数学人教版六年级下册《鸽巢问题》

鸽巢问题 课堂实录 利通一小 陈加忠 教学内容教学内容 人教版小学数学六年级下册 数学广角 抽屉原理 教材分析教材分析 鸽巢问题 这是一类与 存在性 有关的问题 如任意 13 名学生 一定存在 两名学生 他们在同一个月过生日 在这类问题中 只需要确定某个物体 或 某个人 的存在就可以了 并不需要指出是哪个物体 或哪个人 也不需要 说明通过什么方式把这个存在的物体 或人 找出来 这类问题依据的理论 我们称之为 鸽巢问题 通过第一个例题教学 介绍了较简单的 鸽巢问题 只要物体数比鸽巢 数多 总有一个鸽巢至少放进 2 个物体 它意图让学生发现这样的一种存在现 象 不管怎样放 总有一个筒至少放进 2 支笔 呈现两种思维方法 一是枚举 法 罗列了摆放的所有情况 二是假设法 用平均分的方法直接考虑 至少 的情况 通过前一个例题的两个层次的探究 让学生理解 平均分 的方法能 保证 至少 的情况 能用这种方法在简单的具体问题中解释证明 第二个例题是在例 1 的基础上说明 只要物体数比鸽巢数多 总有一个鸽 巢里至少放进 商 1 个物体 因此我认为例 2 的目的是使学生进一步理解 尽量平均分 并能用有余数的除法算式表示思维的过程 学情分析学情分析 抽屉原理是学生从未接触过的新知识 难以理解抽屉原理的真正含义 发 现有相当多的学生他们自己提前先学了 在具体分的过程中 都在运用平均分 的方法 也能就一个具体的问题得出结论 但是这些学生中大多数只 知其然 不知其所以然 为什么平均分能保证 至少 的情况 他们并不理解 有 时要找到实际问题与 抽屉原理 之间的联系并不容易 即使找到了 也很难 确定用什么作为 抽屉 要用几个 抽屉 1 年龄特点 六年级学生既好动又内敛 教师一方面要适当引导 引发学生 的学习兴趣 使他们的注意力始终集中在课堂上 另一方面要创造条件和机会 让学生发表见解 发挥学生学习的主体性 2 思维特点 知识掌握上 六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少 尤 其对于 数学证明 因此 教师要耐心细致的引导 重在让学生经历知识的 发生 发展和过程 而不是生搬硬套 只求结论 要让学生不知其然 更要知 其所以然 设计理念设计理念 鸽巢问题 即鸽巢原理又称抽屉原理 它是组合数学的一个基本原理 最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的 因此 也称为狄利克雷原理 首先 用具体的操作 将抽象变为直观 总有一个筒至少放进 2 支笔 这句话对于学生而言 不仅说起来生涩拗口 而且抽象难以理解 怎样让学生 理解这句话呢 我觉得要让学生充分的操作 一在具体操作中理解 总有 和 至少 二在操作中理解 平均分 是保证 至少 的最好方法 通过操作 最直观地呈现 总有一个筒至少放进 2 支笔 这种现象 让学生理解这句话 其次 充分发挥学生主动性 让学生在证明结论的过程中探究方法 总结 规律 学生是学习的主动者 特别是这种原理的初步认识 不应该是教师牵着 学生去认识 而是创造条件 让学生自己去探索 发现 所以我认为应该提出 问题 让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确 让学生初步经历 数学证明 的过程 逐步提高学生的逻辑思维能力 再者 适当把握教学要求 我们的教学不同奥数 因此在教学中不需要求 学生说理的严密性 也不需要学生确定过于抽象的 鸽巢 和 物体 教学目标教学目标 一 知识与技能 一 知识与技能 通过数学活动让学生了解鸽巢原理 学会简单的鸽巢原理分析方法 二 过程与方法 二 过程与方法 结合具体的实际问题 通过实验 观察 分析 归纳等数学活动 让学生通过独立思 考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力 三 情感态度和价值观 三 情感态度和价值观 在主动参与数学活动的过程中 让学生切实体会到探索的乐趣 让学生切实体会到数 学与生活的紧密结合 教学重 难点教学重 难点 教学重点 理解鸽巢原理 掌握先 平均分 再调整的方法 教学难点 理解 总有 至少 的意义 理解 至少数 商数 1 教学方法教学方法 1 借助学具 学生自主动手操作 分析 推理 发现 归纳 总结原理 2 适时引导学生对枚举法和假设法进行比较 并通过逐步类推 使学生逐 步理解 抽屉问题 的 一般化模型 3 引导学生构建解决抽屉原理类问题的模式 明确 待分的物体 哪是 抽屉 平均分 