(均值不等式)总结整理及典例

均值不等式归纳总结 1 1 若Rba 则abba2 22 2 若Rba 则 2 22 ba ab 当且仅当 ba 时取 2 1 若 Rba 则ab ba 2 2 若 Rba 则abba2 当且仅当 ba 时取 3 若 Rba 则 2 2 ba ab 当且仅当 ba 时取 3 若0 x 则 1 2x x 当且仅当1x 时取 若0 x 则 1 2x x 当且仅当1x 时取 若0 x 则 111 22 2xxx xxx 即或 当且仅当ba 时取 4 若0 ab 则 2 a b b a 当且仅当ba 时取 若0ab 则22 2 ababab bababa 即或 当且仅当ba 时取 5 若Rba 则 2 2 22 2 baba 当且仅当ba 时取 1 当两个正数的积为定植时 可以求它们的和的最小值 当两个正数的和为 定 值时 可以求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 3 均值定理在求最值 比较大小 求变量的取值范围 证明不等式 解决实 际问题方面有广泛的应用 应用一 求最值 例 1 求下列函数的值域 1 y 3x 2 2 y x 1 2x 2 1 x 解 1 y 3x 2 2 值域为 1 2x 266 2 当 x 0 时 y x 2 2 1 x 当 x 0 时 y x x 2 2 1 x 1 x 值域为 2 2 解题技巧 技巧一 凑项 例 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 yx x 的最大值 解 因450 x 所以首先要 调整 符号 又 1 42 45 x x A不是常数 所 以对42x 要进行拆 凑项 5 540 4 xx 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x 即1x 时 上式等号成立 故当1x 时 max 1y 评注 本题需要调整项的符号 又要配凑项的系数 使其积为定值 技巧二 凑系数 例 1 当时 求 82 yxx 的最大值 解析 由知 利用均值不等式求最值 必须和为定值或积为 定值 此题为两个式子积的形式 但其和不是定值 注意到2 82 8xx 为定 值 故只需将 82 yxx 凑上一个系数即可 当 即 x 2 时取等号 当 x 2 时 82 yxx 的最大值为 8 评注 本题无法直接运用均值不等式求解 但凑系数后可得到和为定值 从而 可利用均值不等式求最大值 变式 设 2 3 0 x 求函数 23 4xxy 的最大值 解 2 3 0 x 023 x 2 9 2 232 2 23 22 23 4 2 xx xxxxy 当且仅当 232xx 即 2 3 0 4 3 x时等号成立 技巧三 分离 例 3 求 2 710 1 1 xx yx x 的值域 解析一 本题看似无法运用均值不等式 不妨将分子配方凑出含有 x 1 的 项 再将其分离 当 即时 4 21 59 1 yx x 当且仅当 x 1 时取 号 技巧四 换元 解析二 本题看似无法运用均值不等式 可先换元 令 t x 1 化简原式在分 离求最值 22 1 7 1 10544 5 tttt yt ttt 当 即 t 时 4 259yt t 当 t 2 即 x 1 时取 号 评注 分式函数求最值 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将 式子分开再利用不等式求最值 即化为 0 0 A ymg xB AB g x g x 恒正 或恒负的形式 然后运用均值不等式来求最值 技巧五 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 结合函数 a f xx x 的单调性 例 求函数 2 2 5 4 x y x 的值域 解 令 2 4 2 xt t 则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4 2 4 xtt t x 因 1 0 1tt t 但 1 t t 解得1t 不在区间 2 故等号不成立 考虑单调性 因为 1 yt t 在区间 1 单调递增 所以在其子区间 2 为单调递增函数 故 5 2 y 所以 所求函数的值域为 5 2 练习 求下列函数的最小值 并求取得最小值时 x 的值 1 2 31 0 xx yx x 2 1 2 3 3 yxx x 3 1 2sin 0 sin yxx x 2 已知01x 求函数 1 yxx 的最大值 3 2 0 3 x 求函数 2 3 yxx 的最大值 条件求最值 1 若实数满足2 ba 则 ba 33 的最小值是 分析 和 到 积 是一个缩小的过程 而且 ba 33 定值 因此考虑利用 均值定理求最小值 解 ba 33 和都是正数 ba 33 632332 baba 当 ba 33 时等号成立 由2 ba及 ba 33 得1 ba即当1 ba时 ba 33 的最小值是 6 变式 若 44 loglog2xy 求 11 xy 的最小值 并求 x y 的值 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 2 已知0 0 xy 且 19 1 xy 求xy 的最小值 错解 0 0 xy 且 