最大公因数和最小公倍数

最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数 一 教学重点和难点 教学重点 1 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法 2 介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数 3 最大公因数和最小公倍数的性质 4 利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题 5 利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题 教学难点 1 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别 2 能够通过分解质因数方法的分析 理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质 3 利用最大公因数和最小公倍数解决问题时 对数字特点的观察 二 简要知识介绍 最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法 它们在计算时 的最大区别在于所需要的质因数是不同的 最大公因数是取公有的质因数 最小公倍数是 公有的质因数 代表 和独有的质因数都要 但是在两个数不容易看出公因数的时候 我们也可以采取辗转相除的方法进行计算 具体 的方法是 先用小的一个数除大的一个数 得第一个余数 再用第一个余数除小的一个数 得到第二个余数 又用第二个余数除第一个余数 得第三个余数 这样逐次用后一个余数 去除前一个余数 直到余数是 0 为止 那么最后一个除数就是所求的最大公约数 最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质 两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大 公约数和最小公倍数的乘积 若 a b 表示两个自然数 则 a b a b a b 在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候 首先要分清计算的是哪个 然后再进行计算 三三 知识教学知识教学 一 求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法 例 1 求 20 30 和 36 的最大公因数和最小公倍数 1 我们先来计算这三个数的最大公因数 列举法 20 的因数有 1 2 4 5 10 20 30 的因数有 1 2 3 5 6 10 15 30 36 的因数有 1 2 3 4 6 9 12 18 36 三个数的最大公因数是 2 分解质因数的方法 20 2 2 5 30 2 5 3 36 2 2 3 3 20 30 36 2 短除的方法 20 30 36 2 2 我们再来计算它们的最小公倍数 列举法 20 的倍数有 20 40 60 80 30 的倍数有 30 60 90 36 的倍数有 36 72 分解质因数的方法 20 2 2 5 30 2 5 3 36 2 2 3 3 20 30 36 2 2 3 5 3 180 短除的方法 20 30 36 2 20 30 36 2 2 3 5 3 180 3 对比 比较分解质因数的方法 20 2 2 5 30 2 5 3 36 2 2 3 3 20 30 36 2 20 30 36 2 2 3 5 3 180 比较短除的方法 20 30 36 2 20 30 36 2 2 3 5 3 180 4 小结 在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候 最大公因数要找三个数的公 有的质因数 如果其中的两个商还有质因数的话 也不要往下除 最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全 最后除到两两互质为 止 二 辗转相除法 1 方法介绍 辗转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法 辗转相除法又叫做欧几 里德除法 2 用辗转相除法计算两个数的最大公约数 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下 先用小的一个数除大的一个数 得第一个余数 再用第一个余数除小的一个数 得到第二 个余数 又用第二个余数除第一个余数 得第三个余数 这样逐次用后一个余数去除前一 个余数 直到余数是 0 为止 那么最后一个除数就是所求的最大公约数 如果最后的余数 是 1 那么原来的两个数互质 例 2 求 792 和 1134 的最大公约数 1134 792 1 342 792 342 2 108 342 108 3 18 108 18 6 没有余数 792 1134 18 