matlab在数学分析中的应用

精品文档 1欢迎下载 毕 业 论 文 2015 届 题 目 MATLAB 在解决数学分析中 图形问题的应用 学 院 数学计算机学院 专 业 信息与计算科学 年 级 学生学号 精品文档 2欢迎下载 学生姓名 指导教师 2015 年 5 月 8 日 MATLAB 在解决数学分析中图形问题的应用 数学计算机学院 信息与计算科学专业 2015 届 冯铄 摘摘 要 要 本文试图探讨运用 MATLAB 操作平台的命令函数和绘图语句的特点 将 数学分 析 中抽象的 难以理解的图形 例如 螺旋曲线 以及难以靠手工绘制得到理想图形 的 用 MATLAB 来解决 并介绍 MATLAB 在这些方面的使用方法和技巧 从而达到事半功 倍的效果 关键词 关键词 MATLAB 数学分析 图形 命令函数 方法 中图分类号 中图分类号 TP311 1 TheThe ApplicationApplication ofof GraphicsGraphics ProblemProblem inin MathematicalMathematical AnalysisAnalysis SolvedSolved byby MATLABMATLAB 精品文档 3欢迎下载 Abstract Abstract The paper discusses the command function and the graphics characteristics and solves the abstract confused graphics which is hard to paint by hand in mathematical analysis by MATLAB And then the paper introduces its methods and skills to make problems easier KeyKey words words MATLAB mathematical analysis graph Command function Method 精品文档 4欢迎下载 目目 录录 1 引言 1 2 MATLAB 简介 1 3 实例与分析 2 3 1 二维图形 2 3 1 1 初等函数 3 3 1 2 分析函数当 x 0 1 时的变化趋势 4 xxx x xf 2 1 1 3 1 3 研究 Dirichlet 核的性质 5 3 1 4 二重积分相关问题 5 2 2 3 1 5 曲面积分相关问题 7 1 4 2 4 2 3 2 三维图形 8 3 2 1 螺旋曲线 8 3 2 2 马鞍面 9 3 2 3 莫比乌斯带 9 3 2 4 二元函数的相关问题 11 3 1 2 1 2 2 3 2 5 三重积分的符号计算及其 MATLAB 程序 11 3 3 空间曲线曲面相关问题 13 3 3 1 空间曲线的切线和法平面的实验 13 3 3 2 空间曲面的切线和法平面的实验 14 精品文档 5欢迎下载 3 4 MATLAB 在数学分析中的其他方面应用 17 3 4 1 计算交错级数 的和 17 1 1 1 1 n n n 3 4 2 计算收敛问题 17 3 4 3 函数的 10 阶 Taylor 级数展开式 18 结束语 19 参考文献 19 致谢 19 精品文档 1欢迎下载 MATLAB 在解决数学分析中图形问题的应用 1 1 引言引言 计算机技术的迅猛发展使得数学在自然科学 工程技术 经济管理和人文社会科学中 越来越成为解决实际问题的重要工具 在数学分析的学习和研究中 常常会遇到二维图 形 三维图形 极坐标图形 对数坐标图形的绘制 这类图形的绘制往往繁冗复杂 仅 凭手工绘制难以达到精确的效果 尤其是遇到需要准确的图形才能解答的问题 把计算 机技术用于其中 则可以使我们能更好更快的理解和完成数学分析中遇到的复杂图形问 题 于是数学软件就应运而生 其中 MATLAB 就是一个功能强大的数学软件 它的功能 之一就是分析数据和把数据可视化 为算法和应用程序开发提供了核心的数学高级图形 工具 它所具有的数值计算功能 符号计算功能以及可视化建模 仿真功能体现了其它 同类软件难以比拟的优势 而它的图形功能更加彰显了 MATLAB 的智能化和自动化的优越 性 且 MATLAB 