极坐标与参数方程专题复习

精品文档 1欢迎下载 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 一 考试大纲解析 一 考试大纲解析 1 坐标系 1 理解坐标系的作用 2 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况 3 能在坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 4 能在极坐标系中给出简单图形的方程 通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 2 参数方程 1 了解参数方程和参数方程的意义 2 能选择适当的参数写出直线 圆 圆锥曲线的参数方程 3 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用 二 题型分布 二 题型分布 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一 在每年的高考试卷中 极坐标和 参数方程都是放在选作题的一题中来考查 由于极坐标是新添的内容 考纲要求比较简单 所以在考试中一般不会有很难的题目 三 知识点回顾三 知识点回顾 坐标系坐标系 1 伸缩变换 伸缩变换 设点是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 yxP 的作用下 点对应到点 称为平面直角坐标 0 yy 0 x x yxP yxP 系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 精品文档 2欢迎下载 2 2 极坐标系的概念 极坐标系的概念 在平面内取一个定点 叫做极点极点 自极点引一条射线叫做极极OOOx 轴轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系极坐标系 3 3 点 点的极坐标 的极坐标 设是平面内一点 极点与点的距离叫做点的极径极径 MMOM OMM 记为 以极轴为始边 射线为终边的叫做点的极角极角 记为 有序 OxOMxOM M 数对叫做点点的极坐标的极坐标 记为 M M 极坐标与表示同一个点 极点的坐标为 Z 2 kk O R 0 4 4 若 则 规定点与点关于极点对称 即与0 0 表示同一点 如果规定 那么除极点外 平面内的点可用唯一的极坐标表 20 0 示 同时 极坐标表示的点也是唯一确定的 5 5 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化 6 6 直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 0 cos a cos a sin a sin a cos a 对应图形如下 0 nt sin cos 222 x x y ay xyx 精品文档 3欢迎下载 7 7 圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 0 a a cos2a cos2a sin2a sin2a cos 2 a 对应图形如下 精品文档 4欢迎下载 参数方程参数方程 1 1 参数方程的概念 参数方程的概念 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数yx 的函数 并且对于 的每一个允许值 由这个方程所确定的点都在这t tgy tfx t yxM 条曲线上 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程参数方程 联系变数的变数 叫做参变数参变数 yx t 简称参数参数 精品文档 5欢迎下载 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程 2 2 常见曲线的参数方程如下 常见曲线的参数方程如下 1 过定点 x0 y0 倾角为 的直线 t为参数 sin cos 0 0 tyy txx 其中参数t是以定点P x0 y0 为起点 对应于t点M x y 为终点的有向线段PM 的数量 又称为点P与点M间的有向距离 2 中心在 x0 y0 半径等于r的圆 为参数 sin cos 0 0 ryy rxx 3 中心在原点 焦点在x轴 或y轴 上的椭圆 为参数 或 sin cos by ax sin cos ay bx 4 顶点在原点 焦点在x轴正半轴上的抛物线 t为参数 p 0 pty ptx 2 2 2 四 直击考点 四 直击考点 考点一 坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化考点一 坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化 精品文档 6欢迎下载 参数方程与标准方程的互化 参数方程与标准方程的互化 标准方程化为参数方程 标准方程化为参数方程 熟记常见曲线的参数方程即可 参数方程转化为标准方程 参数方程转化为标准方程 牢记参数放一边 然后利用三角函数的知识点消参数 22 sin sincos1 tan cos k 如 例题 例题 1 把方程化为以 参数的参数方程是 1xy t cos x sin y 222 yx 0 tan x x y y y x O M H N 直极互化 图 精品文档 7欢迎下载 A B C D 1 2 1 2 xt yt sin 1 sin xt y t cos 1 cos xt y t tan 1 tan