(938)三角形综合证明解答题30题(有答案)ok

第 1 页 共 16 页 三角形综合解答证明题专项练习三角形综合解答证明题专项练习 30 题题 1 已知 如图 1 2 AD BD 于 D ACB 90 AC BC 证明 AD BE 2 如图 点 P 为 ABC 的边 BC 的中点 分别以 AB AC 为斜边作 Rt ABD 和 Rt ACE 且 BAD CAE 求 证 PD PE 3 已知 如图 ABC 中 ABC 45 CD AB 于 D BE 平分 ABC 且 BE AC 于 E 与 CD 相交于点 F H 是 BC 边的中点 连接 DH 与 BE 相交于点 G 求证 1 BF AC 2 CE BF 4 如图 ABC 中 CA CB ACB 90 D 为 ABC 外一点 且 AD BD BD 交 AC 于 E G 为 BC 上一点 且 BCG DCA 过 G 点作 GH CG 交 CB 于 H 1 求证 CD CG 2 若 AD CG 求证 AB AC BH 5 如图 在 Rt ABC 和 Rt ADE 中 AB AC AD AE CE 与 BD 相交于点 M BD 交 AC 于点 N 试猜想 BD 与 CE 有何关系 并证明你的猜想 第 2 页 共 16 页 6 如图 ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 交 BAC 的外角平分线 AD 于 D E 为垂足 DF AB 于 F 且 AB AC 求证 BF AC AF 7 如图 1 ACB 90 AC BC BE CE AD CE 于 D 1 BCE CAD 的依据是 填字母 2 猜想 AD DE BE 的数量关系为 不需证明 3 当 BE 绕点 B AD 绕点 A 旋转到图 2 位置时 线段 AD DE BE 之间又有怎样的数量关系 并证明你的结 论 8 如图 分别以 ABC 的边 AB AC 向外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE 线段 BE 与 CD 相交于点 O 连接 OA 1 求证 BE DC 2 求 BOD 的度数 3 求证 OA 平分 DOE 9 已知 如图 在 Rt ABC 中 CAB 90 AB AC D 为 AC 的中点 过点作 CF BD 交 BD 的延长线于点 F 过点作 AE AF 于点 1 求证 ABE ACF 2 过点作 AH BF 于点 H 求证 CF EH 10 探究题 如图 在 ABC 中 ACB 90 CE AB 于点 E AD AC AF 平分 CAB 交 CE 于点 F DF 的延长线交 AC 于 点 G 试问 1 DF 与 BC 有何位置关系 请说明理由 第 3 页 共 16 页 2 FG 与 FE 有何数量关系 请证明你的结论 11 如图 在平行四边形 ABCD 中 O 为对角线的交点 点 E 为线段 BC 延长线上的一点 且 过点 E 作 EF CA 交 CD 于点 F 连接 OF 1 求证 OF BC 2 如果梯形 OBEF 是等腰梯形 判断四边形 ABCD 的形状 并给出证明 12 如图 1 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C AD MN 于点 D BE MN 于点 E 1 请说明 ADC CEB 2 请你探索线段 DE AD EB 间的等量关系 并说明理由 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 其它条件不变 线段 DE AD EB 又有怎样的等量关系 不 必说理由 13 已知 如图 四边形 ABCD 中 E 在 BC 边上 AB EC B C AED 1 求证 AED 是等腰三角形 2 当 B C AED 90 时 求证 AB2 BE2 AE2 第 4 页 共 16 页 14 如图 AD 为 ABC 的中线 ADB 和 ADC 的平分线分别交 AB AC 于点 E F 求证 BE CF EF 15 已知 如图 C 90 BC AC D E 分别在 BC 和 AC 上 且 BD CE M 是 AB 的中点 连接 CM 求证 1 CEM BDM 2 MDE 是等腰直角三角形 16 如图 ABC 为等边三角形 P 为 BC 上一点 APQ 为等边三角形 1 求证 AB CQ 2 是否存在点 P 使得 AQ CQ 若存在 指出 P 的位置 若不存在 说明理由 17 如图 已知 AC 平分 BAD CE AB 于 E CF AD 于 F 且 BC CD 1 试说明 CE CF 2 BCE 与 DCF 全等吗 试说明理由 3 若 AB 21 AD 9 BC CD 10 求 CE 的长 18 如图 ACB 90 AC BC BE CE