商 1 4 完善评价体系 进行小组捆绑 激励学生全员参与 体验成功的乐趣 教学准备教学准备 师生课前准备 学生 每人 5 根小棒 2 个杯子 课件 学生记录自己是哪 一个月出生的 教师准备 1 副牌 教学过程教学过程 一 游戏引入 一 游戏引入 出示一副扑克牌 教师 今天老师要给大家表演一个 魔术 取出大王和小王 还剩下 52 张牌 下面 请 5 位同学上来 每人随意抽一张 不管怎么抽 至少有 2 张牌是同花色的 同学们相信 吗 5 位同学上台 抽牌 亮牌 统计 教师 设疑 你们想知道这是为什么吗 这类问题在数学上称为鸽巢问题 板书 通 过今天的学习 你就能解释这个现象了 因为 52 张扑克牌数量较大 为了方便研究 我们 先来研究几个数量较小的同类问题 设计意图 从学生喜欢的 魔术 入手 设置悬念 激发学生学习的兴趣和求知欲 望 从而提出需要研究的数学问题 二 探索新知 二 探索新知 1 教学例 1 1 教师 把 3 支铅笔放到 2 个铅笔盒里 有哪些放法 请同桌二人为一组动手试一试 教师 谁来说一说结果 小组合作 要求 同桌二人为一组 拿出 3 支铅笔和 2 个笔筒 把这 3 支铅笔放进 2 个笔筒中 摆一摆 放一放 看有几种结果 预设 3 0 2 1 一个放 3 支 另一个不放 一个放 2 支 另一个放 1 支 教师根据学生回答在黑板上 画图表示两种结果 教师 不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有 2 支铅笔 这句话说得对吗 教师 这句话里 总有 是什么意思 预设 一定有 一定有 不确定是哪个笔筒 教师 这句话里 至少有 2 支 是什么意思 预设 最少有 2 支 不少于 2 支 包括 2 支及 2 支以上 设计意图 把教材中例 1 的 笔筒 改为 铅笔盒 便于学生准备学具 且用画图 和数的分解来表示上述问题的结果 更直观 通过对 总有 至少 的意思的单独说明 让学生更深入地理解 不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有 2 支铅笔 这句话 2 教师 把 4 支铅笔放到 3 个铅笔盒里 有哪些放法 请 4 人为一组动手试一试 教师 谁来说一说结果 1 小组合作 要求 四人小组先讨论有几种摆法 再拿出 4 支铅笔和 3 个笔筒 把这 4 支铅笔放进 3 个笔筒中 每人摆出其中的一种 2 学生汇报 展台展示 交流后明确 1 四种情况 4 0 0 3 1 0 2 1 1 2 2 0 2 每种摆法中最多的一个笔筒放进了 4 支 3 支 2 支 3 总有一个笔筒至少放进了 2 支铅笔 引导学生仿照上例得出 不管怎么放 总有一个铅笔盒里至少有 2 支铅笔 质疑 前面我们是通过动手操作得出这一结论的 想一想 我们能不能找到一种更为直 接的方法 只摆一次 也能得到这个结论的方法呢 小组讨论一下 假设法 反证法 平均分平均分 如果每个盒子里放 1 支铅笔 最多放 3 支 剩下的 1 支不管放进哪一个盒子里 总有一个 盒子里至少有 2 支铅笔 首先通过平均分 余下 1 支 不管放在哪个盒子里 一定会出现 总有一个盒子里至少有 2 支铅笔 3 引导发现 1 这种分法的实质就是先怎么分的 平均分 2 为什么要一开始就平均分 均匀地分 使每个笔筒的笔尽可能少一点 方便找到 至少数 余下的 1 支 怎么放 放进哪个笔筒都行 3 怎样用算式表示这种方法 4 3 1 支 1 支 1 1 2 支 算式中的两个 1 是 什么意思 学生进行组内交流 再汇报 教师进行总结 把 4 支铅笔平均放在 3 个笔筒里 每个笔筒放 1 支 余下的 1 支 无论放在哪个笔筒 那 个笔筒就有 2 支笔 所以说总有一个笔筒至少放进了 2 支笔 指名说 互相说 这就是平 均分的方法 设计意图 从另一方面入手 逐步引入假设法来说理 从实际操作上升为理论水平 进一步加深理解 教师 把 5 支铅笔放到 4 个铅笔盒里呢 引导学生分析 如果每个盒子里放 1 支铅笔 最多放 4 支 剩下的 1 支不管放进哪一个盒子里 总有一个盒子里至少有 2 支铅笔 首先 通过平均分 余下 1 支 不管放在哪个盒子里 一定会出现 总有一个盒子里至少有 2 支 铅笔 根据学生回答板书 5 4 1 1 教师 把 6 支铅笔放到 5 个铅笔盒里呢 把 7 支铅笔放到 6 个铅笔盒里呢 你发 现了什么 引导学生得出 只要铅笔数比铅笔盒数多 1 总有一个盒子里至少有 2 支铅笔 6 5 1 1 7 6 1 1 教师 上面各个问题 我们都采用了什么方法 