xt y t 解答 D 取非零实数 而 A B C 中的的范围有各自的限制 1xy xx 2 若直线的参数方程为 则直线的斜率为 12 23 xt t yt 为参数 A B C D 2 3 2 3 3 2 3 2 解答 D 233 122 yt k xt 3 参数方程的普通方程为 2 tt tt xee t yee 为参数 解答 22 1 2 416 xy x 2 2 4 22 2 2 2 ttt tt t y xexee yy xx y y ee xe 4 分别在下列两种情况下 把参数方程化为普通方程 1 cos 2 1 sin 2 tt tt xee yee 1 为参数 为常数 2 为参数 为常数 tt 解 1 当时 即 0t 0 cosyx 1 0 xy 且 精品文档 8欢迎下载 当时 0t cos sin 11 22 tttt xy eeee 而 22 1xy 即 22 22 1 11 44 tttt xy eeee 2 当时 即 kkZ 0y 1 2 tt xee 1 0 xy 且 当时 即 2 kkZ 0 x 1 2 tt yee 0 x 当时 得 2 k kZ 2 cos 2 sin tt tt x ee y ee 即 得 22 2 cossin 22 2 cossin t t xy e xy e 2222 22 cossincossin tt xyxy ee 即 22 22 1 cossin xy 实践练习 实践练习 1 1 直线 t为参数 的倾斜角是 ty tx 2 1 1 2 3 3 A 6 B 3 C 6 5 D 3 2 2 2 方程 t为非零常数 为参数 表示的曲线是 sin3 cos1 ty tx 精品文档 9欢迎下载 A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 3 3 把弹道曲线的参数方程 化成普通方程 2 1 sin cos 2 0 0 gttvy tvx 2 1 考点二 最值为题考点二 最值为题 通过题意得到参数方程 一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值 例题例题 1 点是椭圆上的一个动点 则的最大值为 P x y 22 2312xy 2xy A B C D 2 22 31122 解析 C 椭圆为 设 22 1 64 xy 6cos 2sin P 26cos4sin22sin 22xy 精品文档 10欢迎下载 2 已知中 为变数 ABC 2 0 0 2 cos 1 sin ABC 求面积的最大值 ABC 解 设点的坐标为 则 C x y cos 1 sin x y 即为以为圆心 以 为半径的圆 22 1 1xy 0 1 1 2 0 0 2 AB 442 2AB 且的方程为 AB1 22 xy 即 20 xy 则圆心到直线的距离为 0 1 AB 22 1 2 3 2 2 1 1 点到直线的最大距离为 CAB 3 12 2 的最大值是 ABC S 13 2 2 12 32 22 实践练习 实践练习 1 1 在圆x2 2x y2 0 上求一点 使它到直线 2x 3y 5 0 的距离最大 精品文档 11欢迎下载 2 2 在椭圆 4x2 9y2 36 上求一点P 使它到直线x 2y 18 0 的距离最短 或最长 3 3 A 为椭上任意一点 B 为圆上任意一点 求 AB 的最大值 22 1 259 xy 22 1 1xy 和 最小值 精品文档 12欢迎下载 考点三 其他综合问题考点三 其他综合问题 例题 例题 1 已知曲线上的两点对应的参数分别为 2 2 2 xpt tp ypt 为参数 为正常数 M N 12 tt和 那么 12 0tt 且 MN 解析 1 4 p t 显然线段垂直于抛物线的对称轴 即轴 MNx 121 2 2 2 MNp ttpt 2 直线被圆截得的弦长为 12 2 xt t yt 为参数 22 9xy A B C D 12 5 12 5 5 9 5 5 9 10 5 解析 B 把直线代入 2 15 12 5 21 15 5 xt xt yt yt 12 2 xt yt 得 22 9xy 222 12 2 9 5840tttt 弦长为 22 12121 2 81612 4 555 ttttt t 12 12 5 5 5 tt 3 已知直线 过定点与圆 相交于 两点 l 3 3 2 P C 5cos 5sin x y 为参数AB 精品文档 13欢迎下载 求 1 若 求直线 的方程 8AB l 2 若点为弦的中点 求弦的方程 3 3 2 P ABAB 解 1 由圆的参数方程 C 22 5cos 25 5sin x xy y 设直线 的参数方程为 l 3cos 3 sin 2 xt t yt 为参数 将参数方程 代入圆的方程 22 25xy 得 2 412 2cossin 550tt 2 16 9 2cossin 55 0 所以方程有两相异实数根 1 t 2 t 2 12 9 2cossin 558ABtt 化简有 2 3cos4sincos0 解之或 cos0 3 tan 4 从而求出直线 的方程为或 l30 x 34150 xy 2 若为的中点 所以 PAB 12 0tt 由 1 知 得 2cossin0 tan2 故所求弦的方程为 AB 22 42150 25 xyxy 实践练习 实践练习 精品文档 14欢迎下载 1 1 已知直线 l 与双曲线 y 2 2 x2 1 相交于 A B 两点 P 点坐标 ty tx 42 31 P 1 2 求 1 PA PB 的值 2 弦长 AB 弦 AB 中点 M 与点 P 的距离 2 2 坐标系及参数方程已知 l 经过点 P 1 1 倾斜角