AD CE 于 D 1 ACD CBE 2 若 AD 2 5cm DE 1 1cm 求 BE 的长 第 5 页 共 16 页 19 如图所示 A E F C 在一条直线上 AE CF 过 E F 分别作 DE AC BF AC 若 AB CD 可以得到 BD 平分 EF 为什么 说明理由 20 如图 在 ABC 中 BAC 90 且 AB AC ABC ACB 45 点 D 是 AC 的中点 AE BD 于点 F 交 BC 于点 E 连接 DE 求证 1 BAF ADB 2 ADB EDC 21 已知如图 ABC 是等边三角形 边长为 6 DE BC 于 E EF AC 于 F FD AB 于 D 求 AD 的长 22 如图 ABD 和 ACE 都是 Rt 其中 ABD ACE 90 C 在 AB 上 连接 DE M 是 DE 中点 求证 MC MB 23 如图 点 C 在线段 AB 上 AD EB AC BE AD BC CF 平分 DCE 求证 1 ACD BEC 2 CF DE 第 6 页 共 16 页 24 如图 BD CE 分别是 ABC 的边 AC 和 AB 上的高 点 P 在 BD 的延长线上 BP AC 点 Q 在 CE 上 CQ AB 求证 1 AP AQ 2 AP AQ 25 如图 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F 交 AC 的平行线 BG 于 G 点 DE GF 交 AB 于点 E 连接 EG 1 求证 BG CF 2 请你判断 BE CF 与 EF 的大小关系 并证明你的结论 26 1 如图 1 已知点 P 在正三角形 ABC 的边 BC 上 以 AP 为边作正三角形 APQ 连接 CQ 求证 ABP ACQ 若 AB 6 点 D 是 AQ 的中点 直接写出当点 P 由点 B 运动到点 C 时 点 D 运动路线的长 2 已知 EFG 中 EF EG 13 FG 10 如图 2 把 EFG 绕点 E 旋转到 EF G 的位置 点 M 是边 EF 与边 FG 的交点 点 N 在边 EG 上且 EN EM 连接 GN 求点 E 到直线 GN 的距离 27 已知 ABC 是等边三角形 BDC 是等腰三角形 其中 BDC 120 过点 D 作 EDF 60 分别交 AB 于 E 交 AC 于 F 连接 EF 1 若 BE CF 求证 DEF 是等边三角形 BE CF EF 2 若 BE CF 即 E F 分别是线段 AB AC 上任意一点 BE CF EF 还会成立吗 请说明理由 第 7 页 共 16 页 28 如图甲 已知在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 说明 ADC CEB 2 说明 AD BE DE 3 已知条件不变 将直线 MN 绕点 C 旋转到图乙的位置时 若 DE 3 AD 5 5 则 BE 29 如图 已知在 ABC 中 AB AC BAC 90 分别过 B C 向过 A 的直线作垂线 垂足分别为 E F 1 如图 过 A 的直线与斜边 BC 不相交时 求证 EF BE CF 2 如图 过 A 的直线与斜边 BC 相交时 其他条件不变 若 BE 10 CF 3 求 FE 长 30 如图 1 ABC 和 CDE 为等边三角形 1 求证 BD AE 2 若等边 CDE 绕点 C 旋转到 BC EC 在一条直线上时 1 中结论还成立吗 请给予证明 3 旋转到如图 2 位置时 若 F 为 BD 中点 G 为 AE 中点 连接 FG 求证 CFG 为等边三角形 FG BC 第 8 页 共 16 页 三角形综合解答证明题三角形综合解答证明题 30 题题参考答案参考答案 1 证明 在 Rt ABD 和 Rt NBD 中 ABD NBD ASA AD ND AN ACB 90 3 AED AED 2 3 2 在 ACN 和 BCE 中 ACN BCE ASA BE AN AD BE 2 证明 如图 分别取 AB AC 的中点 M N 连接 DM PM PN NE 点 P 为 ABC 的边 BC 的中点 PM 为 ABC 的中位线 PM AC 又 NE 为直角 AEC 斜边上的中线 NE AN AC MP NE 同理 DM PN DM AM 1 3 5 2 1 三角形外角定理 同理 6 2 2 又 1 2 5 6 又 PM AC PN AB 7 9 8 9 7 8 5 7 6 8 即 DMP PNE 在 MDP 与 NPE 中 MDP NPE SAS PD PE 3 1 证明 CD AB BE AC BDC ADC AEB 90 A ABE 90 ABE DFB 90 A DFB ABC 45 BDC 90 DCB 90 45 45 DBC BD DC 在 BDF 