高三数学三角函数复习_教案

第 1 页 共 7 页 三角函数模块专题复习三角函数模块专题复习 任意角的三角函数及诱导公式 陈云峰 一 课标要求 一 课标要求 1 任意角 弧度 了解任意角的概念和弧度制 能进行弧度与角度的互化 2 三角函数 1 借助单位圆理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 2 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 的正弦 余弦 正 2 切 二 要点精讲二 要点精讲 1 任意角的概念 旋转开始时的射线叫做角的始边 叫终边 射线的端点叫做叫的顶点 OAOBO 规定 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 如果一条射线没有做任何旋转 我们称它形成了一个零角 2 终边相同的角 象限角 轴线角 3 弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角 记作 1 或 1 弧度 或rad 1 单位可以省略不写 角有正负零角之分 它的弧度数也应该有正负零之分 角的弧度数的绝对值是 其中 l 是圆心角所对的弧长 是半径 r l r 角度制与弧度制的换算主要抓住 180rad 弧度与角度互换公式 1rad 1 rad 180 180 弧长公式 是圆心角的弧度数 rl 扇形面积公式 2 2 1 2 1 rrlS 注意 无论用 弧度 还是 角度 作单位 角的大小是一个与半径的大小无关的定值 在解题过程中 弧度 与 角度 不能混用 如 或都不规 0 230 kkZ 0 90 4 kkZ 范 4 三角函数定义 利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意 a的终边 P x y O x y 第 2 页 共 7 页 角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y 1 叫做的正弦 记做 即 y sin siny 2 叫做的余弦 记做 即 x cos cosx 3 叫做的正切 记做 即 y x tan tan 0 y x x 注意 三角函数值的符号满足 一全正 二正弦 三正切 四余弦 的规律 5 三角函数线 正弦线 余弦线 正切线 注意 正弦线 正切线的方向同纵轴一致 向上为正 向下为负 余弦线的方向同横轴一致 向右为正 向左为负 当角终边在 x 轴上时 正切线变成一个点 当角终边在 y 轴上时 正切线不存在 6 同角三角函数关系式 1 平方关系 22 sincos1 2 倒数关系 tancot 1 3 商数关系 sin tan cos 注意 同角 有两层含义 一是 角相同 二是对 任意 一个角关系式都成立 同角三角函数的基本关系式必须在定义域允许的范围内成立 7 诱导公式 总口诀为 奇变偶不变 符号看象限 其中 奇 偶 是指中 2 kkZ 的 k 的奇偶性 符号 是把任意角当成锐角时 原函数值的符号 注意 应用诱导公式 重点是 函数名称 和 正负号 的正确判断 用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤 负化正 大化小 小化锐 锐求 值 在运用诱导公式时 要仔细体会其中的数学思想 化归思想 并在学习过程中能 自觉地运用 诱导公式起着变名 变号 变角等作用 在三角有关问题 化简 求值 证明 中常使用 三 典例解析三 典例解析 题型 1 象限角象限角 第 3 页 共 7 页 例 1 已知角 45 1 在区间内找出所有与角有相同终边的角 0 720 2 集合 那么两集合 00 18045 2 k Mx xkZ 00 18045 4 k Nx xkZ 的关系是什么 解析 1 所有与角有相同终边的角可表示为 36045Zkk 则令 得 036045720k 45360765k 解得 从而或 360 45 360 765 k2 k1 k 代回或 675 315 2 因为表示的是终边落在四个象限的平分线 ZkkxxM 45 12 上的角的集合 而集合表示终边落在坐标轴或四个象 ZkkxxN 45 1 限平分线上的角的集合 从而 MN 点评 从终边相同的角的表示入手分析问题 先表示出所有与角有相同终边的角 然 后列出一个关于的不等式 找出相应的整数 代回求出所求解 kk 可对整数的奇 偶数情况展开讨论 k 例 2 若 sin cos 0 则 在 A 第一 二象限 B 第一 三象限 C 第一 四象限 D 第二 四象限 例 3 已知 是第三象限角 则是第几象限角 3 解法一 因为是第三象限角 所以 Zkkk 2 3 22 Zk kk 23 2 333 2 当 k 3m m Z 时 为第一象限角 3 当 k 3m 1 m Z 时 为第三象限角 3 第 4 页 共 7 页 当 k 3m 2 m Z 时 为第四象限角 3 故为第一 三 四象限角 3 解法二 