1.2.2充要条件

数学备课大师 全免费 备课大师 全科 9 门 免注册 不收费 1 21 2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 1 2 11 2 1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 1 2 21 2 2 充要条件充要条件 学习目标 1 结合具体实例 理解充分条件 必要条件 充要条件的意义 重点 难 点 2 会求 判断 某些问题成立的充分条件 必要条件 充要条件 重点 3 能够利用命题 之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明 难点 自 主 预 习 探 新 知 1 充分条件与必要条件 命题真假 若p 则q 是真命题 若p 则q 是假命题 推出关系p q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考 1 1 p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同 2 以下五种表述形式 p q p是q的充分条件 q的充分条件是p q是p 的必要条件 p的必要条件是q 这五种表述形式等价吗 提示 1 相同 都是p q 2 等价 2 充要条件 1 一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说 p是q的充分必 要条件 简称充要条件 概括地说 如果p q 那么p与q互为充要条件 2 若p q 但qp 则称p是q的充分不必要条件 3 若q p 但pq 则称p是q的必要不充分条件 4 若pq 且qp 则称p是q的既不充分也不必要条件 思考 2 1 若p是q的充要条件 则命题p和q是两个相互等价的命题 这种说法对 吗 2 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 的区别在哪里 提示 1 正确 若p是q的充要条件 则p q 即p等价于q 2 p是q的充要条件说明p是条件 q是结论 p的充要条件是q说明q是条件 p是结论 基础自测 1 思考辨析 1 q是p的必要条件时 p是q的充分条件 2 q不是p的必要条件时 pD q 成立 3 若q是p的必要条件 则q成立 p也成立 数学备课大师 全免费 备课大师 全科 9 门 免注册 不收费 答案 1 2 3 2 x 2 是 x2 3x 2 0 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 A A 由x2 3x 2 0 得x 2 或x0 y 0 q xy 0 3 p a b q a c b c 导学号 97792015 1 3 在 1 3 中 p q 所以 1 3 中p是q的充要条件 在 2 中 q p 所 以 2 中p不是q的充要条件 合 作 探 究 攻 重 难 充分条件 必要条件 充要条件的判断 指出下列各题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 中选出一种作答 1 在 ABC中 p A B q BC AC 2 对于实数x y p x y 8 q x 2 或y 6 3 p a 2 a 3 0 q a 3 4 p a b q 1 a b 思路探究 判断p q与q p是否成立 当p q是否定形式 可判断q是p的什 么条件 解 1 在 ABC中 显然有 A B BC AC 所以p是q的充分必要条件 2 因为x 2 且y 6 x y 8 即q p 但p q 所以p是q的充分不必要条 件 3 由 a 2 a 3 0 可以推出a 2 或a 3 不一定有a 3 由a 3 可以得出 a 2 a 3 0 因此 p是q的必要不充分条件 4 由于a b 当b 0 时 1 a b 当b 0 时 1 故若a b 不一定有 1 a b a b 数学备课大师 全免费 备课大师 全科 9 门 免注册 不收费 当a 0 b 0 1 时 可以推出a b a b 当a 0 b 0 1 时 可以推出a b a b 因此p是q的既不充分也不必要条件 规律方法 充分条件与必要条件的判断方法 1 定义法 2 等价法 将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题 3 逆否法 这是等价法的一种特殊情况 若p q 则p是q的必要条件 q是p的充分条件 若p q 且qp 则p是q的必要不充分条件 若p q 则p与q互为充要条件 若pq 且qp 则p是q的既不充分也不必要条件 跟踪训练 1 1 设a b是实数 则 a b 是 a2 b2 的 导学号 97792016 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 D D 令a 1 b 1 满足a b 但不满足a2 b2 即 a b 不能推出 