连续统假设的终结

1 连续统假设的终结连续统假设的终结 李明波李明波 中国 辽宁 鞍山 提要 提要 在以康托尔 Cantor 等数学家建立的集合论基础理论前提 下 证明了实数集合是可数集合 并指出了康托尔证明实数集合不可数 的错误所在 数学史上的连续统假设 其实是个根本不该存在的问题 一 实数集合可数性的证明一 实数集合可数性的证明 在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论 1 2 3 前提下 本文首先 概括出所需的 4 个公设 1 实无穷集合是存在的 自然数集合是最为基本的实无穷集合 2 两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系 能和自然数集 合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合 否则是不可数集合 3 数轴上的所有点和全体实数一一对应 所有实数都可看成 10 进 制数 无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限 有限小数也 可看成是后面有无穷多个 0 或末位数字减 1 后续上无穷多个 9 的无限小 数 4 数轴上全部 10 进制实数的生成过程如下 在规定长度单位 1 和 数轴原点后 从数轴原点开始在数轴正向 负向同理 作出间距为 1 的 刻度点 0 1 2 3 n 将每段长度为 1 的线段进行 10 等分 加密到间距为 0 1 的刻度点 再将每段长度为 0 1 的线段进行 10 等分 加密到间距为 0 01 的刻度点 将上次得到的每段最小长度线段再 2 10 等分加密刻度点 以此循环往复 次数趋于无穷 以此循环往复 次数趋于无穷 则数轴上这些无限 稠密的刻度点位置 便与全体非负 10 进制实数一一对应 证明 证明 第 4 条公设其实是对所有非负实数 进行了精确到 整数 小 数点后 1 位小数 小数点后 2 位小数 小数点后 3 位小数 小数点 后 m 位小数 以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程 的无穷描述 n 和 m 都是自然数 从 0 起趋于无穷 写成数阵如下 0 0 列列 1 1 列列 2 2 列列 3 3 列列 n n 列列 0 0 行 行 0 1 10 0 2 10 0 3 10 0 n 10 0 1 1 行 行 0 1 10 1 2 10 1 3 10 1 n 10 1 2 2 行 行 0 1 10 2 2 10 2 3 10 2 n 10 2 3 3 行 行 0 1 10 3 2 10 3 3 10 3 n 10 3 m m 行 行 0 1 10 m 2 10 m 3 10 m n 10 m 例如 0 行中有 0 1 行中有 0 3 和 0 4 2 行中有 0 33 和 0 34 3 行中有 0 333 和 0 334 所以该数阵 0 1 2 3 行中依次含有 有限小数数列 0 0 3 0 33 0 333 和 0 0 4 0 34 0 334 中的各个项 而数列 0 0 3 0 33 0 333 和 0 0 4 0 34 0 334 的极限 都是同一无限小数 0 333 1 3 上述数阵把全部非负实数的生成过程 列成了可数个可数集合的并 集 故仍然是可数的 用对角线法也可证明 实数集合是可数集合 实数集合是可数集合 二 李明波悖论二 李明波悖论 3 笔者编出一个悖论 自然数集合是不可数的 证明 如下 自然数数列是 0 1 2 3 n 总可以找到这样的自然数 让它不在上述数列之中 该自然数首先不是 0 因为 1 就不是 0 它也不是 1 因为 2 就不是 0 1 它又不是 2 因为 3 就不是 0 1 2 它还不是 3 因为 4 就不是 0 1 2 3 它就连可以是任意大的 n 都不是 因为 n 1 就不是 0 1 2 3 n 以此类推以致无穷 即便自然数集合再大 总能找出 不在其中的自然数 所以 自然数集合不可数 证毕 上述悖论的错误在于 每次举出不在 0 1 2 3 n 之中的那个 自然数 其实都在自然数数列的后半部 n 1 n 2 n 3 里面 三 康托尔证明实数集合不可数的错误所在三 康托尔证明实数集合不可数的错误所在 1 康托尔证明实数集合不可数的方法 康托尔证明实数集合不可数的方法 只考虑证明 0 1 区间实数不可数即可 2 而证明所有实数不可数与 此法类似 将 0 1 区间实数x用无限小数写成 x 0 x1x2x3 