余弦定理教学设计方案2（刘亮生）

人教人教 A 版必修五版必修五 余弦定理余弦定理 教学设计教学设计 衡阳市第八中学衡阳市第八中学 刘亮生刘亮生 一 教学内容分析一 教学内容分析 本节内容安排在 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5 人教 A 版 第一章余弦定理 第一课时 是在学生学习了三角函数 向量等知识之后 是对三角知识的应用 同时 作为三角 形中的一个定理 也是对解直角三角形内容的直接延伸 因而定理本身的应用十分广泛 余弦定理的教学分为以下这几个步骤 第一 教师通过实际问题引入 让学生将实际问题转 化数学问题 第二 类比同起点两向量的夹角与他们终点关系 举出特例 提出猜想 第三 采 用 向量法 构造直角三角形法 坐标法 三种方法证明了余弦定理 第四 通过对余弦定 理公式的变形得到推论 进一步运用定理判定三角形的形状 第五 利用定理 解决引入问题 并进行简单的应用 学生通过对任意三角形中余弦定理的探索 发现和证明 感受 观察 探究 猜想 证明 应用 这一数学思维方法 养成大胆猜想 善于思考的品质和勇于求真的 精神 二 学情分析二 学情分析 对普高高二的学生来说 已学的平面几何 解直角三角形 三角函数 向量等知识 有一定 观察分析 解决问题的能力 但对前后知识间的联系 理解 应用有一定难度 因此思维灵活性 受到制约 根据以上特点 教师恰当引导 提高学生学习主动性 多加以前后知识间的联系 带 领学生直接参与分析问题 解决问题并品尝劳动成果的喜悦 三 设计思想 三 设计思想 本节课采用探究式问题教学模式 即在教学过程中 在教师的启发引导下 以学生独立自主和 合作交流为前提 以问题为导向设计教学情境 从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体 验数学在实际生活中的运用 让学生感受数学的美 激发学生学习数学的兴趣 通过主动探索 合 作交流 感受探索的乐趣和成功的体验 体会数学的理性和严谨 逐步培养学生发现问题 探索问 题 解决问题的能力和创造性思维的能力 四 教学目标 四 教学目标 1 通过对任意三角形边角关系的探索 引导学生通过观察 探究 猜想 验证 证明 由特 殊到一般归纳出余弦定理 掌握余弦定理的内容及其证明方法 能运用余弦定理解决解斜三角形的 两类基本问题 2 通过对实际问题的探索 培养学生观察问题 提出问题 分析问题 解决问题的能力 增 强学生的协作能力和交流能力 发展学生的创新意识 培养创造性思维的能力 C A B 3 培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法 通过平面几何 三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 五 教学重点与难点 五 教学重点与难点 教学重点 教学重点 余弦定理的发现与证明 余弦定理的简单应用 教学难点 教学难点 余弦定理的猜想提出过程 余弦定理的证明 教学准备 教学准备 制作多媒体课件 学生准备计算器 六 教学过程 六 教学过程 一 创设情境 提出问题 一 创设情境 提出问题 情境情境 如图 1 所示的两地之间隔着一座小山 BA 现要在之间修建的一条隧道 在以外的点BA AB 测得 如CmAC600 mBC340 0 41 ACB 何求两地之间隧道的长度 精确到 BA m1 问题问题 1 1 上述问题是解决三角形当中有关什么问题 学生 学生 解关于知道三角形两边及它们夹角 求第三边问题 教师 教师 能否用正弦定理解决 学生 学生 不能 教师 教师 本节课我们将要探究的问题是 在已知三角形两条边的前提下 其夹角与第三条边的长度 之间关系 这正是余弦定理所揭示的规律 引入课题 设计意图 设计意图 通过实例创设情境 引发学生对本节课的兴趣 同时抽象出数学问题引入新课 2 2 问题化归 构建模型 问题化归 构建模型 问题问题 2 2 如图 2 已知 如果确定 当变化时 向量的aCB babCA ba C AB 长度的变化趋势如何 教师 用制作的动画演示 让学生发现规律 教师 用制作的动画演示 让学生发现规律 学生 学生 当变大时 向量的长度变大 C AB 设计意图 设计意图 让学生发现在已知三角形两边的前提下 找到他们的夹 AB C C A B 角的变化对第三边的变化的影响 3 3 特例探究 提出猜想 特例探究 提出猜想 问题问题 3 3 已知 若的范围为 当 aCB babCA C 180 0 000 0 C 三种特殊情况时 则分别为多少 0 90 C 0 180 C AB 学生 当学生 当时 时 0 0 CbaAB 当当时 时 0 90 C 22 baAB 