2013版高考数学一轮复习精品学案：24二次函数

20132013 版高考数学一轮复习精品学案 函数 导数及其应用版高考数学一轮复习精品学案 函数 导数及其应用 2 4 二次函数二次函数 高考新动向高考新动向 一 考纲点击一 考纲点击 1 理解并掌握二次函数的定义 图象及性质 2 会求二次函数在闭区间上的最值 3 运用二次函数 一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题 二 热点 难点提示二 热点 难点提示 1 二次函数图象的应用及求最值是高考的热点 2 常将二次函数及相应的一元二次不等式 一元二次方程交汇在一起命题 重点考查三者之间的综合 应用 3 题型以选择题 填空题为主 若与导数 解析几何知识交汇 则以解答题的形式出现 考纲全景透析考纲全景透析 1 1 二次函数的解析式二次函数的解析式 2 2 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 热点难点全析热点难点全析 一 求二次函数的解析式一 求二次函数的解析式 1 相关链接 相关链接 求二次函数解析式的方法及思路求二次函数解析式的方法及思路 求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 2 例题解析 例题解析 例例 1 1 设二次函数 f x 满足 f x 2 f x 2 且图象在 y 轴上的截距为 1 在 x 轴上截得的线段长为 求 f x 的解析式 2 2 方法诠释 二次函数 f x 满足 f x t f t x 则其对称轴方程为 x t 图象在 x 轴上截得的线段长 度公式为 x1 x2 本题可设 f x 的一般式 亦可设顶点式 解析 设 f x 的两零点分别为 x1 x2 方法一 设 f x ax2 bx c 则由题知 c 1 且对称轴为 x 2 即 b 4a f x ax2 4ax 1 b 2 2a 1 2 2 121212 4 xxxx4x x162 2a a b 4a 2 函数 f x 的解析式为 1 2 2 f xx2x1 方法二 f x 2 f x 2 二次函数 f x 的对称轴为 x 2 设 f x a x 2 2 b 且 f 0 1 4a b 1 f x a x 2 2 1 4a ax2 4ax 1 2 121212 4 xxxx4x x162 2 a 11 22 2 ab1f xx2x1 方法指导 用待定系数法求二次函数的解析式 1 设一般式是通法 2 已知顶点 对称轴或最值 往往设顶点式 3 已知图象与 x 轴的两交点 往往设两根式 若选用形式不当 引入的待定系数过多 会加大运算量 例例 2 2 如图 抛物线与直线 y k x 4 都经过坐标轴的正半轴上 两点 该抛物线的对称轴 x 1 与 x 轴相交于点 且 ABC 90 求 1 直线 AB 对应函数的解析式 2 抛物线的解析式 解析 1 由已知及图形得 A 4 0 B 0 4k 1 0 又 CBA BOC 90 OB2 CO AO 4k 2 1 4 1 2 k 又 由图知 k 0 1 2 k 所求直线的解析式为 1 2 yx2 2 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 则解得 016a4bc 2c b 1 2a 1 a 12 1 b 6 c2 所求抛物线的解析式为 2 11 yxx2 126 二 二次函数图象与性质的应用二 二次函数图象与性质的应用 1 相关链接 相关链接 求二次函数最值的类型及解法求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类 型 解决的关键是对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解 最值一般在区间的端点或顶点处取得 二次函数单调性问题的解法二次函数单调性问题的解法 结合二次函数图象的升 降对对称轴进行分析讨论求解 注 配方法是解决二次函数最值问题的常用方法 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系 2 例题解析 例题解析 例 2012 2012 盐城模拟盐城模拟 已知函数 f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当 a 2 时 求 f x 的最值 2 求实数 a 的取值范围 使 y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当 a 1 时 求 f x 的单调区间 方法诠释 解答 1 和 2 可根据对称轴与区间的关系 结合图象或单调性直接求解 对于 3 应先将 函数化为分段函数 再求单调区间 解析 1 当 a 2 时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 2 函数 f x x2 2ax 3 的对称轴为 2a xa 2 要使 f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4 或 a 6 解得 a 4 或 