1.3.3导数的实际应用

题组层级快练题组层级快练 十七十七 1 函数 y x3 3x2 9x 2 x 2 有 A 极大值为 5 极小值为 27B 极大值为 5 极小值为 11 C 极大值为 5 无极小值D 极大值为 27 无极小值 答案 C 解析 y 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 3 x 1 y 0 时 x 3 或 x 1 2 x0 当 x 2 时 f x 0 这 2 x 2 x2 1 x x 2 x2 时 f x 为增函数 当 0 x 2 时 f x 0 得 x 0 令 f x 0 得 x 0 则函数 f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 f 1 e 1 1 f 1 e 1 f 1 f 1 2 e 2 ef 1 故选 D 1 e 1 2 6 若函数 y ax3 bx2取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 则 1 3 A a 2b 0 B 2a b 0 C 2a b 0 D a 2b 0 答案 D 解析 y 3ax2 2bx 据题意 0 是方程 3ax2 2bx 0 的两根 1 3 a 2b 0 2b 3a 1 3 7 已知 f x 2x3 6x2 m m 为常数 在 2 2 上有最大值 3 那么此函数在 2 2 上的 最小值是 A 37 B 29 C 5 D 以上都不对 答案 A 解析 f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在 2 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 x 0 为极大值点 也为最大值点 f 0 m 3 m 3 f 2 37 f 2 5 最小值是 37 选 A 8 若函数 f x x3 3bx 3b 在 0 1 内有极小值 则 A 0 b 1 B b 1 C b 0 D b 1 2 答案 A 解析 f x 在 0 1 内有极小值 则 f x 3x2 3b 在 0 1 上先负后正 f 0 3b 0 b 0 f 1 3 3b 0 b 1 综上 b 的取值范围为 0 b 1 9 设函数 f x 在 R 上可导 其导函数为 f x 且函数 f x 在 x 2 处取得极小值 则函 数 y xf x 的图像可能是 答案 C 解析 由 f x 在 x 2 处取得极小值可知 当 x 2 时 f x 0 当 2 x0 则 xf x 0 时 xf x 0 10 已知 f x x3 px2 qx 的图像与 x 轴相切于非原点的一点 且 f x 极小值 4 那么 p q 值分别为 A 6 9 B 9 6 C 4 2 D 8 6 答案 A 解析 设图像与 x 轴的切点为 t 0 t 0 设注意 t 0 f t t3 pt2 qt 0 f t 3t2 2pt q 0 可得出 p 2t q t2 p2 4q 只有 A 满足这个等式 亦可直接计算出 t 3 11 若函数 f x ax3 3x 1 对于 x 1 1 总有 f x 0 成立 则实数 a 的取值范围为 A 2 B 4 C 4 D 2 4 答案 C 解析 f x 3ax2 3 当 a 0 时 f x min f 1 a 2 0 a 2 不合题意 当 01 时 f 1 a 4 0 且 f 1 0 解得 a 4 综上所述 a 4 1 a 2 a 12 若 f x x x c 2在 x 2 处有极大值 则常数 c 的值为 答案 6 解析 f x 3x2 4cx c2 f x 在 x 2 处有极大值 解得 c 6 f 2 0 f x 2 f x 0 x 3 时 f x 0 f x 是增函数 当 0 x 3 时 f x 0 1 2 g x 在 2 上是单调递增函数 g 2 10 最大 1 2 对于任意的 s t 2 f s g t 恒成立 即对任意 x 2 1 2 1 10 1 2 f x lnx 1 恒成立 m x xlnx m x 令 h x x xlnx 则 h x 1 lnx 1 lnx 当 x 1 时 h x 0 当 0 x0 h x 在 0 1 上是增函数 在 1 上是减函数 当 x 2 时 h x 最大值为 h 1 1 1 2 m 1 即 m 1 16 2018 贵州遵义联考 已知函数 f x x3 ax2 10 1 当 a 1 时 求函数 y f x 的单调递增区间 2 在区间 1 2 内至少存在一个实数 x 使得 f x 0 得 x 2 3 所以函数 y f x 在 0 与 上为增函数 2 3 即函数 y f x 的单调增区间是 0 和 2 3 2 f x 3x2 2ax 3x x a 2 3 当 a 1 即 a 时 f x 0 在 1 2 恒成立 f x 在 1 2 上为增函数 2 3 3 2 故 f x min f 1 11 a 所以 11 a11 这与 a 矛盾 3 2 当 1 a 2 即 a 3 时 2 3 3 2 若 1 x a 则 f x 0 若 a0 2 3 2 3 所以当 x a 时 f x 取得最小值 2 3 因此 f a 0 即a3 a3 10 a3 103 这与 a 3 矛盾 2 3 8 27 4 9 4 27 3 2 当 a 2 即 a 3 时 f x 0 在 1 2 恒成立 f x 在 1 2 上为减函数 2 3 所以 f x min f 2 18 4a 所以 18 4a 满足 a 3 9 2 综上所述 实数 a 的取值范围为 9 2 17 已知函数 f x x k ex 1 求 f x 的单调区间 2 求 f x 在区间 0 1 上的最小值 答案 1 减区间 k 1 增区间 k 1 2 k 1 时 最小值 f 0 k 1 k 2 时 最小值 f k 1 ek 1 k 2 时 最小值 f 1 1 k e 解析 1 f x x k 1 ex 令 f x 0 得 x k 1 f x 与 f x 的变化情况如下表 x k 1 k 1 k 1 f x 0 f x ek 1 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当 k 1 0 即 k 1 时 