和 CDA 中 BDF CDA AAS BF AC 2 证明 BE AC AEB CEB BE 平分 ABC ABE CBE 在 AEB 和 CEB 中 AEB CEB ASA AE CE 即 CE AC 由 1 知 AC BF CE BF 4 1 解 AD BD ADB 90 ACB 90 AED BEC CAD DBH BCG DCA 在 ACD 和 BGC 中 第 9 页 共 16 页 ACD BGC ASA CD CG 2 证明 延长 EC 到 F 使 CF CE 如图 AGC BCD AG BD CG BD AG CG GAC GCA CDG 为等腰直角三角形 CGD 45 GAC 22 5 AC BC CF CE AEF 为等腰三角形 FAC EAC 22 5 ABC 为等腰直角三角形 CAB 45 ABC 45 FAB 22 5 45 67 5 F 180 45 67 5 67 5 F FAB AB BF 而 BF BC CF AC CE AB AC CE 5 解 BD 和 CE 的关系是 BD CE BD CE 证明 ABC 和 ADE 是等腰直角三角形 BAC DAE 90 BAC CAD DAE CAD 即 BAD CAE 在 BAD 与 CAE 中 BAD CAE SAS BD CE ABD ACE ABD CBM ACB 90 ACE CBM ACB 90 BMC 90 BD CE 即 BD CE BD CE 6 证明 过 D 作 DN AC 垂足为 N 连接 DB DC 则 DN DF 角平分线性质 DB DC 线段垂直平分 线性质 又 DF AB DN AC DFB DNC 90 在 Rt DBF 和 Rt DCN 中 Rt DBF Rt DCN HL BF CN 在 Rt DFA 和 Rt DNA 中 Rt DFA Rt DNA HL AN AF BF AC AN AC AF 即 BF AF AC 7 1 解 AAS 2 证明 ACB 90 ACD BCE 90 AD DE ACD CAD 90 CAD BCE 又 AC BC ACD CBE AAS AD CE BE CD DE CE CD AD BE 3 解 DE CD CE BE AD 证明 ACB 90 ACD BCE 90 AD DE ACD CAD 90 CAD BCE 又 AC BC ACD CBE AAS AD CE BE CD DE CD CE BE AD 8 1 证明 ABD 和 ACE 都是等边三角形 AB AD AE AC BAD BDA DBA CAE 60 BAC CAE BAC BAD 第 10 页 共 16 页 即 BAE DAC 在 ABE 和 ADC 中 ABE ADC SAS BE DC 2 解 由 1 知 ABE ADC ADC ABE ADC BDO ABE BDO BDA 60 在 BOD 中 BOD 180 BDO DBA ABE 180 DBA ADC BDO 180 60 60 60 3 证明 过点 A 分别作 AM BE AN DC 垂足 为点 M N 由 1 知 ABE ADC S ABE S ADC AM AN 点 A 在 DOE 的平分线上 即 OA 平分 DOE 9 证明 1 AE AF CAB 90 EAF CAB 90 EAF EAC CAB EAC 即 BAE CAF CF BD BFC 90 CAB BDA ABD 90 DCF FDC 90 ADB FDC ABD DCF 在 ABE 和 ACF 中 ABE ACF ASA 2 由 1 知 ABE ACF AE AF EAF 90 AEF AFE 45 AH BF AHF AHE 90 CFH EAH 180 AHE AEF 45 AEF AH EH D 为 AC 中点 AD CD 在 ADH 和 CDF 中 ADH CDF AAS AH CF EH CF 10 解 1 DF BC 理由是 AF 平分 BAC CAF DAF 在 CAF 和 DAF 中 CAF DAF SAS ADF ACF CE AB ACB 90 CEB ACB 90 ACF BCF 90 B BCF 90 B ACF ADF DF BC 2 FG EF 证明 DF BC ACB 90 CE AB AGF ACB 90 FG AC CE AB AF 平分 CAB FG EF 11 1 证明 延长 EF 交 AD 于 G 如图 在平行四边形 ABCD 中 AD BC AD BC EF CA EG CA 第 11 页 共 16 页 四边形 ACEG 是平行四边形 AG CE 又 AD BC AD BC ADC ECF 在 CEF 和 DGF 中 CFE DFG ADC ECF CE DG CEF DGF AAS CF DF 四边形 ABCD 是平行四边形 