a 6 3 当 a 1 时 f x x2 2 x 3 2 2 2 2 x2x3x12 x0 x2x3x12 x0 其图象如图所示 注 注 1 影响二次函数 f x 在区间 m n 上最值的要素有三个 即抛物线的开口方向 对称轴位置 闭区间 常用数形结合思想求解 但当三要素中有一要素不明确时 要分情况讨论 2 确定与应用二次函数单调性 常借助其图象数形结合求解 三 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的综合问题三 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的综合问题 1 相关链接 相关链接 二次函数问题的解题思路二次函数问题的解题思路 1 解决一元二次方程根的分布问题的方法 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方 向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四个方面分析 2 解决一元二次不等式的有关问题的策略 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 2 例题解析 例题解析 例 3 设函数 f x ax2 2x 2 对于满足 1 x 4 的一切 x 值都有 f x 0 求实数 a 的取值范围 方法诠释 解答本题可以有两条途径 1 分 a 0 a 0 a 0 三种情况 求出 f x 在 1 4 上的最小 值 f x min 再令 f x min 0 从而求出 a 的取值范围 2 将参数 a 分离得然后求 的最大值即可 2 22 a xx 2 22 g x xx 解析 方法一 当 a 0 时 2 11 f xa x2 aa 由 f x 0 x 1 4 得 1 1 a f 1a220 或或 1 14 a 11 f20 aa 1 4 a f 416a820 a1 a0 或或 1 2 1 a1 4 a 1 a 4 3 a 8 a 1 或或 即 1 2 a1 1 2 a 当 a 0 时 f 1a220 f 416a820 解得 a 当 a 0 时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 不合题意 综上可得 实数 a 的取值范围是 1 2 a 方法二 由 f x 0 即 ax2 2x 2 0 x 1 4 得 2 22 a xx 在 1 4 上恒成立 令 11 22 2 2 221 g x2 xxx 1 2 max 11 1g xg 2 x4 所以要使 f x 0 在 1 4 上恒成立 只要即可 1 2 a 注 1 一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用 问题求解 但要注意讨论 2 关于不等式的恒成立问题 能用分离参数法 尽量用 因为该法可以避开频繁地对参数的讨论 高考零距离高考零距离 1 2012 福建高考文科 15 已知关于的不等式在 R 上恒成立 x 2 20 xaxa 则实数的取值范围是 a 解题指南 开口向上的抛物线 要恒正 必须和 x 轴没有交点 解析 选由题 解得 2 80aa 0 8 a 答案 0 8 2 2012 北京高考文科 14 已知 f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若 f x 0 或 g x 0 则 m 的取值范围是 xR 解题指南 由于的符号容易确定 先从的符号入手 对于时 为 g x g x f x 0m 二次函数 两个零点 利用其图象就可以列出式子来 2 3mm 解析 当时 当时 只需 易知时 不成 1x 0g x 1x 0g x 0f x 0m 立 所以 解得 综上 0 21 31 m m m 40m 40m 答案 40m 3 2010 安徽高考理科 6 设0abc 二次函数 2 f xaxbxc 的图象可能是 B 命题立意 本题主要考查二次函数图像与其系数的关系 考查考生的逻辑推理能力 思路点拨 逐项验证 由图象先确定a c的符号 再根据对称轴的正负确定 b的符号 规范解答 选 由选项的二次函数图象可知 0 0 ac 且对称轴0 2 b a 所以0b 满足0abc 故 正确 同理可判断 B 错误 方法技巧 根据二次函数图像开口向上或向下 分0a 或0a 两种情况分类考虑 另外还要注 意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响 考点提升训练考点提升训练 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 已知 x R 函数 f x m 1 x2 m 2 x m2 7m 12 为偶函数 则 m 的值是 1 2 3 4 2 如果函数 f x x2 bx c 对任意实数 t 都有 f 2 t f 2 t 那么 f 2 f 1 f 4 f 1 f 2 f 4 f 2 f 4 f 1 f 4 f 2 f 1 3 2012 长春模拟 设二次函数 f x ax2 bx c 如果 f x1 f x2 x1 