函数 f x 在 0 1 上单调递增 所以 f x 在区间 0 1 上的最小 值为 f 0 k 当 0 k 1 1 即 1 k0 则下列 结论中正确的是 A x 1 一定是函数 f x 的极大值点 B x 1 一定是函数 f x 的极小值点 C x 1 不是函数 f x 的极值点 D x 1 不一定是函数 f x 的极值点 答案 B 解析 x 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 B m1 D m 1 答案 B 解析 y ex m 则 ex m 0 必有根 m ex 0 3 函数 f x x 0 4 的最大值是 x ex A 0 B 1 e C D 4 e4 2 e2 答案 B 4 函数 f x x3 ax2 3x 9 已知 f x 在 x 3 时取得极值 则 a A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 解析 f x 3x2 2ax 3 令 f 3 0 得 a 5 5 设 a R 若函数 y eax 3x x R 有大于零的极值点 则 A a 1 3 1 3 C a 3 答案 C 解析 y aeax 3 由 y 0 得 x ln 1 a 3 a 0 a 0 3 a 又 y aeax 3x 有正根 必有得 a 3 故选 C a 0 0 3 a 1 6 已知 e 为自然对数的底数 设函数 f x ex 1 x 1 k k 1 2 则 A 当 k 1 时 f x 在 x 1 处取到极小值 B 当 k 1 时 f x 在 x 1 处取到极大值 C 当 k 2 时 f x 在 x 1 处取到极小值 D 当 k 2 时 f x 在 x 1 处取到极大值 答案 C 解析 当 k 1 时 f x ex x 1 ex 1 此时 f 1 0 故排除 A B 项 当 k 2 时 f x ex x 1 2 ex 1 2x 2 此时 f 1 0 在 x 1 附近左侧 f x 0 所以 x 1 是 f x 的极小值点 7 函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值 10 则 a b 的值为 A a 3 b 3 或 a 4 b 11 B a 4 b 1 或 a 4 b 11 C a 1 b 5 D 以上都不正确 答案 D 解析 f x 3x2 2ax b 依题意有 f 1 0 f 1 10 即解得或 3 2a b 0 1 a b a2 10 a 4 b 11 a 3 b 3 当 a 3 且 b 3 时 f x 3x2 6x 3 0 函数 f x 无极值点 故符合题意的只有 故选 D a 4 b 11 8 若函数 f x x3 3x 在 a 6 a2 上有最小值 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 1 55 C 2 1 D 2 5 答案 C 解析 f x 3x2 3 0 解得 x 1 且 x 1 为函数的极小值点 x 1 为函数的极大 值点 因为函数 f x 在区间 a 6 a2 上有最小值 所以函数 f x 的极小值点必在区间 a 6 a2 内 即实数 a 满足 a 1 6 a2 且 f a a3 3a f 1 2 由 a 1 6 a2 解得 a 1 不等式 a3 3a f 1 2 所以 a3 3a 2 0 所以 a3 1 3 a 1 0 所以 5 a 1 a2 a 2 0 所以 a 1 2 a 2 0 即 a 2 故实数 a 的取值范围是 2 1 故选 C 9 设函数 f x 在 R 上可导 其导函数为 f x 且函数 y 1 x f x 的图像如图所示 则下列结论中一定成立的是 A 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 B 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 C 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2 D 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2 答案 D 解析 1 当 x0 1 x f x 0 f x 0 即 f x 在 2 上是增函数 2 当 2 x0 1 x f x 0 f x 0 即 f x 在 2 1 上是减函数 3 当 1 x 2 时 1 x0 f x 2 时 1 x 0 1 x f x 0 即 f x 在 2 上是增函数 综上 f 2 是极大值 f 2 是极小值 10 下列关于函数 f x 2x x2 ex的判断正确的是 f x 0 的解集是 x 0 x0 则 0 x 2 正确 f x ex x x f x 在 和 上单调递减 在 22222 上单调递增 2 f 是极小值 f 是极大值 正确 易知 也正确 22 11 2015 重庆 已知函数 f x ax3 x2 a R 在 x 处取得极值 4 3 1 确定 a 的值 2 若 g x f x ex 讨论 g x 的单调性 答案 1 a 2 g x 在 4 和 1 0 上为减函数 在 4 1 和 0 上 1 2 为增函数 解析 1 对 f x 求导得 f x 3ax2 2x 因为 f x 在 x 处取得极值 所以 f 0 4 3 4 3 即 3a 2 0 解得 a 16 9 4 3 16a 3 8 3 1 2 2 由 1 得 g x x3 x2 ex 1 2 g x x3 x2 2x ex 1 2 5 2 x x 1 x 4 ex 1 2 令 g x 0 解得 x 0 x 1 或 x 4 当 x 4 时 g x 0 故 g x 为减函数 当 4 x0 故 g x 为增函数 当 1 x 0 时 g x 0 时 g x 0 故 g x 为增函数 综上 知 g x 在 4 和 1 0 上为减函数 在 4 1 和 0 上为增函 数 12 已知函数 f x 1 lnx x 1 若函数 f x 在区间 a a 其中 a 0 上存在极值 求实数 a 的取值范围 2 3 2 如果当 x 1 时 不等式 f x 恒成立 求实数 m 的取值范围 m x 1 答案 1 a0