用画象限图 几何法 把各象限均分 n 等份 再从 x 轴的正向的上方起 依次将各区域标上 I 并循环一周 则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 n N n 的终边所在的区域 点评 已知角的范围或所在的象限 求所在的象限是常考题之一 一般解 n 法有直接法和几何法 题型 2 三角函数定义三角函数定义 例 4 已知角的终边过点 求的四个三角函数值 2 0 aa a 例 5 已知角的终边上一点 且 求的值 3 Pm 2 sin 4 m cos sin 题型 3 诱导公式诱导公式 例 6 2 tancotcosxxx tan xsin xcosxcot x 解 22 222 sincossincos tancotcoscoscos cossinsin cos xxxx xxxxx xxxx 故选 D cos cot sin x x x 点评 此题重点考察各三角函数的关系 熟悉三角公式 化切为弦 以及注意 22 sincos sincos1 tan cot cossin xx xxxx xx 例 7 化简 1 sin 180 sin tan 360 tan 180 cos cos 180 第 5 页 共 7 页 2 sin sin sin cos nn nZ nn 解析 当时 原式 2 nk kZ sin 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 cos kk kk 当时 原式 21 nkkZ sin 21 sin 21 2 sin 21 cos 21 cos kk kk 点评 关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别 n k 所以必须把分成奇数和偶数两种类型 分别加以讨论 n 题型 4 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 例 8 证明 111 sin 1tan cos 1 tansincos 分析 证明此恒等式可采取常用方法 也可以运用分析法 即要证 只要 D C B A 证 A D B C 从而将分式化为整式 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 证明 左边 sincos sin 1 cos 1 cossin 22 sincos sincos cossin 22 sincos sin cos cossin 2222 sincoscossin sincos 11 sincos 右边 点评 在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时 需要仔细观察题目的 特征 灵活 恰当地选择公式 利用倒数关系比常规的 化切为弦 要简洁得多 同角三角函数的基本关系式有三种 即平方关系 商的关系 倒数关系 四 课堂练习 四 课堂练习 1 在中 若 则 ABC 6 3 60 ABACB A 75 第 6 页 共 7 页 2 cos43 cos77 sin43 cos167 的值为 2 1 3 锐角 中 且 则的最大值为 ABCABtan3tanAB AB 6 4 设则的值等于 31 sin tan 522 tan 2 24 7 5 在 ABC 中 BC 1 当 ABC 的面积等于时 3 B3 Ctan2 3 6 若 的三个内角的正弦值分别等于 的三个内角的余弦值 则 ABCA B C 的三个内角从大到小依次可以为 写出满足题设的一ABC 组解 另两角不惟一 但其和为 4 4 7 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 给出下列结论 若 A B C 则 CBAsinsinsin 若 CBAcbacoscoscos 则 必存在 A B C 使成立 CBACBAtantantantantantan 若 则 ABC 必有两解 25 20 40Bba 其中 真命题的编号为 写出所有真命题的编号 8 求证 cos1 sin 1 sincos xx xx 五 思维总结五 思维总结 1 几种终边在特殊位置时对应角的集合为 角的终边所在位置角的集合 X 轴正半轴 Zkk 360 Y 轴正半轴 Zkk 90360 X 轴负半轴 Zkk 180360 Y 轴负半轴 Zkk 270360 第 7 页 共 7 页 X 轴 Zkk 180 Y 轴 Zkk 90180 坐标轴 Zkk 90 2 2 之间的关系 2 若 终边在第一象限则终边在第一或第三象限 2 终边在第一或第二象限或 2 y 轴正半轴 若 终边在第二象限则终边在第一或第三象限 2 终边在第三或第四象限或 2 y 轴负半轴 若 终边在第三象限则终边在第二或第四象限 2 终边在第一或第二象限或 2 y 轴正半轴 若 终边在第四象限则终边在第二或第四象限 2 终边在第三或第四象限或 2 y 轴负半轴 3 学