a2 b2 再 令a 1 b 0 满足a2 b2 但不满足a b 即 a2 b2 不能推出 a b 所以 a b 是 a2 b2 的既不充分也不必要条件 2 对于二次函数f x ax2 bx c a 0 下列结论正确的是 b2 4ac 0 是函数f x 有零点的充要条件 b2 4ac 0 是函数f x 有零点的充分条件 b2 4ac 0 是函数f x 有零点的必要条件 b2 4ac0 也可能有 0 故 错误 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 无实根 函数f x ax2 bx c a 0 无零点 故 正确 充要条件的探求与证明 1 x2 4x 0 的一个充分不必要条件为 A 0 x 4 B 0 x0 D xy 求证 0 1 x 1 y 思路探究 1 先解不等式x2 4x 0 得到充要条件 则充分不必要条件应是不等式 x2 4x 0 的解集的子集 2 充要条件的证明可用其定义 即条件 结论且结论 条件 如果每一步的推出都是 等价的 也可以把两个方面的证明合并在一起 用 写出证明 解析 1 由x2 4x 0 得 0 x 4 则充分不必要条件是集合 x 0 x0 及x y 得 即 x xy y xy 1 x 1 y 必要性 由 得 0 即y 所以y x0 所以 0 1 x 1 y 法二 0 y y x 0 故由0 y x xy 数学备课大师 全免费 备课大师 全科 9 门 免注册 不收费 所以 0 1 x 1 y 即 0 1 x 1 y 规律方法 1 探求充要条件一般有两种方法 1 探求A成立的充要条件时 先将A视为条件 并由A推导结论 设为B 再证明B 是A的充分条件 这样就能说明A成立的充要条件是B 即从充分性和必要性两方面说 明 2 将原命题进行等价变形或转换 直至获得其成立的充要条件 探求的过程同时也是 证明的过程 因为探求过程每一步都是等价的 所以不需要将充分性和必要性分开来说 明 2 充要条件的证明 1 证明p是q的充要条件 既要证明命题 p q 为真 又要证明 q p 为真 前 者证明的是充分性 后者证明的是必要性 2 证明充要条件 即说明原命题和逆命题都成立 要注意 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 这两种说法的差异 分清哪个是条件 哪个是结论 跟踪训练 2 1 不等式x x 2 0 成立的一个必要不充分条件是 导学号 97792017 A x 0 2 B x 1 C x 0 1 D x 1 3 B B 由x x 2 0 得 0 x 2 因为 0 2 1 所以 x 1 是 不等式x x 2 0 且p是q的充分不必要 条件 则实数m的取值范围为 思路探究 解析 由x2 8x 20 0 得 2 x 10 由x2 2x 1 m2 0 m 0 得 1 m x 1 m m 0 因为p是q的充分不必要条件 所以p q且qp 即 x 2 x 10 是 x 1 m x 1 m m 0 的真子集 所以Error 或Error 解得m 9 所以实数m的取值范围为 m m 9 答案 m m 9 或 9 母题探究 1 本例中 p是q的充分不必要条件 改为 p是q的必要不充分条件 其他条件不变 试求m的取值范围 解 由x2 8x 20 0 得 2 x 10 由x2 2x 1 m2 0 m 0 得 1 m x 1 m m 0 因为p是q的必要不充分条件 所以q p 且pq 则 x 1 m x 1 m m 0 x 2 x 10 所以Error 解得 0 m 3 即m的取值范围是 0 3 2 若本例题改为 已知P x a 4 x a 4 Q x 1 x 3 x P 是 x Q 的 数学备课大师 全免费 备课大师 全科 9 门 免注册 不收费 必要条件 求实数a的取值范围 解 因为 x P 是x Q的必要条件 所以Q P 所以Error 解得 1 a 5 即a的取值范围是 1 5 规律方法 利用充分 必要 充分必要条件的关系求参数范围 1 化简p q两命题 2 根据p与q的关系 充分 必要 充要条件 转化为集合间的关系 3 利用集合间的关系建立不等关系 4 求解参数范围 当 堂 达 标 固 双 基 1 x y 是 x y 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 B B 若x 1 y 1 则 x y 但x y 若x y 则 x y 故选 B 2 x2 4x 5 0 是 x 5 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 B B 由x2 4x 5 0 得x 5 或x 1 则当x 5 时 x2 4x 5 0 成立 但 x2 4x 5 0 时 x 5 不一定成立 故选 B 3 下列条件中 是x2 4 的必要不充分条件是 A 2 x 2 B 2 x 0 C 0 x 2 D 1 x 3 A A 由x2 4 得 2 x 2 必要不充分条