x2 则 f x1 x2 等于 b 2a b a c 2 4acb 4a 4 如图是二次函数 f x x2 bx a 的部分图象 则函数 g x lnx f x 的零点所在的区间是 1 2 2 3 1 1 4 1 2 1 2 5 预测题 函数 f x ax2 a 3 x 1 在区间 1 上是递减的 则实数 a 的取值范围是 3 0 3 2 0 3 0 6 易错题 若不等式 x2 ax 1 0 对于一切 x 0 恒成立 则 a 的最小值是 1 2 0 2 3 5 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 2012 福州模拟 已知二次函数 f x ax2 bx 1 的值域为 0 且 f 1 0 则 a b 8 若函数 f x x a bx 2a a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式 f x 9 2012 泉州模拟 若函数 y x2 3x 4 的定义域为 0 m 值域为 4 则 m 的取值范围为 25 4 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 2012 厦门模拟 已知函数 f x x2 lga 2 x lgb 满足 f 1 2 且对于任意 x R 恒有 f x 2x 成立 1 求实数 a b 的值 2 解不等式 f x x 5 11 2012 长沙模拟 已知函数 f x x2 2ax 5 a 1 1 若 f x 的定义域和值域均是 1 a 求实数 a 的值 2 若对任意的 x1 x2 1 a 1 总有 f x1 f x2 4 求实数 a 的取值范围 探究创新探究创新 16 分 已知直线 AB 过 x 轴上一点 A 2 0 且与抛物线 y ax2相交于 B 1 1 两点 1 求直线和抛物线对应的函数解析式 2 问抛物线上是否存在一点 使 S OAD S OBC 若存在 请求出点坐标 若不存在 请说明理由 答案解析答案解析 1 解析 选 由已知 f x f x m 2 x 0 又 x R m 2 0 得 m 2 2 解析 选 依题意 函数 f x x2 bx c 的对称轴方程为 x 2 且 f x 在 2 上为增函数 因为 f 1 f 2 1 f 2 1 f 3 2 3 4 f 2 f 3 f 4 即 f 2 f 1 f 4 3 解析 选 f x1 f x2 x1 x2 12 xxb 22a 即 x1 x2 f x1 x2 f a 2 b c c b a b a b a b a 4 解析 选 由二次函数的图象知 2 a0 b 01 2 1ba0 又 f x 2x b g x lnx 2x b a0 1b2 则 g ln 2 b ln 1 b 1 2 1 2 1 2 1 2 ln 0 1 b 0 g 0 1 2 1 2 g 1 ln1 2 b 2 b 0 g 1 g 0 故选 1 2 5 解析 选 当 a 0 时 f x 3x 1 显然成立 当 a 0 时 需解得 3 a 0 a0 a3 1 2a 综上可得 3 a 0 误区警示 本题易忽视 a 0 这一情况而误选 失误的原因是将关于 x 的函数误认为二次函数 6 解析 选 方法一 设 g a ax x2 1 x 0 g a 为单调递增函数 1 2 当 x 时满足 1 2 a 1 0 即可 解得 a 1 2 1 4 5 2 方法二 由 x2 ax 1 0 得 a x 在 0 上恒成立 1 x 1 2 令 g x x 则知 g x 在 0 为增函数 1 x 1 2 g x max g a 1 2 5 2 5 2 方法技巧 关于二元不等式恒成立问题的求解技巧 1 变换主元法 求解二元不等式 在其中一个元所在范围内恒成立问题 当正面思考较繁或难以入手 时 我们可以变换主元 将问题转化为求解关于另一个变量的函数的最值或值域问题 从而求解 2 分离参数法 根据题设条件将参数 或含有参数的式子 分离到不等式的左边 从而将问题转化为 求不等式右边函数的最值问题 7 解析 由题意知 解得 2 b4a0 ab 10 a1 b2 答案 1 2 8 解题指南 化简 f x 函数 f x 为偶函数 则一次项系数为 0 可求 b 值域为 4 则最大值 为 4 可求 a 即可求出解析式 解析 f x x a bx 2a bx2 2a ab x 2a2是偶函数 则其图象关于 y 轴对称 2a ab 0 b 2 或 a 0 舍去 又 f x 2x2 2a2且值域为 4 2a2 4 f x 2x2 4 答案 2x2 4 9 解题指南 可作出函数 y x 2 的图象 数形结合求解 3 2 25 4 解析 y x2 3x 4 x 2 3 2 25 4 对称轴为 x 3 2 当 x 时 y 3 2 25 4 m 3 2 而当 x 3 时 y 4 m 3 综上 m 3 3 2 答案 m 3 3 2 10 解析 1 由 f 1 2 知 lgb lga 1 0 10 a b 又 f x 2x 恒成立 有 x2 x lga lgb 0 恒成立 故 lga 2 4lgb 0 将 式代入上式得 lgb 2 2lgb 1 0 即 lgb 1 2 0 故 lgb 1 即 b 10