对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求较低 编程效率和计算效率 又极高 还可以在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝 的确不失为一个方便高效 的高质量数学工具 此次通过用 MATLAB 来解决数学分析中遇到的实际问题 来展示 MATLAB 在处理复杂图形的效果和能力 2 2 MATLABMATLAB 简介简介 MATLAB是美国 MathWorks 公司出品的商业数学软件 用于算法开发 数据可视化 1 数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境 主要包括 MATLAB 和 Simulink 两大部分 精品文档 2欢迎下载 MATLAB 是 matrix 和 laboratory 两个词的组合 意为矩阵工厂 是由美国 mathworks 公司发布的主要面对科学计算 可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境 它将数值分析 矩阵计算 科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强 大功能集成在一个易于使用的视窗环境中 为科学研究 工程设计以及必须进行有效数 值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案 并在很大程度上摆脱了传统非交互 式程序设计语言 如 C Fortran 的编辑模式 代表了当今国际科学计算软件的先进水 平 MATLAB 的基本数据单位是矩阵 它的指令表达式与数学 工程中常用的形式十分相 似 故用 MATLAB 来解算问题要比用 C FORTRAN 等语言完成相同的事情简捷得多 3 3 实例与分析实例与分析 数学分析是高等院校数学类专业 数学与应用数学 信息与计算科学 最重要的基 础课程之一 对常微分方程 实变函数 泛函分析等后继课程的学习影响很大 而初入 大学的学生普遍对数学分析这门课程的高度抽象性感到迷惑 而使用 MATLAB 编程计算 相关问题和使用 MATLAB 强大的绘图功能就可以是里面的难点简单化 降低学习者的学习 难度 缩短数学理论与应用的距离 同时还能够培养学习者的数学应用以及利用数学知 识进行创新的能力 MATLAB 在数学分析中的应用很多 下面结合实例从几个方面来阐 述 MATLAB 在数学分析中处理图形的应用 从而最直观的向大家展示在数学分析中使用 MATLAB 的优点 3 13 1 二维图形二维图形 2 D 2 D Graph Graph 数学分析中有不少复杂的限制区间的函数问题需要求奇偶性和单调性 面对这类题 的函数图像 做题者一般都是凭借想想和随手一画 正因为这样有时候得到错误的答案 这就是凭借不标准的函数图像所导致 对于函数的二维图形的准确输出 利用 MATLAB 就 可以轻而易举的得到最标准的函数图形 从而帮助做题者得到准确的答案 下面通过几 精品文档 3欢迎下载 个简单的例子来体现 MATLAB 在实际中的使用效果 3 1 13 1 1 初等函数初等函数 常见的初等函数 例如 x y 1 sin xey x 2sin2 2 1 笛卡尔叶形线见文献 01 22 yxxF 03 3 3 xyyxxF 2 MATLAB 中可以实现同一窗口的分割输出 下面就用同一个窗口输出这四个函数的图 形 用 MATLAB 输入下列语句即可实现 subplot 3 3 1 fplot sin 1 x 0 01 0 1 le 3 subplot 3 3 2 ezplot 2 exp 0 5 x sin 2 pi x subplot 3 3 4 ezplot x 2 y 2 1 subplot 3 3 4 ezplot x 3 y 3 3 x y 3 3 精品文档 4欢迎下载 输出图形如图 3 1 所示 图 3 1 3 1 23 1 2 分析函数分析函数当当 x x 0 1 时的变化趋势时的变化趋势 xxx x xf 2 1 1 用 MATLAB 输入程序 syms x fx x x 1 1 x 2 x ezplot fx 5 5 精品文档 5欢迎下载 grid on hold on