xn 假设所有这些x可以编号如下 x 1 x 2 x 3 x k 那么马上可以写出一个 y 0 y1y2y3 ym 小数点后的这些单个数字y1 y2 y3 是依次被这么确定的 y1 和x 1 的第 1 位小数不同 y2和x 2 的第 2 位小数不同 y3和x 3 的 4 第 3 位小数不同 这样一来y就和x 1 x 2 x 3 x k 中的每个实数都不同 与把 0 1 区间所有实数能编号的假设矛盾 证毕 2 康托尔证明实数集合不可数错在哪里 康托尔证明实数集合不可数错在哪里 2 1 康托尔在构造 0 1 区间实数x数列之外的实数y时 是按小数点 后每个数字依次进行的 其过程是个无穷数列 依次记为 y 1 0 y1 y 2 0 y1y2 y 3 0 y1y2y3 y m 0 y1y2y3 yk 2 2 当 m 1 2 3 k 时 y m 只能说明它不在x数列前半部 x 1 x 2 x 3 x k 之中 但却不能说明它也不在 x 数列的后半部 x k 1 x k 2 x k 3 之中 2 3 其实y m 必在x数列的后半部之中 因为前提已假设 0 1 区间所 有实数都已被列入到了x数列之中 如果x数列的后半部之中也没有这 个y m 那么说明x数列在编制时有遗漏 但这与前提假设相矛盾 是 绝对不能被允许的 2 4 康托尔构造y时 每一步的y m 都是不成功的 因为它都必在x 数列的后半部之中 无论 m 的数值有多么巨大 所以他的这个证明是错 误的 康托尔的这个证明 与前述的 李明波悖论 可谓同出一辙 证毕 参考文献参考文献 5 1 美 B 柯朗 H 罗宾 数学是什么 北京 科学出版社 1985 98 117 2 张景中 数学与哲学 北京 中国少年儿童出版社 2003 38 66 3 张锦文 王雪生 连续统假设 辽宁教育出版社 1989 31 52 李明波李明波 简介简介 男 出生于 1963 年 12 月 14 日 辽宁鞍山甘泉人 建筑专业高级工程师 1980 年 9 月 1 在中国第三冶金建设公司参加工作做力工 1982 年 9 月 1 日考入鞍钢工学院工业与民 用建筑系 毕业后一直从事建筑行业的技术工作 包括施工方 甲方 监理 设计 在建筑 数 学 发明领域发表过许多论文 并在三个领域均荣获辽宁省奖励 有两项发明荣获国家专利权 28 岁时被奖励一户住房 先后被破格晋升中 高两级职称 晋中级时提前 2 年 1991 年加入中 国数学会 业余爱好还有 美术 书法 诗歌 QQ1551363031 1 在建筑方面的主要成就在建筑方面的主要成就 1 当时任鞍山市国税局综合楼工程技术负责人 该工程于 1996 年被评为辽宁省优质工程 2 1993 年 纠正了前苏联建筑专家斯托鲁任科对钢管混凝土承载力定积分结果的诸多错误 3 1996 年 解决了建筑工程界技术难题 四角附着塔式起重机附着杆内力计算 4 2005 年 任房地产总工期间创立户型快速组合法 在河北廊坊阿尔卡迪亚小区规划设计详规 中实施 为房地产创造数千万利润 5 2007 年在北京奥运场馆建设中 获北京远达国际工程管理公司颁发的个人成绩突出奖 2 在数学方面的主要成就在数学方面的主要成就 1 数学界讲究如何对较小整数进行简单运算去逼近 被印度誉为国宝的数学家拉马努金用 3 141592653 1 10 9 超越了让中国人引以为荣的祖冲之密率 4 22 2143 355 113 3 1415929 3 10 7 李明波用22 17 37 47 88 83 3 1415926535 1 10 10 突破了拉马努金的上述结果 注 3 14159265358979323846 2 纠正了有 200 多年历史的威尔逊定理 指出威尔逊定理存在唯一反例 n 1 3 给出了所有素数一元函数公式 n1 1 1 cos 2 n n np2 1 1 cos 1 2 n n np 为正整数 这两结果超越了国外数学家相应的二元函数素数公式 4 发现了用三边表三角形面积的新公式 4 2 4442222 cbacbaS 5 发现了双魔定理 魔叶定理 以三角形边为一边做向外 或内 作正 n 边形 将正 n 边形中 心与三角形对角顶连线 这样的三条线共点 魔星定理 三角形内角 或外角 n 等分角线交点 与三角形对角顶连线 这样的三线共点 6 6 通过对拿破仑三角形的研究 给出了拿破仑 李明波正六边形定理 以三角形边为一边在三角 形外 或内 做正三角形 ABC ACB BCA 则这三个正三角形的重心与三角形 AB C BA C CA B 的重心 恰构成一正六边形的顶点 7 证明了著名的数学