OB OD OF BC 2 解 如果梯形 OBEF 是等腰梯形 那么四边形 ABCD 是矩形 证明 OF CE EF CO 四边形 OCEF 是平行四边形 EF OC 又 梯形 OBEF 是等腰梯形 BO EF OB OC 四边形 ABCD 是平行四边形 AC 2OC BD 2BO AC BD 平行四边形 ABCD 是矩形 12 解 1 理由 因为 ACD ACB BCE 180 ACB 90 所以 ACD BCE 90 又 AD MN BE MN 则 ADC CEB 90 DAC ACD 90 故 DAC ECB 而 AC CB 所以 ADC CEB AAS 2 等量关系 DE AD EB 理由 由 1 知 ADC CEB 则 AD CE DC EB 因为 DE CE DC 所以 DE AD EB 3 等量关系 DE AD EB 13 1 证明 B C AED 设 B C AED 1 2 180 2 3 180 1 3 在 ABE 和 ECD 中 ABE ECD AAS AE DE 即 AED 是等腰三角形 2 解 B 90 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 AB2 BE2 AE2 14 证明 延长 ED 到 H 使 DE DH 连接 CH FH AD 是 ABC 的中线 BD DC DE DF 分别为 ADB 和 ADC 的平分线 1 4 ADB 3 5 ADC 1 3 4 5 ADB ADC 180 90 1 2 3 2 90 即 EDF FDH 在 EFD 和 HFD 中 EFD HFD SAS EF FH 在 BDE 和 CDH 中 BDE CDH SAS BE CH 第 12 页 共 16 页 在 CFH 中 由三角形三边关系定理得 CF CH FH CH BE FH EF BE CF EF 15 证明 1 ACB 90 BC AC A B 45 M 是 AB 的中点 CM AB ACM BCM 45 CM BM AM DBM ECM 在 CEM 和 BDM 中 CEM BDM SAS 2 CEM BDM EM DM EMC DMB DMC DMB 90 DMC EMC 90 即 DME 90 MDE 是等腰直角三角形 16 1 证明 ABC 和 APQ 都是等边三角形 AB AC AP AQ BAC PAQ 60 BAC PAC PAQ PAC BAP CAQ 在 ABP 和 ACQ 中 ABP ACQ SAS ACQ B BAC 60 AB CQ 2 存在点 P 使得 AQ CQ 当 P 为 BC 中点时符合 理由是 由 1 知 ABP ACQ ACB AQP ACQ B BAC 60 BP CQ P 为 BC 中点 PC BP CQ CQP QPC 180 PCQ 180 60 60 30 APQ 是等边三角形 AQP 60 AQC 60 30 90 AQ QC 即存在点 P 使得 AQ CQ 当 P 为 BC 中点时符合 17 解 1 AC 平分 BAD CE AB CF AD CE CF 2 BCE DCF 理由是 CE AB CF AD BCE 与 DCF 都是直角三角形 在 Rt BEC 和 Rt DFC 中 Rt BEC Rt DFC HL 3 Rt BEC Rt DFC BE DF CF AF CE AB F CEA 90 AC 平分 BAF FAC EAC 在 FAC 和 EAC 中 FAC EAC AAS AE AF 设 BE x 则 AE 21 x DF x AF 9 x 21 x 9 x x 6 即 BE 6 在 Rt BCE 中 BC 10 BE 6 由勾股定理得 CE 8 18 解 1 ACB 90 AC BC BE CE AD CE 于 D ACD ACB BCE 90 BCE CBE 90 BCE 三角形内角和定理 ACD CBE 在 ACD 与 CBE 中 ACD CBE AAS 第 13 页 共 16 页 2 由 1 知 ACD CBE CE AD 2 5 BE CD CE DE AD DE 2 5 1 1 1 4 答 BE 的长是 1 4cm 19 解 BD 平分 EF 理由是 证法一 连接 BE DF DE AC BF AC AFB CED 90 DE BF AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 Rt ABF Rt CDE DE BF DE BF 四边形 DEBF 是平行四边形 BD 平分 EF 证法二 DE AC BF AC AFB CED 90 DE BF AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 Rt ABF Rt CDE DE BF 在 BFG 