plot 1 2 rd xlabel 图 3 2f x 的图像 得到的函数图像如下 图 3 2 从图 3 1 2 可知 当 x 1 时 函数 f x 以 2 为极限 而当 x 0 时 由 f x 的图像知 x 时 f x x 时 f x 故 f x 当 x 0 时极限不存在 0 0 3 1 33 1 3 研究研究 DirichletDirichlet 核的性质核的性质 3 精品文档 6欢迎下载 Dirichlet 核在 Fourier 级数理论中具有十分重要的意义 而其性质对初学数学分析 的学生而言是比较难把握的 但如使用 MATLAB 动画的计算 可十分容易且直观的得到 Dirichlet 核的性质 我们知道 因此 可以使用如下程序 2 sin2 2 1 sin x xn xDn x pi 0 01 pi for k 0 12 plot sin sin k 0 5 x 2 sin 0 5 x hold on end 精品文档 7欢迎下载 运行 可很易得出关于 Dirichlet 核的变化规律 如图 3 3 xDn 图 3 3 Dirichlet 核 3 1 43 1 4 二重积分二重积分 相关问题相关问题 2 2 例例 3 1 43 1 4 计算 其中曲线 所围成的 2 2 2 1 2 2 5 平面区域 编程如下 绘制积分区域 x 0 08 0 001 3 y1 1 2 x y2 sqrt 2 x plot x y1 b x y2 m 2 5 x r 精品文档 8欢迎下载 axis 0 53 5 3 x 1 2 y 1 计算两条曲线的交点 syms x y y1 2 x y 1 y2 y sqrt 2 x 0 x y solve y1 y2 x y 计算积分 syms x y f exp x 2 y 2 y1 1 2 x y2 sqrt 2 x jfy int f y y1 y2 jfx int jfy x 0 5 2 5 jf2 double jfx 得到的函数图像如下 图 3 4 精品文档 9欢迎下载 3 1 53 1 5 曲面积分曲面积分相关问题相关问题 1 4 2 4 2 计算曲面积分 其中是旋转抛物面被平面 z 1 所 1 4 2 4 2 2 2 截得的底部 即在的部分 0 1 求曲面的方程在 x0y 平面上的投影区域曲面的方程为在 2 2 x0y 平面上的投影区域 即 为圆形闭区域 2 2 1 1 2 1 2 具体编程如下 1 1 画出积分区域的草图 x 1 0 01 1 y1 sqrt 1 x 2 y2 sqrt 1 x 2 plot x y1 b x y2 m axis 1 5 1 5 1 5 1 5 title 由圆 x 2 y 2 1 所围成的积分区域 计算曲面积分 syms x y funz x 2 y 2 fun sqrt 1 4 x 2 4 y 2 x1 1 x2 1 y1 sqrt 1 x 2 y2 sqrt 1 x 2 I qmjf1 funz fun y1 y2 x1 x2 精品文档 10欢迎下载 y double I 到的函数图像如下 图 3 5 3 23 2 三维图形三维图形 3 D 3 D Graph Graph 会描绘简单的二次曲面的图像是数学分析的基本要求之一 也是学习三重积分和曲面 积分的基础 下面用几个例子来阐述 MATLAB 在解决数学分析邻域中的三维图形的广泛应 用 3 2 13 2 1 螺旋曲线螺旋曲线 例如 求螺旋线 0 的弧长 2 2 3 6 题中给出了螺旋线的参数方程 但在算的过程中仍感到困难 其主要原因之一就是 对题目所给的区间不能准确地定下来 如能将相关的图形绘制出来就有利于理解了 为 此在 MATLAB 下输入 精品文档 11欢迎下载 ezplot3 2 cos t 2 sin t 3 t 0 6 pi animate 将得到的图形如图 3 6 所示 图 3 6 螺旋曲线 3 2 23 2 2 马鞍面马鞍面 马鞍面是一种曲面 又叫双曲抛物面 文献的课后练习题中出现了曲面方程 2 2 2 2 表示马鞍面 设编程如下 3 b 2 x y meshgrid 25 1 25 25 1 25 z x 2 9 y 2 4 精品文档 12欢迎下载 surf x y z title 马鞍面 grid off 得到的函数图像如下 图 