布朗运动在股票定价中的应用

布朗运动在股票定价中的应用布朗运动在股票定价中的应用 一 一 标准布朗运动标准布朗运动 1900 年 法国数学家 Bachelier 独立地介绍了布朗运动 他在自己的博士论文中用此 来建立股票和商品运动的模型 布朗运动 价格集合 若对任意非负的实数 随机变量 0S yy yt 独立于时刻及此前的所有价格 并且它是一个均值为 方差为 S ytS y yt 的正态随机变量 则称价格集合为漂移参数为 方差参数为的布朗运动 2t 2 用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些缺陷 比如 1 既然股票价格是一个正态随机变量 那它在理论上就可以取负值 但这与实际实 不符的 2 在布朗运动的模型里 假定无论初始价格为何值 固定时间长度的价格差具有相 同的正态分布 这个假设不太合理 比如一支股票从 20 跌到 15 的概率一般不会与 另一支股票在相同时间内从 10 跌到 5 的概率相同 二 二 几何布朗运动几何布朗运动 用表示时刻某证券的价格 若对任何非负实数 0 S yy yyt 1 随机变量独立于时刻及此前的所有价格 S ytS y y 2 是均值为 方差为的正态随机变量 ln S ytS y t 2t 则称价格集合服从漂移参数为 波动参数为的几何布朗运动 如果证券价格遵循几何布朗运动 那么一旦 的值确定了 影响未来价格概 率分布的只是现在的价格 而与历史价格无关 涉及未来时刻 以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关 t 比如一种证券在一个月之后增长一倍的概率与该证券现在的价格是 10 还是 20 是没有关系的 若随机变量为以 为参数的对数正态分布的随机变量 则Yt 2 2 E Y e 若已知证券的价格为 时刻 价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参 0 St 数和波动参数 即对于我们有 S t 2 2 0 t E S tS e 用表示一个小的时间增量 并假定 在每个时间单位内 证券的价格或者以 概率增长倍 或者以概率倍下跌倍 其中pu 1 p d u e d e 1 1 2 p 当取得越来越小时 价格的变化就越来越频繁 相应的价格集就近似为一个几 何布朗运动 下证当取得越来越小时 上述简单过程趋近于几何布朗运动 首先定义变量 若时的价格上涨 则令 否则令 iY i 1 iY 0 iY 证券价格在前 n 次变化过程中上涨的次数为 下跌的次数为 所以 1 n i i Y 1 n i i n Y 在时刻的证券价格可以表示为 n S n 11 0 nn n YY ii iiS nSud 将上述形式整理一下 1 0 n Yi i n u S nS d d 若令 则上述方程可以改写为 nt 1 0 t Yi i t S tu d Sd 两边取对数 得 11 ln lnln 2 0 tt ii S ttut d YY ii Sd 既然 1 ln 2 0 t i S tt Yi S 则随着趋于 0 合式越来越接近正态随机变量 所以 1 t Yi i 是一个正态随机变量并且 ln 0 S tS 1 ln 2 2 0 1 2 1 2 t i S tttt EEp Yi S tt t 现在求方差 由于 1 ln 2 0 t i S tt Yi S 所以 2 1 2 02 ln 4 0 4 1 t i S t VarVarYi S t pp t 当变得越来越小时 同理可知 就变成均 ln 0 S tSln S tyS y 值为 方差为的正态随机变量 t 2t 又因为前后价格的变化是独立的且每次改变时都以同样的概率增加或者减少 所 以独立于时刻以前的价格变化 S tyS y y 所以当趋近于 0 时 几何布朗运动的两个条件都满足 这证明该模型确实变成 了一个几何布朗运动 三 三 分数布朗运动分数布朗运动 大多数股票市场中的现象都体现了尖峰厚尾 自相似和长期相关等分型特征 这 导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场 资本市场提出分数布朗运 动过程 已经成为弥补上述模型最简单的方法 分数布朗运动是布朗运动的推广 布朗运动指的是无相关性的随机游动 而分数 布朗运动的特征是具有持久性和长期记忆性 下面我们就来讨论股票价格是如何基于分数布朗运动进行演化的 设随机量 1 字 1 花 考虑时间段 细分 令 从0tT 0 T tTN 0 1 2 n n t nN t 而有分割 定义随机量以及序列 01 0 n T ttt H ii t RR 0 1 2 k k S 0 0 S 11 kk H iik ii t SRR 当上定义有偏的随机游走 0 T t S 1 11 k k kk kkkk tS t t S tt tt t SStt 实际上是由经过线性插值形成的路径 下面我们引进原生资产价格的相 t S kS 对值 其中为贴现因子 即对于一张在时刻面值为 1 的股票 若股 tS t t t S S B tB 0t 价平均变化幅度为 则它在时刻 的期望价值为 事实上 设是一种风险资 t t teB t 产股票的期望价值 1 tt tttt t B t B 对于 在时段 二叉树模型可以表示为 tS tt 设 令1ud HH tt ud ee 其中为常数 它表示原生资产价格的波动率 对于鞅测度 Q 有 ud q q 1 11 2 H H H t H u t t dd e oqt u dud e e 1 2 H d oqt 因此如果忽略的高阶无穷小量 在时间段内原生资产的相对价格的变动 Ht tt 上扬和下跌具有同样的概率 1 2 而它的回报 11 11 H H t H ttt H tt u up e otupt SS d Sotdownt down e 因此不计的高阶小量 我们有 由泰勒展开 不计 的高 t t H tt t SS Rt S t 阶小量 经过整理可以得到 2 2 1 ln 2 HH tt t S Rtt S 根据定义 因此在对分割以后 在每一个分点 0 1 S 0 1 B 0 T k t t 2 2 11 1 1 lnln 2 kk H i ikk ii i S SRt S 即 2 2 1 1 lnlnln 2 k H kikkkk i SStBRt 把它用线性插值连成路径 并记作 那么 t S 2 2 1 ln 2 H tttt SS 令 其中的极限为 用记的极限函数 我们有 0t t S H t B S t t S 2 2 1 ln 2 H H S tttt B 即 2 2 0 1 exp 2 H H S tttt SB 这表示股票价格演化是一个连续随机过程 它的对数用分数布朗运动来刻画 由上式可得 H dS tS t dtS t dt B 下面对一些模型参数进行求解 漂移率表示的是经过一段时间后 股价的平均变化幅度 以年为单位来计量 用比 率的形式来表示 即 波动率反映的是相对回报率的不确定性 有 0 S tE S 2 2 0 1 H S tEt S 假设我们得到在一段较长时间内的股价数据记录 这段区间由个长度相等的 0 Tn 子区间组成 再假设我们知道每个子区间末的股价 将股价表示为 t 第 个子区间的股价 样本观测值为个 具体步骤如下 iS i1n 第一步 计算下列时间序列值 1 012n i i i S I U S 第二步 计算 1 1 1 n i i UU n 2 2 1 1 1 1 n i i n SUU n 这里和是来自市场实