19 1 xy 199 2212xyxyxy xyxy 故 min12xy 错因 解法中两次连用均值不等式 在2xyxy 等号成立条件是xy 在 199 2 xyxy 等号成立条件是 19 xy 即9yx 取等号的条件的不一致 产生错误 因此 在利用均值不等式处理问题时 列出等号成立条件是解题的必要步骤 而且是检验转换是否有误的一种方法 正解 19 0 0 1xy xy 199 106 1016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时 上式等号成立 又 19 1 xy 可得4 12xy 时 min16xy 变式 1 若 Ryx 且12 yx 求 yx 11 的最小值 2 已知 Ryxba 且 1 y b x a 求yx 的最小值 技巧七 已知x y为正实数 且x 2 1 求x的最大值 y 2 21 y 2 分析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式ab a 2 b 2 2 同时还应化简中y2前面的系数为 x x x 1 y 2 1 21 y 22 下面将x 分别看成两个因式 x 即x x 3 41 y 22 3 4 2 技巧八 已知a b为正实数 2b ab a 30 求函数y 的最小值 1 ab 分析 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化 为一元函数问题 再用单调性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可 行的 二是直接用基本不等式 对本题来说 因已知条件中既有和的形式 又 有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等式放缩后 再通过解不 等式的途径进行 法一 a ab b 30 2b b 1 30 2b b 1 2 b 2 30b b 1 由a 0 得 0 b 15 令t b 1 1 t 16 ab 2 t 34 t 2 2t 2 34t 31 t 16 t 16 t 8 ab 18 y 当且仅当t 4 即b 3 a 6 时 等号成立 1 18 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 30 ab 2 2 ab2 ab 令u 则u2 2u 30 0 5 u 3 ab222 3 ab 18 y ab2 1 18 点评 本题考查不等式ab ba 2 Rba 的应用 不等式的解法及运算能 力 如何由已知不等式230abab Rba 出发求得ab的范围 关键是寻 找到abba与 之间的关系 由此想到不等式ab ba 2 Rba 这样将已知条 件转换为含ab的不等式 进而解得ab的范围 变式 1 已知a 0 b 0 ab a b 1 求a b的最小值 2 若直角三角形周长为 1 求它的面积最大值 技巧九 取平方 5 已知x y为正实数 3x 2y 10 求函数 W 的最值 3x2y 解法一 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系 本题 a b 2 a 2 b 2 2 很简单 2 3x2y22 3x 2y5 解法二 条件与结论均为和的形式 设法直接用基本不等式 应通过平方化函 数式为积的形式 再向 和为定值 条件靠拢 W 0 W2 3x 2y 2 10 2 10 2 2 3x2y3x2y3x2y 10 3x 2y 20 W 2 205 变式 求函数 15 2152 22 yxxx 的最大值 解析 注意到21x 与52x 的和为定值 22 2152 42 21 52 4 21 52 8yxxxxxx 又0y 所以02 2y 当且仅当21x 52x 即 3 2 x 时取等号 故 max 2 2y 评注 本题将解析式两边平方构造出 和为定值 为利用均值不等式创造了 条件 总之 我们利用均值不等式求最值时 一定要注意 一正二定三相等 同时 还要注意一些变形技巧 积极创造条件利用均值不等式 应用二 利用均值不等式证明不等式 1 已知cba 为两两不相等的实数 求证 cabcabcba 222 1 正数a b c满足a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 例 6 已知 a b cR 且1abc 求证 111 1118 abc 分析 不等式右边数字 8 使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三 个 2 连乘 又 112 1 abcbc aaaa 可由此变形入手 解 a b cR 1abc 112 1 abcbc aaaa 同理 12 1 ac bb 12 1 ab cc 上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得 111222 1118 bcacab abcabc AA 当且仅当 1 3 abc 时取等号 应用三 均值不等式与恒成立问题 例 已知0 0 xy 且 19 1 xy 求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围 解