当当时 时 0 180 CbaAB 教师 教师 以上三种特殊位置 可以用统一的形式表示 AB 当当时时 0 0 C12 22 bababaAB 当当时时 0 90 C 22 baAB 02 22 baba 当当时时 0 180 C 12 22 bababaAB 设计意图 设计意图 从三个特殊角度与第三边之间的关系去找到它们的共同特征 让学生提出合理猜想 问题问题 4 4 请你根据上述三个特例的结果 试猜想试猜想 在中 已知ABC 当 线段的长度为多aCB babCA 时 1800 00 CAB 少 学生学生 当时 C cos2 22 abbaAB 四 证明猜想 得出定理 四 证明猜想 得出定理 问题问题 5 5 你能证明该猜想吗 试一试 看能用几种方法证明 教师 教师 刚才我们研究了 在两向量的大小确定的前提下 两向量的夹角的变化对两向量终点连 线的长度变化的影响 我们可以用向量的方法证明猜想吗 学生思考并小组讨论 学生思考并小组讨论 学生 学生 可以用向量的数量积求边长 A C B CBA CBA 方法一 构造向量数量积 方法一 构造向量数量积 证明 证明 如图 因为 所以 ABACCB 2 2 ABACCB 22 2cos ACCBACCBC 即 CBCACBCACABcos 2 22 即 猜想成立 22 2cos ABabab 教师 教师 这种方法的思路是构造向量 借助向量的运算来证题 将向量等式转化数量等式常用的手 段是作数量积 方法二方法二 构造直角三角形 构造直角三角形 证明 证明 1 当为锐角时 过点 A 作于 D 则 C ADBC 22222 cos sin ABBDADabb 22 2cosabab 2 当为直角时 结论显然成立 C 3 当为钝角时 过点 A 作交 BC 的延长线于 D C ADBC 则 22222 cos sin ABBDADabb 22 cos sin abb 22 2cosabab 综上所述 均有 故猜想成立 22 2cos ABabab 教师 教师 这种思路是构造直角三角形 利用勾股定理来计算 AB 的长 但要注意这里要分三种情况 讨论 方法三 建立直角坐标系 方法三 建立直角坐标系 证明 证明 建立如图所示的直角坐标系 则 sin cos CACCACA 0 BCB 根据两点间的距离公式 可得 22 0sin cos CACBCCACAB 所以 CBCACBCACABcos 2 22 即 故猜想成立 22 2cos ABabab A CBx B y B A CB b aD A B C A C B b a D 教师 教师 这种思路是建立平面直角坐标系 借助于坐标运算来证题 利用坐标法的优点在于不必分 类讨论了且运算简单 设计意图 设计意图 让学生以小组为单位讨论解决问题的方法 老师适当引导点拨 由学生自己证明 充 分体现学生的主体地位 问题问题 6 6 以上结论为余弦定理余弦定理 如何用文字语言与符号语言表示以上定理 你能说出来吗 教师 教师 大家观察我们刚才证明的式子 如果把它们平方就可以得出结论 学生 学生 即 2 22 2cos ABababCabbaccos2 222 教师 教师 同理这个式子也可以用来求另外两边 你能把其他两边也用式子表示出来吗 学生 可以 学生 可以 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 教师 教师 很好 这三个式子就是余弦定理的符号语言表述形式 这个式子非常美观 便于记忆 希望大 家好好记忆 请问那位同学能用文字语言把它表述出来吗 符号语言 符号语言 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 文字语言 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦 的积的两倍 设计意图 设计意图 让学生用两种数学语言表述已经证明的定理 加深对定理的理解 提高学生的语言表达 能力及数学语言间的转换能力 特别是符号语言表述结构具有轮换对称美 便于记忆 5 5 合理变型 深化理解 合理变型 深化理解 教师 教师 我们已经得到了一个非常漂亮的定理 其符号语言表述具有轮换对称美 请大家请思考 下面的问题 问题问题 7 7 余弦定理是关于三角形的三条边与其中的一个角之间的关系 应用余弦定理 我们可 以由三角形的三边来确定三角形的角吗 怎么确定 学生 学生 求角我们可以把上面的式子变形 使角和边分离 教师 教师 很好 那大家动手写一下 看看公式变成什么样子 学生 学生 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 教师 教师 看来大家都不错 