第十二章---无穷级数

1 无穷级数无穷级数 内容概要和重难点提示内容概要和重难点提示 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与 收敛的必要条件 几何级数与级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 p 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收 敛半径 收敛区间 指开区间 和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛 区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 对数一 要理解狄利克雷收敛定理以及付式展开式 考试要求考试要求 1 了解级数的收敛与发散 收敛级数的和的概念 2 了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件 掌握几何级数及级数的p 收敛与发散的条件 掌握正项级数收敛性的比较判别法 比较判别法的极限形 式 和比值判别法 3 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系 了解交错级数的莱布尼茨判别法 4 会求幂级数的收敛半径 收敛区间及收敛域 5 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质 和函数的连续性 逐项求导和逐 项积分 会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数 6 了解函数的麦克劳林 Maclaurin 展开式 牢记 5 个公式 难点难点 判断数项级数的敛散性 剖析级数与数列的关系 求和函数 理解狄利克雷 定理 考试知识要点讲解考试知识要点讲解 一 一 常数项级数的概念与基本性质常数项级数的概念与基本性质 一 一 基本概念基本概念 1 设有数列 将它们依次相加 12 nn uu uu 12 n uuu 称为由数列数列构成的无穷级数 记为无穷级数 记为 n u 1 n n u 2 若 定数 则称级数收敛 且收敛于总和 12 n uuus 1 n n u s 若 或者不定 则称级数发散 通俗的定 12 n uuu 1 n n u 义 3 令 称为级数前项部分和 显然数列与 12 nn uuus n sn n u 有 n s 12 nn suuu 1nnn uss 2 若 则称级数收敛 且收敛于总和 反之就是发散 2 lim n n ss 1 n n u s 收敛时 称为级数的余项 仍为级数 12 nnnn rssuu 二 基本性质 1 若都收敛 对于任何常数 则也收敛 11 nn nn uv 1 nn n uv 且 111 nnnn nnn uvuv 2 在级数中添加或者去掉或者改变有限项 不改变其敛散性 3 收敛的级数任意加括号后所得到的新级数仍收敛 且和不变 4 收敛的必要条件 收敛 反之不成立 1 n n u lim0 n n u 注 1 敛散性和其它性质一样都有 YYY YNN NN 2 性质 3 的逆和否命题不成立 但是任何命题原命题成立 则逆否 命题必成立 3 收敛 收敛 不能用 1 n n u lim n n ss 1 n n u lim0 n n u 得出级数收敛 但是若则必发散 lim0 n n u lim0 n n u 4 几个重要的级数敛散性结论 几何级数 当时收敛于 当时发散 1 1 n n aq 1q 1 a q 1q 级数当时收敛 当时发散 时即叫做p 1 1 p n n 1p 1p 1p 1 1 n n 调和级数 推广得 当时收敛 当时发 1 k n m P n Qn 1mk 1mk 散 级数 当时收敛 当时发散 您会证明 会应 1 1 ln p n nn 1p 1p 用吗 大家回忆一下 高数在哪里还介绍过收敛的概念 3 例题例题 1 判定下列级数的敛散性 1 2 3 1 221 n nnn 1 1 n nn 32 1 3 22 n nn nn 二 常数项级数敛散性的判定二 常数项级数敛散性的判定 一 正项级数 一 正项级数 定义定义 1 若在 若在中 则称此级数为正项级数 若呢 1 n n u 0 n u 0 n u 由于正项级数中 即单增 1211 nnnnn suuusus n s 由单调有界数列必收敛 知 收敛收敛有界 有界 采用此结论可以 1 n n u n s 得到 1 比较审敛法比较审敛法 若 且收敛 则也收敛 nn uv 1 2 n 1 n n v 1 n n u 若 且发散 则也发散 nn uv 1 2 n 1 n n v 1 n n u 注 1 定理告诉我们 要想判断出收敛 必须找收敛的 哥 1 n n u 哥 哥哥 收敛则 弟弟 收敛 同样 弟弟 发散则 1 n n v 哥哥 发散 2 定理可改为 若 其中 nn ucv 1 nk k 0 ckZ 且 收敛 则也收敛 另一个结论可同理给出 1 n n v 1 n n u 2 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式 若 则 1 当时 与同敛散 lim n n n u v 0 1 n n u 1 n n v 2 当时 若收敛 则也收敛 0 1 n n v 1 n n u 3 当时 若发散 