3 7 马鞍面 3 2 33 2 3 莫比乌斯带莫比乌斯带 曲面积分是数学分析的重要内容之一 在曲面积分中 首先要了解单侧曲面与双侧 曲面 其中一个著名的单侧曲面就是莫比乌斯带 它的方程式为 2 精品文档 13欢迎下载 r cos 2 其中 a b 为常数 s t 为参数 下面给出莫比乌斯带的 MATLAB 的程序 function z mobius a b s linspace 1 1 30 t linspace 0 2 pi 30 S T meshgrid s t X a b S cos T 2 cos T Y a b S cos T 2 sin T Z b S sin T 2 mesh X Y Z title 莫比乌斯带 精品文档 14欢迎下载 当 a b b 1 时的莫比乌斯带如图 3 2 3 所示 图 3 8 莫比乌斯带 3 2 43 2 4 二元函数二元函数的相关问题的相关问题 3 1 2 1 2 2 设二元函数 取区域为 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 x 和 y 的步长均为 0 2 失球该曲面在每个节点的法向量 并画图 2 1 2 1 解 输入求该曲面在每个节点的法向量和画图的程序 x y meshgrid 2 1 0 2 2 1 2 1 0 2 2 1 z 3 x 1 2 exp x 1 2 y 2 surfnorm x y z 精品文档 15欢迎下载 得到的函数图像如下 图3 9 二元函数 3 2 53 2 5 三重积分的符号计算及其三重积分的符号计算及其MATLABMATLAB程序程序 计算 其中积分区域V是由旋转抛物面 精品文档 16欢迎下载 圆柱和z 0所围成的空间闭区域 8 2 2 2 2 4 具体编程如下 绘制积分区域 x y meshgrid 2 0 01 2 z1 8 x 2 y 2 figure 1 mesh x y z1 hold on x 1 0 01 2 r 2 x y z cylinder r 30 半径为 2 的圆柱面 mesh x y z hold off title 由旋转抛物面 of z 8 x 2 y 2 圆柱面 x 2 y 2 4 和 z 0 所围成区域 figure 2 contour x y z 10 title 由旋转抛物面 of z 8 x 2 y 2 圆柱面 x 2 y 2 4 和 z 0 所围成区域的投影区域 计算积分上下限 syms x y z f1 z 8 x 2 y 2 f2 x 2 y 2 4 精品文档 17欢迎下载 x y z solve f1 f2 x y z 计算积分 syms x y z f x exp y sin z z1 0 z2 8 x 2 y 2 x1 sqrt 4 y 2 x2 sqrt 4 y 2 jfz int f z z1 z2 jfx int jfz x x1 x2 jfy int jfx y 2 2 jf2 double jfy 精品文档 18欢迎下载 所得图像如图3 10 精品文档 19欢迎下载 图 3 10 3 33 3 空间曲线曲面相关问题空间曲线曲面相关问题 3 3 13 3 1 空间曲线的切线和法平面的实验空间曲线的切线和法平面的实验 空间曲线在点处的切线的方向向量为 L xx tyy tzz tatb M x y z vy tz tjacobian x y z t 过点的切线方程为 00000 Mxyztt 即F 000000 xxx t t yyy t t zzz t t 即 0000 0Fx y zxyzvt 过点的法平面方程为 00000 Mxyztt 即G 000000 0 x txxy tyyz tzz 即 0000 0Gxxyyzzv 设空间曲线 求L在处的切线方程和法平面 3 5 4 方程 syms t x y z x1 3 sin t y1 3 cos t z1 5 t 精品文档 20欢迎下载 w1 x1 y1 z1 S1 jacobian w1 t t pi 4 x0 3 sin t y0 3 cos t z0 5 t S0 S1 v0 subs S0 t0 t F x y z x0 y0 z0 v0 t G x x0 y y0 z z0 v0 t 0 pi 10 2 pi