用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候 效果尤其显著 3 如何用辗转相除法计算两个数的最小公倍数呢 先计算出最大公约数 再用两数之积除以最大公约数 商就是最小公倍数 例 3 792 和 1134 的最小公倍数 先用辗转相除法计算出两个数的最大公约数 18 方法见上 792 1134 49896 三 最大公约数和最小公倍数的性质 例 4 求 18 和 24 的最大公约数和最小公倍数 1 用分解质因数的方法独立完成 18 24 2 3 6 18 24 2 3 3 2 2 72 2 观察发现 18 24 4 72 3 小结 两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要的性质是 两个自然数的乘积等 于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积 若 a b 表示两个自然数 则 a b a b a b 例 5 两个数的最大公约数是 6 最小公倍数是 504 如果其中的一个数是 42 那么另一个 数是多少 分析与解答 分析与解答 根据 ab a b a b 又知 a 42 则 四 利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题 例 6 有 320 个苹果 240 个橘子 200 个梨 用这些果品 最多可以分成多少份同样的礼 物 在每份的礼物中 苹果 橘子和梨各有多少个 分析 分析 根据题目的要求 在分礼物的时候必须正好分尽 3 样果品 因此 礼物的份数必须 是 320 240 和 200 的公因数 现在还要求最多可以分成多少份同样的礼物 也就是说要求 320 240 和 200 的最大公因数 解答 解答 320 240 200 2 2 2 5 40 因此 最多可以分成 40 份 每份礼物中有苹果 320 40 8 个 橘子 240 40 6 个 梨 200 40 5 个 例 7 1 一堆螺丝钉 按 2 个一堆 3 个一堆 4 个一堆分 都能分完 螺丝钉的数量最 少有多少个 2 3 4 12 个 2 一堆螺丝钉 按 2 个一堆分剩 1 个 3 个一堆分剩 1 个 4 个一堆分剩 1 个 都能分 完 螺丝钉的数量最少有多少个 2 3 4 12 个 12 1 13 个 3 一堆螺丝钉 按 2 个一堆分少 1 个 3 个一堆分少 1 个 4 个一堆分少 1 个 都能分 完 螺丝钉的数量最少有多少个 2 3 4 12 个 12 1 11 个 4 一堆螺丝钉 按 2 个一堆分余 1 个 3 个一堆分余 2 个 4 个一堆分余 3 个 都能分 完 螺丝钉的数量最少有多少个 分析 分析 虽然余数不相同 但是余下的数都在加 1 就可以凑成一堆了 或者说总数再加 1 就 正好是 2 3 4 的最小公倍数 2 3 4 12 个 12 1 11 个 例 8 一个三位数 被 11 除余 10 被 6 除余 4 被 4 除余 2 这个三位数最小是多少 11 6 4 132 10 142 练习练习 1 计算下面各组数据的最大公因数和最小公倍数 1 35 98 112 2 70 102 462 2 用辗转相除的方法计算下面两组数的最大公因数 1 315 和 735 2 4811 和 1981 3 两个数的最大公约数是 2 最小公倍数是 1344 如果其中的一个数是 42 那么另一个数 是多少 4 把 24 个本 36 个文具盒和 42 支笔平均分给尽可能多的小朋友 能分给多少人 5 一批书不到 700 本 若按 24 本包一捆 最后一捆差 2 本 若按 28 本包一捆 最后一捆 还是差 2 本 按 32 本包一捆 最后一捆也差 2 本 这批图书有多少本 6 一个数除以 32 36 48 时都余 15 求出这个数最小是谁 7 求一个最小的自然数 这个数除 3 余 2 被 4 除余 3 被 5 除余 4 练习答案练习答案 1 计算下面各组数据的最大公因数和最小公倍数 1 35 98 112 2 70 102 462 35 98 112 7 70 102 462 2 35 98 112 7 2 5 7 8 3920 70 102 462 2 3 7 5 17 11 39270 2 用辗转相除的方法计算下面两组数的最大公因数 1 315 和 735 2 4811 和 1981 315 735 105 4811 1981 283 3 两个数的最大公约数是 2 最小公倍数是 1344 如果其中的一个数是 42 那么另一个数 是多少 2 1344 42 64 答 另一个数是答 另一个数是 64 4 把 24 个本 36 个文具盒和 42 支笔平均分给尽可能多的小朋友 能分给多少人 24 36 42 6 人 人 答 能分给答 能分给 6 人 人 5 一批书不到 700 本 若按 24 本包一捆 最后一捆差 2 本 若按 28 本包一捆 最后一捆 还是差 2 本 按 32 本包一捆 最后一捆也差 2 本 这批图书有多少本 24 28