则也发散 1 n n v 1 n n u 4 3 比值审敛法 达朗贝尔判别法 比值审敛法 达朗贝尔判别法 若 则 1 当时 收敛 1 lim n n n u u 1 1 n n u 2 当时 发散 3 当时 此法失效 1 1 n n u 1 4 根值审敛法 柯西判别法 根值审敛法 柯西判别法 若 则 1 当时 收敛 lim n n n u 1 1 n n u 2 当时 发散 3 当时 此法失效 1 1 n n u 1 5 积分审敛法 积分审敛法 设为定义于单减的非负的连续函数 则 f x 1 与具有相同的敛散性 1 n f n 1 f x dx 注 1 以上 5 个定理只适用于正项级数 2 方法优点缺点选择的原则 比较法简单明了要找参照级数 且明确大 小关系 从几何或者 n v 级数中找 p 比较法的极限形 式 比较简单明了要找参照级数 且明确等 价关系 见推论 从几何或者 n v 级数中找 p 比值审敛法无需找参照级 数 不完备 方法失效 1 为含阶乘或 n u 次幂的分式 根值审敛法无需找参照级 数 不完备 方法失效 1 为含阶乘或 n u 次幂的分式 3 比较法的极限形式 推论 比较法的极限形式 推论 若 若不为无穷小由必要条件 nn uvn 知必发散 则与同敛散 1 n n u 1 n n v 二 交错级数 二 交错级数 定义定义 2 若在中是正负交错出现的 则称此级数为交错级数 常表示 1 n n u n u 5 为 规定 1 1 1 n n n u 0 n u 莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法 若交错级数满足 1 从某项开始 1 1 1 n n n u 1nn uu n 2 则收敛 且和大于零而小于 余项lim0 n n u 1 1 1 n n n u 1 u 11nn ru 注 1 第一条不满足和第二条不满足结论会怎样 2 判别的单调性常用到导数符号 n u 三 三 任意项级数任意项级数 定义定义 3 若在中是正负无序的 则称此级数为任意项级数 或一般 1 n n u n u 项级数 定理 定理 若正项级数收敛 则也收敛 1 n n u 1 n n u 注 注 1 定理的逆否命题为发散 则必发散 2 定理的逆和否 1 n n u 1 n n u 命题都不成立 即 若正项级数发散 则也发散 和 收敛 1 n n u 1 n n u 1 n n u 则必收敛 都是错误的 于是产生了绝对收敛和条件收敛的定义 1 n n u 若收敛 且收敛 则称它的收敛为绝对收敛 若绝对收敛 若收敛 1 n n u 1 n n u 1 n n u 但发散 则称它的收敛为条件收敛 条件收敛 1 n n u 可见 任意项级数没有自己的审敛法 但却有 3 种状态 即绝对收敛 条件收敛和发散三种状态 判别任意项级数敛散性的方法 先判断收敛否 1 n n u 6 先判断收敛否 1 n n u 注 令 则它们都是正项 22 nnnn nn uuuu vw nnnnnn vwuvwu 若绝对收敛 则 也收敛 1 n n u 1 n n u 1 n n v 1 n n w 若条件收敛 则 都发散 1 n n u 1 n n u 1 n n v 1 n n w 例题例题 2 判定下列级数的敛散性 1 2 3 44 1 0 1 1 n n x dx 1 3 3 nn nn n e 1 2 sin n n nn 4 5 6 1 n n a n na n 1 5 2 arctan n nn n n 1 0 n b n a a b n 解 1 因为 所以 2 44 00 1 2 nn n x dxxdx 2 44 0 12 0 1 n n x dx 而收敛 由比较法知 原级数收敛 2 1 2 n n 2p 2 由于 而收敛 由比较法极限形式知 33 3 nn n nn e 1 3 n n 3 1q 原级数收敛 3 因为 所以 而收敛 3 0 sin1 lim 6 x xx x 3 5 2 21 2 sin 6 n nn n 5 1 2 1 n n 由比较法极限形式知 原级数收敛 4 取 因为 用到了重要极限 所以原级数与 1 n a v n lim a n n n u e v 1 n n u 同敛散 于是当时收敛 当时发散 1 n n v 1a 1a 5 因为 所以原级数发散 5 lim1 n n n u 7 6 因为 所以当时 原级数 1 1 limlimlim 1 1 nb b n bn nnn n uann aa unan 1a 收敛 当时 原级数发散 当时 原级数为 此时若 1a 1a 1 1 b n n 1b 原级数收敛 当时 原级数发散 综上所述 略 1b 例题例题 3 判定下列级数的敛散性 1 2 1 3 1 100 n n n n 2 1 1 1 n n nn 解 1 设 则 3 limlim0 100 n nn n u n 3 100 x f x x 0 x 即当时 由莱布尼兹 3 100 0 100 2 100 x fxx x x 100n 1nn uu 审敛法知原级数收敛 2 这是交错级数 满足但是不满足 不能 1 1 n n u n lim0 n n u 1nn uu 用莱布尼兹定理 但是 1 1 1 1 1 1 111 1 n nnn n nn nnnn 因为交错级数收敛 发散 故原级数发散 2 1 1 n n n n 2 1 1 n n 例题例题 4 04 数一 设有方程 