我们把刚才变形之后的公式叫做余弦定理的推论 余弦定理推论 余弦定理推论 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 设计意图 设计意图 对公式进行变形 学生很明确就能发现如何知道三角形的三边求角 问题问题 8 8 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形三 边的平方之间的关系 如何看待这两个定理之间的关系 教师 教师 你们如何看待以上的问题 能得到什么结论 学生 学生 勾股定理是余弦定理的特殊情况 余弦定理是勾股定理的推广 教师 教师 能否根据余弦定理的推论来判定三角形的每个角是锐角 直角钝角 如何判断 学生 学生 可以 将各边代人余弦定理的推论式子 根据式子的符号来判定角的余弦的符号 若 则 A 是锐角 若 则 A 是直角 若 则 A 是钝角 0cos A0cos A0cos A 教师 教师 大家一起归纳 大家一起归纳 1 1 0222 900cos AAacb 2 2 0222 900cos AAacb 3 3 0222 900cos AAacb 教师 教师 判定三角形形状关键是判定哪个角 学生 学生 判定最大角 教师 教师 说得好 在知道三角形三边的前提下 要判断三角形形状 只要判断最大角的大小即可 刚才我们对余弦定理及推论进行了探讨 大家议议 余弦定理可以解决一些什么问题 学生 学生 1 已知三角形两边及夹角 求第三边 2 已知三角形三边 求任意一角 3 判定三角形形状 设计意图 设计意图 发现勾股定理与余弦定理之间的区别与联系 并能运用定理判断角的范围 从而判定三 角形的形状 6 6 运用定理 解决问题 运用定理 解决问题 例例 1 1 在在 求边的长度 精确到 中 ABC mAC600 mBC340 0 41 ACBABm1 解 解 根据余弦定理 Cabbaccos2 222 0222 41cos3406002340600 c 4 167682 409 AB 例例 2 2 在 求该三角形的最大角与最小角的余弦值 中 ABC mAB5 mAC4 mBC6 并请判定该三角形的形状 解 解 根据余弦定理 mAB5 mAC4 mBC6 CAB bc acb A 2 cos 222 8 1 542 654 222 4 3 562 456 cos 222 B 为锐角三角形 0 90 0cos AA ABC 7 7 随堂训练 巩固反馈 随堂训练 巩固反馈 1 已知在中 那么等于 B ABC 3 a2 c 0 60 Bb A B C D 572232 2 已知在中 则等于 A ABC sin sin sinABC2 3 1 A B C A 1 2 3 B 2 3 1 C 1 3 2D 3 1 2 3 若三条线段的长为 5 6 8 则用这三条线段 C A 能组成直角三角形 B 能组成锐角三角形 C 能组成钝角三角形 D 不能组成三角形 七七 课时小结 课时小结 一 一 探究过程 探究过程 1 创设情境 提出问题 2 问题化归 构建模型 3 特例探究 提出猜想 4 证明猜想 得出定理 5 合理变型 深化理解 6 运用定理 解决问题 7 随堂训练 巩固反馈 二 二 知识体系 知识体系 1 1 余弦定理 余弦定理 文字语言 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦 的积的两倍 符号语言 符号语言 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 2 2 余弦定理推论 余弦定理推论 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 3 3 余弦定理的应用 余弦定理的应用 1 已知三角形两边及夹角 求第三边 2 已知三角形三边 求任意一角 3 判定三角形形状 三 三 探究思想方法 探究思想方法 1 从特殊到一般思想 2 转化化归思想 3 归纳猜想思想 4 数形结合思想 八 作业 八 作业 必做 必做 教材 P10 习题 1 1 A 组 3 4 选做 选做 教材 P10 习题 1 1 B 组 2 思考题 思考题 已知 a b c 为 ABC 的三边 且 a2 a 2b 2c 0 a 2b 2c 3 0 求这个三角形 的最大内角 九 教学反思 九 教学反思 本课的教学应具有承上启下的目的 因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系 又要使学生 明确本课学习的重点 将新旧知识逐渐地融为一体 构建比较完整的知识系统 所以在余弦定理的 表现方式 结构特征上重加指导 只有当学生正确地理解了余弦定理的本质 才能更好地应用求解 问题