多边形的内角和公式 1 公式 公式 边形的内角和为 2 公式的证明 公式的证明 证法证法 1 在边形内任取一点 并把这点与各个顶点连接起来 共构成个三角形 这个三角形的内角和为 3 再减去一个周角 即得到边形的内角和为 证法证法 2 从边形一个顶点作对角线 可以作条对角线 并且边形被分成个三角形 这 个三角形内角和恰好是边形的内角和 等于 证法证法 3 在边形的一边上取一点与各个顶点相连 得个三角形 边形内角和等于这个三角形的 内角和减去所取的一点处的一个平角的度数 即 要点诠释 要点诠释 1 注意 以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想 2 内角和定理的应用 已知多边形的边数 求其内角和 已知多边形内角和 求其边数 知识点五 多边形的外角和公式知识点五 多边形的外角和公式 1 公式 公式 多边形的外角和等于 360 2 多边形外角和公式的证明 多边形外角和公式的证明 多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角 所以边形的内角和加外角和为 外角和等于 注意 n 边形的外角和恒等于 360 它与边数的多少无关 要点诠释 要点诠释 1 外角和公式的应用 已知外角度数 求正多边形边数 已知正多边形边数 求外角度数 2 多边形的边数与内角和 外角和的关系 n 边形的内角和等于 n 2 180 n 3 n 是正整数 可见多边形内角和与边数 n 有关 每增加 1 条边 内角和增加 180 多边形的外角和等于 360 与边数的多少无关 知识点六 镶嵌的概念和特征知识点六 镶嵌的概念和特征 1 定义 定义 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面 或平面 镶嵌 这里的多边形可以形状相同 也可以形状不相同 2 实现镶嵌的条件 实现镶嵌的条件 拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360 相邻的多边形有公共边 3 常见的一些正多边形的镶嵌问题 常见的一些正多边形的镶嵌问题 1 用正多边形实现镶嵌的条件 边长相等 顶点公用 在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360 2 只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形 怎样判断它能否拼成一个平面图形 且不留一点空隙 解决问题的关键在于正多边形 的内角特点 当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360 时 就能铺成一个平面图 形 事实上 正 n 边形的每一个内角为 要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点 恰好覆盖地面 这样 360 由此导出 k 2 而 k 是正整数 所以 n 只能取 3 4 6 因而 用相同的正 多边形地砖铺地面 只有正三角形 正方形 正六边形的地砖可以用 注意 注意 任意四边形的内角和都等于 360 所以用一批形状 大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无 空隙的地板 用任意相同的三角形也可以铺满地面 3 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形 关键是相关正多边形 交接处各角之和能否拼成一个周 4 角 的问题 例如 用正三角形与正方形 正三角形与正六边形 正三角形与正十二边形 正四边形与正八边形都可 以作平面镶嵌 见下图 又如 用一个正三角形 两个正方形 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面 因为它们的交接处各角之和 恰好为一个周角 360 规律方法指导规律方法指导 1 内角和与边数成正比 边数增加 内角和增加 边数减少 内角和减少 每增加一条边 内角的和 就增加 180 反过来也成立 且多边形的内角和必须是 180 的整数倍 2 多边形外角和恒等于 360 与边数的多少无关 3 多边形最多有三个内角为锐角 最少没有锐角 如矩形 多边形的外角中最多有三个钝角 最少 没有钝角 4 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时 常与方程思想相结合 运用方程思想是解决本节 问题的常用方法 5 在解决多边形的内角和问题时 通常转化为与三角形相关的角来解决 三角形是一种基本图形 是 研究复杂图形的基础 同时注意转化思想在数 学中的应用 经典例题透析经典例题透析 经典例题透析经典例题透析 类型一 多边形内角和及外角和定理应用类型一 多边形内角和及外角和定理应用 1 一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍 它是几边形 思路点拨思路点拨 本题实际告诉了这个多边形的内角和是 解析 解析 设这个多边形是边形 则它的内角和是 所以 解得 所以这个多边形是十二边形 总结升华 总结升华 本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用 只要设出边数 根据条件列出关于的方程 求出的值即可 这是一种常用的解题思路 举一反三 举一反三 变式变式 1 若一个多边形的内角和与外角和的总度数为 1800 求这个多边形的边数 答案答案 设这个多边形的边数为 根据题意得 解得 所以多边形的边数为 10 变式变式 2 一个多边形除了一个内角外 其余各内角和为 2750 求这个多边形的内角和是多少 5 答案答案 设这个多边形的边数为 这个内角为 则 即 因为等式左边是 180 的整数倍 所以等式右边也是 180 的整数倍 又因为 所以 此时 所以这个多边形的内角和是 变式变式 3 