小学数学思想方法(类比和转化）

小学数学思想方法 第五讲 类比和转化 当一个比较陌生或复杂的问题与一个比较熟悉或简单的问题之间具有某种 相似性的时候 可以把解决前者所用的方法加以推广应用到后者 这种思想方 法叫做类比 类比是一种非常有用的思想方法 不过因为任何两个相似的对象 之间总会有一定的差异 不恰当的类比也可能产生错误 因此在使用类比方法 时要注意避免发生这种情况 例 1 如图 一个正方形可以分成 4 个小正方形 能否把一个正方形分成 6 个 7 个 8 个 以至更多的小正方形 大小不一定相同 解 用类比的方法容易想到 可以先把一个正方形分成 9 个小正方形 再 反其道而行之 把其中 4 个小正方形合并成 1 个较大的正方形 就能得到 6 个 正方形 图 1 进而想到分成 7 个小正方形的方法 图 2 再与分成 6 个正方形 的方法类比 就能想到分成 8 个小正方形的方法 图 3 要得到 10 个小正方形 只要先分成 7 个小正方形 再把其中的 1 个小正方形分成 4 个更小的正方形就 可以了 照这样 分成再多的小正方形都是可以做到的 例 2 一段楼梯有 10 个台阶 如果规定每一步只能登上一个或两个台阶 那么 要登上第 10 个台阶 有多少种不同的走法 解 从最简单的情况入手 根据已知条件 登上第 1 个台阶只有 1 种走法 登上第 2 个台阶就有 2 种走法 登上第 3 个台阶 既可以从第 2 个台阶向上一 步登一个台阶 也可以从第 1 个台阶向上一步登两个台阶 登上第 4 个台阶 既可以从第 3 个台阶向上一步登一个台阶 也可以从第 2 个台阶向上一步登两 个台阶 由此得到一种带有普遍性的走法 登上第 n 个台阶的走法 an 等于登 上第 n 1 个台阶的走法 an 1和登上第 n 2 个台阶的走法 an 2的和 即 an an 1 an 2 由于 a1 1 a2 2 所以 登上各个台阶的走法数依次为 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 于是登上第 10 个台阶有 89 种不同的走法 这里所使用的方法也叫 递推 就是一步一步推下去的意思 著名的菲 波那契数列就是用这种方法得到的 例 3 用两个点把一个圆周分成两段半圆弧 在这两个分点上写上 1 然后 把两段半圆弧二等分 在两个分点上写上相邻两点上的数的和 再把 4 段圆弧 二等分 在分点上写上相邻两点上的数的和 如此继续下去 问第 6 步操作后 圆周上所有点上的数的和是多少 解 按照题目所说的 一边画 一边计算 一边思考 得到 每次操作后 因为所增加的每个数都是原来相邻两个数的和 在求和时原来的每个数都用了 两次 所以每次增加的数的和 等于这次操作前圆周上所有的数的和的 2 倍 也就是说 每操作一次 圆周上所有的数的和等于这次操作前圆周上所有的数 的和的 3 倍 如果把第 n 次操作后圆周上所有的数的和记作 an 把这次操作前 圆周上所有的数的和记作 an 1 就得到 an 3an 1 所以 a6 a1 3 3 3 3 3 因为 a1 2 于是 a6 2 3 3 3 3 3 486 例 4 用对角线把正六边形剖分成三角形 这些三角形的顶点是正六边形的 顶点 共有多少种不同的方法 解 为了找到规律 可以从四边形 五边形入手 再推进到六边形 1 四边形 对角线 A1A3把四边形分为 2 个三角形 对角线 A2A4把四边形 分为另外 2 个三角形 所以把四边形分成三角形的方法共有 2 种 2 五边形 对角线 A1A3把五边形分为 1 个三角形和 1 个四边形 而四边形 分成三角形的方法有 2 种 于是把五边形分成三角形的方法也有 2 种 同理 对角线 A1A4把五边形分成三角形的方法也有 2 种 对角线 A1A3和 A1A4并用 也 可以把五边形分成三角形 所以把五边形分成三角形的方法共有 2 2 1 5 种 3 六边形 对角线 A1A3把六边形分为 1 个三角形和 1 个五边形 而五边形 分成三角形的方法有 5 种 于是把六边形分成三角形的方法也有 5 种 同理 对角线 A1A5把六边形分成三角形的方法也有 5 种 对角线 A1A4把六边形分成 2 个四边形 每个四边形分成三角形的分法有 2 种 于是把六边形分成三角形的 方法有 2 2 4 种 所以把正六边形分成三角形的方法共有 5 5 4 14 种 通常 当我们要处理一个陌生的或复杂的问题时 总是先设法把它变成比 较熟悉的或者比较简单的问题 这种数学思想方法叫做转化 转化是一种最常 用的数学思想方法 例 5 四十一位数 55 5 99 9 其中 5 和 9 各有 