引导学生通过观察比较得出 平均分 的方法 4 发现规律 刚才的这种方法就是 假设法 它里面就蕴含了 平均分 我们用有 余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了 现在会用简便方法求 至少数 吗 设计意图 让学生自己通过观察比较得出 平均分 的方法 将解题经验上升为理 论水平 进一步强化方法 理清思路 3 教师 现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果 你能来说一说这个魔术 的道理吗 引导学生分析 如果 4 人选中了 4 种不同的花色 剩下的 1 人不管选那种花色 总会 和其他 4 人里的一人相同 总有一种花色 至少有 2 人选 设计意图 回到课开头提出的问题 揭示悬念 满足学生的好奇心 让学生认识到 数学的应用价值 2 教学例 2 1 课件出示例 2 把 7 本书放进 3 个抽屉 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进 3 本书 为什么 先小组讨论 再汇报 引导学生得出仿照例 1 平均分 的方法得出 如果每个抽屉放 2 本 剩下 1 本不管 放在哪个抽屉里 都会变成 3 本 所以总有一个抽屉里至少放进 3 本书 2 教师 如果把 8 本书放进 3 个抽屉 会出现怎样的结论呢 10 本呢 11 本呢 16 本呢 教师根据学生的回答板书 7 3 2 1 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进 3 本 8 3 2 2 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进 3 本 10 3 3 1 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进 4 本 11 3 3 2 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进 4 本 16 3 5 1 不管怎么放 总有一个抽屉里至少放进 6 本 教师 观察上述算式和结论 你发现了什么 引导学生得出 物体数 抽屉数 商数 余数 至少数 商数 1 5 对比算式 发现规律 先平均分 再用所得的 商 1 6 强调 和余数有没有关系 学生交流 明确 与余数无关 不管余多少 都要再平均分 所以就是加 1 7 引申拓展 笔放入笔筒的问题 鸽子飞进鸽笼以及把苹果放入鸽巢 把书放入抽屉 高 速路口同时有 4 辆车通过 3 个收费口 类似的问题我们都可以用这种方法解答 设计意图 一步一步引导学生合作交流 自主探索 让学生亲身经历问 题解决的全过程 增强学习的积极性和主动性 教师 同学们的这一发现 称为 鸽巢问题 最先是由 19 世纪的德国数学 家狄利克雷提出来的 所以又称 狄里克雷原理 也称为 鸽巢原理 这一原理 在解决实际问题中有着广泛的应用 鸽巢原理 的应用是千变万化的 用它可 以解决许多有趣的问题 并且常常能得到一些令人惊异的结果 下面我们应用 这一原理解决问题 三 巩固练习 三 巩固练习 1 5 只鸽子飞进了 3 个鸽笼 总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽子 为什么 2 11 个苹果放进了 4 个果盘 总有一个果盘至少放进了 3 个苹果 为什么 3 利通一小六年级有 395 名学生 如果每年按 365 天来算 六年级至少有几位同学的 生日在同一天 六 1 班有 64 名学生 全班至少有几人的生日在同一月 4 有一些鸽子飞入 7 个笼子里 为了保证有其中一个笼子里至少有 4 只鸽子 那么这 些鸽子至少有多少只 5 我校篮球兴趣小组的同学中 年龄最大的 12 岁 最小的 6 岁 最少从中挑选几名 学生 就一定能找到两名学生的年龄相同 四 课堂小结 四 课堂小结 教师 通过这节课的学习 你有哪些新的收获呢 我们学会了简单的鸽巢问题 可以用画图的方法来帮助我们分析 也可以用除法的意义来解答 五 板书设计 五 板书设计 鸽巢原理鸽巢原理 3 2 1 支 1 支 1 1 2 支 4 3 1 支 1 支 1 1 2 支 5 3 1 支 2 支 1 1 2 支 7 3 2 支 1 支 2 1 3 支 至少数 商 1 六 教学反思 六 教学反思 本节课是通过几个直观例子 借助实际操作 引导学生探究 鸽巢原理 初步经历 数 学证明 的过程 并有意识的培养学生的 模型思想 1 借助直观