和 DEG 中 BFG DEG AAS EG FG 即 BD 平分 EF 20 1 证明 BAC 90 BAF DAF 90 AE BD AFD 90 DAF ADB 90 BAF ADB 2 证明 过 C 作 CM AC 交 AE 的延长线于 M 则 ACM 90 BAC CM AB MCE ABC ACB BAF ADB ADB FAD 90 ABD BAF 90 ABD CAM 在 ABD 和 CAM 中 ABD CAM ASA ADB M AD CM D 为 AC 中点 AD DC CM 在 CDE 和 CME 中 CDE CME SAS M EDC M ADB ADB EDC 21 解 由 ABC 是等边三角形得 ABC ACB BAC 60 又 DE BC 于 E EF AC 于 F FD AB 于 D DEF 为等边三角形 ADF DEB EFC AD BE CF FD AB AFD 30 AD 解得 AD 2 答 AD 的长为 2 22 证明 延长 CM DB 交于 G 第 14 页 共 16 页 ABD 和 ACE 都是 Rt CE BD 即 CE DG CEM GDM MCE MGD 又 M 是 DE 中点 即 DM EM ECM DMG CM MG G 在 DB 的延长线上 CBG 是 Rt CBG 在 Rt CBG 中 23 证明 1 AD BE A B 在 ACD 和 BEC 中 ACD BEC SAS 2 ACD BEC CD CE 又 CF 平分 DCE CF DE 24 证明 1 BD AC CE AB 已知 BEC BDC 90 ABD BAC 90 ACE BAC 90 垂直定义 ABD ACE 等角的余角相等 在 ABP 和 QCA 中 ABP QCA SAS AP AQ 全等三角形对应边相等 2 由 1 可得 CAQ P 全等三角形对应角相等 BD AC 已知 即 P CAP 90 直角三角形两锐 角互余 CAQ CAP 90 等量代换 即 QAP 90 AP AQ 垂直定义 25 证明 1 BG AC DBG DCF D 为 BC 的中点 BD CD 又 BDG CDF 在 BGD 与 CFD 中 BGD CFD ASA BG CF 2 BE CF EF BGD CFD GD FD BG CF 又 DE FG EG EF 垂直平分线到线段端点的距离相等 在 EBG 中 BE BG EG 即 BE CF EF 26 解 1 证明 ABC 和 APQ 是正三角形 AB AC AP AQ BAC PAQ BAC PAC PAQ PAC BAP CAQ 所以 ABP ACQ 3 分 3 5 分 2 解法一 过点 E 作底边 FG 的垂线 点 H 为垂 足 在 EFG 中 易得 EH 12 6 分 类似 1 可证明 EFM EGN 7 分 EFM EGN EFG EGF EGF EGN GE 是 FGN 的角平分线 9 分 点 E 到直线 FG 和 GN 的距离相等 点 E 到直线 GN 的距离是 12 10 分 解法二 过点 E 作底边 FG 的垂线 点 H 为垂足 过点 E 作直线 GN 的垂线 点 K 为垂足 在 EFG 中 易得 EH 12 6 分 类似 1 可证明 EFM EGN 7 分 EFM EGN 可证明 EFH EGK 9 分 EH EK 所以点 E 到直线 GN 的距离是 12 10 分 解法三 把 EFG 绕点 E 旋转 对应着点 M 在边 FG 上从点 F 开始运动 由题意 在运动过程中 点 E 到直线 GN 的距离不 变 不失一般性 设 EMF 90 类似 1 可证明 EFM EGN ENG EMF 90 求得 EM 12 点 E 到直线 GN 的距离是 12 酌情赋分 第 15 页 共 16 页 27 1 证明 延长 AB 到 N 使 BN CF 连接 DN ABC 是等边三角形 ABC ACB 60 DBC 是等腰三角形 BDC 120 DBC DCB 30 ACD ABD 30 60 90 在 EBD 和 FCD 中 EBD FCD SAS ED DF EDF 60 EDF 是等边三角形 EBD FCD EDB FDC 在 NBD 和 FCD 中 NBD FCD SAS DN DF NDB FDC EDB FDC EDB BDN FDC BDC 120 EDF 60 EDB FDC 60 EDB BDN 60 即 EDF EDN 在 EDN 和 EDF 中 EDN EDF SAS EF EN BE BN BE CF 即 EDF 是等边三角形 BE CF EF 2 解 BE CF EF 还成立 理由是 延长 AB 到 N 使 BN CF 连接 DN ABC 是等边三角形 ABC ACB 60 DBC 是等腰三角形 BDC 120 DBC DCB 30 ACD