x 3 sin t y 3 cos t z 5 t plot3 x y z hold on t0 pi 4 x0 3 sin t0 y0 3 cos t0 z0 5 t0 plot3 x0 y0 z0 ro hold off 3 3 23 3 2 空间曲面的切线和法平面的实验空间曲面的切线和法平面的实验 1 空间曲面在点处的切平面的法向量为 zf x yx yD 0000 Mxyz 0000 1 xy nfxyfxy 过点的切平面方程为 0000 MxyzF 0000000 0 xy fxyxxfxyyyzz 精品文档 21欢迎下载 即 000 0Fxxyyzz n 过点的法线方程为 0000 MxyzG 000 0Gx y zxyznt 2 空间曲面在点处的切平面的法 0 F x y zzz x yx yD 0000 Mxyz 向量为 000000000 xyz nFxyzFxyzFxyz 过点的切平面方程为 0000 MxyzF 000000000000 0 xyz FxyzxxFxyzyyFxyzzz 即 000 0Fxxyyzz n 过点的法线方程为 0000 MxyzG 000 0Gx y zxyznt 设曲面方程求在点处的切平面方程和法线方程 222 30 S xyzxy S 1 1 0 syms t x y z F x 2 y 2 z 2 x y 3 x0 1 y0 1 z0 0 w x y z S1 jacobian F w v1 subs S1 x x0 精品文档 22欢迎下载 v2 subs v1 y y0 n subs v2 z z0 F x x0 y y0 z z0 n G x y z x0 y0 z0 n t X1 Y1 meshgrid 2 0 2 2 2 0 2 2 Z1 X1 2 Y1 2 X1 Y1 3 1 2 plot3 X1 Y1 Z1 hold on Z2 X1 2 Y1 2 X1 Y1 3 1 2 plot3 X1 y1 z2 xlabel x ylabel y zlabel z hold on z0 1 y0 1 z0 0 plot3 x0 y0 z0 bo hold off 3 43 4 MATLABMATLAB 在数学分析中的其他方面应用在数学分析中的其他方面应用 3 4 13 4 1 计算交错级数计算交错级数 的和的和 1 1 1 1 n n n 精品文档 23欢迎下载 对此问题 使用 MATLAB 处理十分简单 只需输入如下程序 精品文档 24欢迎下载 syms n symsum 1 n 1 n n 1 inf 就可得出结果 1 1 1 1 n n n 2log 3 4 23 4 2 计算收敛问题计算收敛问题 设 证明收敛 1 1 1 2 1 2 1 在学习数学分析的过程中 许多人拿到这类问题后喜欢用初值进行试算 看看这两 个序列的变化规律 当然 这是很好的 可是算几此后 就会发现计算变得十分繁琐 从而使得忙了一会却没有效果 从而放弃这一想法 而使用 MATLAB 软件 只需要设计 如下简单的程序 就能达到事半功倍的效果 程序如下 x 1 1 y 1 2 for k 1 10 x k 1 x k y k 2 y k 1 sqrt x k y k end 程序运行得到的结果如下 12345 X1 00001 50001 45711 45681 4568 精品文档 25欢迎下载 Y2 00001 41421 45681 45681 4568 678910 X1 45681 45681 45681 45681 4568 Y1 45681 45681 45681 45681 4568 从所获得的数值计算结果中 很容易看到这两个序列极限相等 当然 数值计算并 不是理论上的证明 但是有了此计算 学者就可以很方便的知道将初值改变会发生什 么结果 这样的考察就很容易联想到离散动力系统这一领域上去 变被动的计算为主 动 这就通过 MATLAB 简单的编程所带来的效果 3 4 33 4 3 函数的函数的 1010 阶阶 TaylorTaylor 级数展开式级数展开式 计算出 函数的 10 阶 Taylor 级数展开式 1 这是一个典型的实解析函数 因此可以展开成 Taylor 级数 但展开系数的计算 当 Taylor 多项式次数很大时 其计算是相当麻烦