导数期末复习试题及答案

函数xxy3 3 的单调递减区间是 1 1 2 设曲线logayx 在点 1 0处的切线与直线210 xy 平行 则a 3 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 2 4 函数的单调增区间为 x x xf ln 5 曲线 y 上的点到直线 2x y 3 0 的最短距离为 2 x 5 52 6 向高为 8m 底面边长为 8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水 其速度为每分钟 则 3 3 8 m 当水深为 5m 时 水面上升的速度为 由体积相等得 所以 sm 75 8 hht 2 3 1 3 8 3 2 th 32 1 3 2 t th 当 h 5 时 t 所以 v m min 8 125 75 8 8 125 t th 7 已知函数 函数图象在点处的切线方程为 x f xxe f x 0 0 fyx 8 已知 P 点在曲线xxxf 4 上 曲线在点 P 处的切线平行于直线03 yx 则点 P 的坐标为 1 0 9 函数 y x 2sinx 在 0 2 内的单调增区间为 3 5 3 10 若函数bbxxxf36 3 在 1 0 内有极小值 则实数b的取值范围是 2 1 0 11 已知函数 32 39f xxxxa a 为常数 在区间 2 2 上有最大值 20 那么 此函数在区间 2 2 上的最小值为 7 12 如图为函数的图象 为函数 32 f xaxbxcxd fx 的导函数 则不等式的解集为 f x 0 x fx 3 0 3 13 已知函数 23 为常数dcbdcxbxxxf 当 4 0 k时 0 kxf只有一个实数根 当有时0 4 0 kxfk3 个相异实根 现给出下列 4 个命题 函数 xf有 2 个极值点 函数 xf有 3 个极值点 o y x 33 xf 4 x f 0 有一个相同的实根 xf 0 和 x f 0 有一个相同的实根 其中正确命题的个数是 14 已知点 P 在曲线 y 上 a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 则 a 的取值 4 1 x e 范围是 3 4 15 设函数 x exxf 2 2 1 1 求函数 xf的单调区间 2 若当 2 2 x时 不等式恒mxf 成立 求实数m的取值范围 解解 1 2 2 1 2 1 2 xxeexxexf xxx 2 分 令0 2 xxex 得20 xx或 xf的增区间为 2 和 0 4 分 令0 2 xxex 得02 x xf的减区间为 0 2 6 分 2 因为 2 2 x 令0 x f 得2 x 或0 x 又由 1 知 2 x 0 x分别为 xf的极小值点和极大值点 8 分 2 2 2 e f 2 2 2 ef 0 0 f 2 0 2 exf 11 分 2 2em 12 分 16 设cxbxaxxf 23 的极小值为 8 其导函数 xfy 的图象经过点 0 3 2 0 2 如图所示 1 求 xf的解析式 2 若对mmxfx14 3 3 2 都有恒成立 求实数 m 的取值范围 解解 1 23 2 xfycbxaxxf 且的图象过点 0 3 2 0 2 4 2 023 3 2 2 2 acabcbxax 代入得的两根为 axaxaxxf42 23 2 分 由图象知 0 3 2 2 xfxfy时在区间恒成立 3 2 1 在区间xf上单调递增 同理可知 3 2 2 和在区间xf上单调递减 2 xxf在时 取得极小值 即8 2 f 4 分 8 2 4 2 2 2 23 aaa 解得 a 1 42 23 xxxxf 6 分 2 要使对 3 3 x都有mmxf14 2 恒成立 只需mmxf14 2 min 即可 8 分 由 1 可知 函数 2 3 在xf上单调递减 在 3 2 2 上单调递增 在 3 3 2 上单调递减 且 83334323 3 8 2 23 ff 33 3 min fxf 10 分 则 33113 14 2 mmm解得 故所求实数 m 的取值范围为 3 11 12 分 17 造船厂年造船量 20 艘 造船x艘产值函数为 23 37004510R xxxx 单位 万元 成本函数 4605000c xx 单位 万元 又在经济学中 函数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 1Mf xf xf x 1 求利润函数 P x 及边际利润函数 MP x 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 公司造船利润最大 3 边际利润函数 MP x 的单调递减区间 解解 1 32 104532405000 P xR xC xxxx 120 xNx 2 130603275 119MP xP xP xxxxNx 2 2 3090324030129Pxxxxx 0 0 xP x 12x 0120 120 xP xxP x 时时 12x P x 有最大值 即每年建造 12 艘船 年利润最大 8 分 3 2 2 306032753013305MP xxxx 11 分 所以 当1x 时 MP x 单调递减 所以单调区间是 1 19 且 xN 18 已知函数 lnf xxax 1 R a g xa x 若 求函数的极值 1a f x 设函数 求函数的单调区间 h xf xg x h x 解 的定义域为 1 分 f x 0 当时 21a lnf xxx 11 1 x fx xx 分 3 分 所以在处取得极小值1 f x1x 4 分 1 ln a h xxax x x 0 1 1 1 fx 0 f x极小 6 2 222 1 1 1 1 1 aaxaxaxxa h x xxxx 分 当时 即时 在上 在上 10a 1a 0 1 a 0h x 1 a 0h x 所以在上单调递减 在上单调递增 7 h x 0 1 a 1 a 分 当 即时 在上 10a 1a 0 0h x 所以 函数在上单调递增 h x 0 8 分 19 已知函数 2 lnbxxaxf 图象上一点 P 2 f 2 处的切线方程为 22ln23 xy 求ba 的值 若方程 0 mxf在 1 e e 内有两个不等实根 求m的取值范围 其中e为自然 对数的底 e2 7 解解 2 a fxbx x 24 2 a fb 2ln24fab 43 2 a b 且ln2462ln22ab 2 分 解得 a 2 b 1 4 分 2 2lnf xxx 令 2 2lnh xf xmxxm 则 2 22 1 2 x h xx xx 令 0h x 得 x 1 x 1 舍去 在 1 e e 内 当 x 1 1 e 时 0h x h x 是增函数 当 x 1 e 时 0h x h x 是减函数 7 分 则方程 0h x 在 1 e e 内有两个不等实根的充要条件是 1 0 e 1 0 e 0 h h h 10 分 即 2 1e2m 12 分 20 已知函数 且 32 f xxaxxc 2 3 af 求的值 a 求函数 xf的单调区间 设函数 x exxfxg 3 若函数 xg在 2 3 x上单调递增 求实数的c 取值范围 解 由 得 32 f xxaxxc 2 321fxxax 当时 得 3 2 x 2 2222 3 2 1 3333 aff 解之 得 4 分1a 因为 32 f xxxxc 从而 列表如下 2 1 3213 1 3 fxxxxx x 3 1 3 1 1 3 1 1 1 xf 0 0 xf 有极大值 有极小值 所以的单调递增区间是和 xf