20 个 能被 7 整除 那 么 方格内的数字是几 解 先从能被 7 整除的连续几个 5 和连续几个 9 入手 试算发现 555555 7 79365 999999 7 142857 而 555555 999999 都是 6 位数 20 6 余 2 所以 问题转化为 55 99 能被 7 整除 方格内的数字是几 从 55 99 先减去一个能被 7 整除的整千数 49000 得 6099 再从 6099 里减去一 个能被 7 整除的两位数 98 得 6 01 再从 6 01 里减去一个被 7 整除的数 1001 得 5 00 显然方格内的数字应该是 6 例 6 一批工人到甲 乙两个工地进行清理工作 工人的工作效率相同 甲工地的工作量是乙工地的 3 2 倍 上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3 倍 下午这批工人中有 7 12 的人去甲工地 其余工人去乙工地 到傍晚下班时 甲工地的工作已做完 乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天 那么这批工人有 多少人 解 根据对应的思想方法 要求出这批工人有多少人 必须知道 4 人相当 于这批工人的几分之几 下面就按照这个思路进行必要的转化 1 上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3 倍 转化为 上午去甲工 地的人数占总人数的 3 4 去乙工地的占总人数的 1 4 2 从 下午这批工人中有 7 12 的人去甲工地 得出 下午去乙工地的 占总人数的 5 12 3 到傍晚下班时 甲工地的工作已做完 转化为 如果半天完成工作 甲工地需要总人数的 3 4 7 12 4 3 4 根据 甲工地的工作量是乙工地的 3 2 倍 得出 如果半天完成工作 乙工地需要总人数的 4 3 3 2 8 9 进而得出 还缺总人数的 8 9 1 4 5 12 8 36 5 乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天 转化为 乙工地的工作还需要 4 2 8 人 干半天 6 如果半天完成工作 乙工地需要总人数的 8 9 与 乙工地的工作 还需要 8 人 干半天 相对应 所以这批工人有 8 8 36 36 人 例 7 图 a 是一个直径 3 厘米的半圆 AB 是直径 让 A 点不动 把整个半 圆逆时针转 60 角 此时 B 点移动到 B 点 见图 b 那么图中阴影部分的面 积是多少平方厘米 解 阴影部分的面积 等于全部图形的面积减去直径为 AB 的半圆的面积 而全部图形的面积等于直径为 AB 的半圆与半径为 3 厘米的圆的 1 6 实际 上这两个半圆的面积是相等的 所以阴影部分的就等于半径为 3 厘米的圆的 1 6 是 1 6 3 14 32 4 71 平方厘米 例 8 左下图中 已知 AE 1 5AC CD 1 4BC BF 1 6AB 那么 DEF 的 面积是 ABC 的面积的几分之几 解 连结 AD BE CF 如右上图 因为 CD 1 4 BC 所以 S ACD 1 4 S ABC 因为 AE 1 5 AC 所以 S CDE 4 5 S ACD 4 5 1 4 S ABC 1 5 S ABC 同理 S BDF 1 6 S ABD 1 6 3 4 S ABC 1 8 S ABC S AEF 1 5 S ACF 1 5 5 6 S ABC 1 6 S ABC 所以 DEF 的面积是 ABC 的面积的 1 1 5 1 8 1 6 61 120 练习 1 把同一个三角形的三条边分别 5 等分 7 等分 如图 1 图 2 然后适 当连接这些等分点 便得到了若干个面积相等的小三角形 已知图 1 中阴影部 分的面积是 294 平方分米 那么图 2 中阴影部分的面积是多少平方分米 2 用 6 个边长为 1 的正三角形可以拼成一个边长为 1 的正六边形 如果要 拼成一个边长为 6 的正六边形 需要边长为 1 的正三角形多少个 3 按照左下图中所指的方向 从 A 点到 J 点有多少条不同的路线 4 如右上图 象棋盘上一个兵过河后 沿最短路线走到对方的 将 处 有多少种不同的走法 5 计算 19 199 1999 199 99 一直加到 1 后面有 1999 个 9 得多少 6 3 33 333 3333 333 333 一直加到 1995 个 3 和的末三位 数字是哪几个数字 7 六年级的人数在 80 110 之间 如果每 8 人组成一组 那么有一个小组 多 5 人 如果每 12