证明此方程存在唯一实根 1 n xnx nZ 0 x 并证明当时 级数收敛 1 0 1 a n x 解 令 则在连续 1 n f xxnx f x 0 由零点定理 知在内至少有一个零点 0 10f 1 10fn f x 0 1 又因为 知在内至多有一个零点 1 0 n fxnxn 0 x f x 0 1 所以在有仅有一个零点 故原方程有且仅有一个实根 且 f x 0 0 x 0 01x 8 由于 所以 当时 由比较审敛 0 0 1 n x x n 0 0 11 0 n x x nn 1 0 1 0 a a x n 法 知 级数收敛 0 1 a n x 例题例题 5 04 数一 4 分 设为正项级数 下列结论正确的是 1 n n a A 若 则收敛 B 若使得 则lim0 n n na 1 n n a 0 lim n n na 发散 1 n n a C 若收敛 则 D 若发散 则使得 1 n n a 2 lim0 n n n a 1 n n a 0 lim n n na 分析 B 中由知 与 同阶 故发散 其它的可以举lim 1 n n a n n a 1 n 1 n n a 反例 如 A 取发散的 C 取收敛的 D 取发散的 1 1 ln n nn 3 1 2 1 n n 选 B 1 1 ln n nn 例题例题 6 09 数一 4 分 设有两个数列 若 则 nn ablim0 n n a A 当收敛时 收敛 B 当发散时 发散 1 n n b 1 nn n a b 1 n n b 1 nn n a b C 当收敛时 收敛 D 当发散时 发散 1 n n b 22 1 nn n a b 1 n n b 22 1 nn n a b 分析 由由知 使得 又收敛 所以 lim0 n n a 0M n aM 1 n n b lim0 n n b 令 9 再知当收敛时 收敛 1 n b 222 0 nnnnnn a ba bbM b 1 n n b 22 1 nn n a b 其它的可以举反例 如 A 取 B 取 D 1 n nn ab n 1 nn ab n 取 1 nn ab n 例题例题 7 设偶函数的二阶导函数在连续 且 f x 0 U 0 1 0 2f f 证明 绝对收敛 1 1 1 n f n 证明 为偶函数 所以 故的麦克劳林展式为 f x 0 0 f f x 2222 1 0 0 0 1 2 f xffxfxO xxO x 于是 所以且 22 111 1 fO nnn 2 11 1 f nn 1 10f n 由收敛 知原级数绝对收敛 2 1 1 n n 思考练习思考练习 1 判断的敛散性 若收敛 是何种收敛 1 1 1 1 1 n n n e 2 设 求并证明 收敛 4 0 tann n axdx 2 1 1 nn n aa n 0 1 n n a n 三 函数项级数的概念以及收敛问题三 函数项级数的概念以及收敛问题 一 定义 一 定义 定义在区间上的函数列构成的I 12 nn uxu x uxux 无穷项级数称为函数项级数 函数项级数 若存在使得数项级数收 1 n n ux 0 xI 0 1 n n ux 敛 则称点为的一个收敛点收敛点 所有收敛点的集合称为收敛域收敛域 0 x 1 n n ux I收 同理可以定义发散点发散点和发散域发散域 显然 令 IIIII 收散收散 叫做部分和函数 部分和函数 若 则称 12 nn Sxu xuxux lim n n Sxs x 10 收敛于和函数收敛于和函数 否则发散 发散 1 n n ux s x 1 n n ux 两个常用的函数项级数为 1 幂级数 01 0 nn nn n a xaa xa x i aR 2 傅里叶级数 0 cossin nn n anxbnx ii a bR 二 幂级数的收敛域与和函数 1 阿贝尔 定理 幂级数除了仅在处收敛和在整个Abel 0 n n n a x 0 x 轴上都收敛外 若为收敛点 则对于内一切点 都绝x 0 x 00 xx x 0 n n n a x 对收敛 若为发散点 则对于内一切点 都 0 x 00 xx x 0 n n n a x 发散 注 深刻领会定理揭示的幂级数收敛特点 从而知道有一个确定的数的存在 R 2 求收敛半径和收敛域的方法R 1 求的公式 在中 或者R 0 n n n a x 1 lim n n n a R a 1 lim n n n R a 2 求收敛域 区别于收敛区间 的方法 先说特殊的 若 则幂级数仅在处收敛 若 则它在整个0R 0 x R 轴上都收敛 对一般地 由阿贝尔定理知 起码它在内绝对收xR xR R 敛 这时需考虑端点的敛散性 即考察两个数项级数敛散xR 0 n n n aR 性 假若收敛 发散 则收敛域为 其它的类推 xR xR xR R 注 求收敛半径的方法只适合于标准的幂级数 对关于的幂 0 n n n a x 0 xx 级数 缺项的幂级数以及非幂级数 则需要做变换化为标准的幂级 0 n n n a fx 数 这时敛散性不再符合阿贝尔定理了 11 例题例题 8 填空 1 设在处收敛 那么它在处是 0 2 n n n a x 1x 4x 的 数项级数是 的 0 n n a 2 设 条件收敛 那么收敛域是 0 n a 1 1 1 n n n a 0 n n n a x 3 08 数一 4 分 设在处收敛 在处发散 0 2 n n n a x 0 x 4x 则 的收敛域为 0 3 n n n a x 例题例题 9 求下列幂级数的收