个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350 求这个多边形的边数 答案答案 可设多边形的边数为 n 某一个外角为 则 n 2 180 1350 从而 n 2 因为边数 n 为正整数 所以 90 n 9 类型二 多边形对角线公式的运用类型二 多边形对角线公式的运用 2 某校七年级六班举行篮球比赛 比赛采用单循环积分制 即每两个班都进行一次比赛 你能算出一共需 要进行多少场比赛吗 思路点拨 思路点拨 本题体现与体育学科的综合 解题方法参照多边形对角线条数的求法 即多边形的对角线条数加上边 数 如图 解析 解析 共需要比赛 场 所以一共需要进行 15 场比赛 总结升华 总结升华 对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起 便于解决 举一反三 举一反三 变式变式 1 一个多边形共有 20 条对角线 则多边形的边数是 A 6 B 7 C 8 D 9 答案答案 C 提示 一个多边形的对角线条数为条 将 6 7 8 9 分别代入 结果为 20 的即为正确答 案 变式变式 2 一个十二边形有几条对角线 解析解析 过十二边形的任意一个顶点可以画 9 条对角线 那么十二个顶点可以画 12 9 条对角线 但每条对角线在每个顶点都数了一次 所以实际对角线的条数应该为 12 9 2 54 条 十二边形的对角线共有 54 条 总结升华总结升华 对于一个 n 边形的对角线的条数 我们可以总结出规律条 牢记这个公式 以后只要用相应 的 n 的值代入即可求出对角线的条数 要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢 6 类型三 可转化为多边形内角和问题类型三 可转化为多边形内角和问题 3 如图 求 A B C D E F G 的度数 思路点拨思路点拨 设法将这几个角转移到一个多边形中 然后利用多边形内 角和公式求解 解析 解析 连接 BF 则 A G 1 2 A ABC C D E EFG G 1 2 ABC C D E EFG 5 2 180 540 总结升华 总结升华 本题通过作辅助线 把 A 与 G 的和转化为 1 与 2 的和 从而把问题变为求五边形的内角和运 算 转化思想 是解决本题的关键 举一反三 举一反三 变式变式 1 如图所示 1 2 3 4 5 6 答案答案 360 提示 把 1 2 3 4 5 6 转移到同一个多边形内 变式变式 2 如图所示 求 A B C D E F 的度数 解析解析 连结 ED 在 AOB 和 DOE 中 AOB DOE 1 2 A B A B C CDO OEF F 2 1 C CDO OEF F C CDE DEF F 360 类型四 实际应用题类型四 实际应用题 4 如图 一辆小汽车从 P 市出发 先到 B 市 再到 C 市 再到 A 市 最后返回 P 市 这辆小汽车共转了多少度角 思路点拨 思路点拨 根据多边形的外角和定理解决 解析 解析 如图 当小汽车从 P 出发行驶到 B 市 由 B 市向 C 市行驶时转的角是 由 C 市向 A 市行驶时转的角是 由 A 市向 P 市行驶时转的角是 因此 小汽车从 P 市出发 经 B 市 C 市 A 市 又回到 P 市 共转 总结升华 总结升华 旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的方向的夹角 小汽车沿 任意多边形行驶一周回到原处 转过的角度都是 360 7 举一反三 举一反三 变式变式 1 如图所示 小亮从 A 点出发前进 10m 向右转 15 再前进 10m 又向右转 15 这样一直走 下去 当他第一次回到出发点时 一共走了 m 答案答案 240 提示 小亮每次向右转的角度相同 并且前进的路程也相同 因此当他第一次回到出发点 A 时 所走的路程是一个正多边形的周长 每次转的角度是这个正多边形的一个外角 所以这个正多边形的边数是 360 15 24 所以小亮一共走了 10 24 240 m 变式变式 2 小华从点 A 出发向前走 10 米 向右转 36 然后继续向前走 10 米 再向右转 36 他以同样的方 法继续走下去 他能回到点 A 吗 若能 当他走回点 A 时共走了多少米 若不能 写出理由 解析解析 可以走回到 A 点 共走 100 米 理由 根据多边形的外角和是 360 可知 每次向右转 36 并且都走 10 米 可得 小华共转 10 次 故共走 100 米 所以 可以走回到 A 点 共走 100 米 变式变式 3 如图所示是某厂生产的一块模板 已知该模板的边 AB CF CD AE 按规定 AB CD 的延长线相 交成 80 角 因交点不在模板上 不便测量 这时师傅告诉徒弟只需测一个角 便知道AB CD 的延长线的夹角是否 合乎规定 你知道需测哪一个角吗 说明理由 思路点拨 思路点拨 本题中将 AB CD 延长后会得到一个五边形 根据五边形内角和为 540 又由 AB CF CD AE 可知 BAE AEF EFC 360 从 540 中减去 80 再减去 360 剩下 C 的度数为 100 所以只需测 C 的度数即可 同理还可直接测 A 的度数 解析 解析 测 A 或 C 的度数 只需 A 100 或 C 100 即知模板中 AB CD 的延长线的夹角是否符合规定 理由如下 连接 AF AB CF BAF AFC 180 又 EAF E AFE 180 BAE E EFC 360 若 C 100 则 AB CD 的延长线的夹角 540 360 100 80 即符合规定 同理 若连接 CE 可得 AEF F DCF 360 若 A 100 则也符合规定 总结升华 总结升华 本题实际上是多边形内角和的逆运算 关键在于正确添加辅助线 类型五 镶嵌问题类型五 镶嵌问题 5 分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图 1 正方形和正八边形 2 正三角形和正十二边形 3 正三角形 正方形和正六边形 思路点拨 思