求导法则与求导公式

精品文档 1欢迎下载 2 2 2 2 求导法则与导数的基本公式求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求教学目标与要求 1 掌握并能运用函数的和 差 积 商的求导法则 2 理解反函数的导数并能应用 3 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数 4 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式 教学重点与难度教学重点与难度 1 会用函数的和 差 积 商的求导法则求导 2 会求反函数的导数 3 会求复合函数的导数 前面 我们根据导数的定义 求出了一些简单函数的导数 但是 如果对每一个函数 都用定义去求它的导数 有时候将是一件非常复杂或困难的事情 因此 本节介绍求导数的 几个基本法则和基本初等函数的导数公式 鉴于初等函数的定义 有了这些法则和公式 就能比较方便地求出常见的函数 初等函数的导数 一 函数的和 差 积 商求导法则一 函数的和 差 积 商求导法则 1 1 函数的和 差求导法则函数的和 差求导法则 定理定理 1 1 函数函数与与在点在点x x处可导 则函数处可导 则函数在点在点x x处也可导 且处也可导 且 u x v x yu xv x yu xv xu xv x 同理可证 u xv xu xv x 即证 注意 注意 这个法则可以推广到有限个函数的代数和 即 12 12 n n u xuxuxu xuxux 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和有限个函数代数和的导数等于导数的代数和 精品文档 2欢迎下载 例例 1 1 求函数的导数 4 cosln 2 yxxx 解 4 cosln 2 yxxx 4 cosln 2 xxx 3 1 4sinxx x 2 2 函数积的求导公式函数积的求导公式 定理定理 2 2 函数函数与与在点在点x x处可导 则函数处可导 则函数在点在点x x也可导 且也可导 且 u x v x yu x v x A yu x v xu x v xu x v x AAA 注意 注意 1 特别地 当 c为常数 时 uc ycv xcv x 即常数因子可以从导数的符号中提出来常数因子可以从导数的符号中提出来 而且将其与和 差的求导法则结合 可得 yau xbv xau xbv x 2 函数积的求导法则 也可以推广到有限个函数乘积的情形有限个函数乘积的情形 即 12121212 nnnn u uuu uuu uuu uu 例例 2 2 求下列函数的导数 1 32 3254sinyxxxx 解解 32 3254sinyxxxx 精品文档 3欢迎下载 2 9454cosxxx 2 3 34ln5cosyxxx 解解 4 45sinyxx x 例例 3 3 求下列函数的导数 1 2 3 4sinyxxx A 3 lncosyxxx AA 解解 1 1 3 3 22 4sin 4 sin sin 12sin 34 sincos 34cos 2 yxxxxxxxx x xxxxxxx xx A AAA 2 2 3 3 3 3 233 2 lncos lncos ln cosln cos 1 3lncoscoslnsin 3lncoscoslnsin yxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx x xxxxxxx AAAAAAAA AAA AAA AAA 3 3 函数商的求导法则函数商的求导法则 定理定理 3 3 函数函数与与在点在点x x处可导 且处可导 且 则函数 则函数在点在点x x处也处也 u x v x 0v x u x y v x 可导 且可导 且 2 u xu x v xu x v x y v xvx 所以 uv v xu x y xx xv xx v x 因为可导 必连续 故 于是 v x 0 lim x v xxv x 精品文档 4欢迎下载 00 0 0 limlim lim lim xx x x uv v xu x y xx y xv xv xx 2 ux v xu x v x vx 注意注意 特别地 当 c为常数 时 uc 2 0 ccv x yv x v xvx 总结 总结 根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式 可得三角函数的导数为 精品文档 5欢迎下载 二 反函数的导数二 反函数的导数 想一想想一想 在基本初等函数中 还有哪些函数没有求导法则 在基本初等函数中 我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论 如何求呢 易知 反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数 能否通过三角函数和 对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢 这是可以的 这就是我们下面将要介绍的 反函数的导数 定理定理 4 4 设函数设函数在某一区间是单调连续 在区间任一点在某一区间是单调连续 在区间任一点x x处可导 且处可导 且 yf x 则它的反函数 则它的反函数在相应区间内也处处可导 且在相应区间内也处处可导 且 0f x 1 xfy 1 1 fx fx 或或 1 1 f x fx 证 因为函数在某一区间内是单调连续函数 可知其反函数在相 yf x 1 xfy 应区间内也是单调连续函数 当的反函数的自变量y取得改变量时 由 yf x 1 xfy 0 yy 的单调性知 于是 1 xfy 11 0 xfyyfy 1x y y x 又因为连续 所以当时 由条件知 所以 1 xfy 0y 0 x 0f x 精品文档 6欢迎下载 1 00 0 111 limlim lim yx x x fy yy yfx xx 故 或 1 1 fx fx 1 1 f x fx 即证 例例 6 6 求下列反三角函数的导数 1 2 arcsinyx arccosyx 3 4 arctanyx arccotyx 例例 7 7 求函数的导数 0 1 x yaaa 解解 由于为对数函数的反函数 根据反 x yax log 0 a xy y 函数的导数法则得 1 lnln log xx a yayaaa y 所以 指数函数的导数公式指数函数的导数公式为 ln xx aaa 特别地特别地 当时 有ae xx ee 三 复合函数的求导法则三 复合函数的求导法则 综上 我们对基本初等函数的导数都进行讨论 根据基本初等函数的求导公式 以及 精品文档 7欢迎下载 求导法则 就可以求一些较复杂的初等函数了 但是 在初等函数的构成过程中 除了四 则运算外 还有复合函数形式 例如 sin2yx 思考 思考 如果 是否有 sin2yx sin2 cos2xx 因此 要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则 定理定理 设函数设函数在点在点 x x 处有导数处有导数 函数 函数在对应点在对应点u u处有处有 ux x ux yf u 导数导数 则复合函数 则复合函数在点在点x x处也有导数 且处也有导数 且 u yf u yfx fxf ux 简记为简记为或或 dydy du dxdu dx xux yyu 证明略 注意 注意 1 复合函数的求导法则表明 复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中 间变量求导乘以中间变量对自变量求导 这种从外向内逐层的求导的方法 形象称为链式链式 法则法则 2 复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形 例如 设 yf u 则 ug v vx 或 dydy du dv dxdu dv dx xuvx yyuv 3 在熟练掌握复合函数的求导法则后 求导时不必写出具体的复合步骤 只需记 住哪些变量是自变量 哪些变量是中间变量 然后由外向内逐层依次求导 例例 8 8 求函数的导数 6 23yx 解解 55 6 23318 23yxx 例例 9 9 求函数的导数 sin ln3yx 解解 cos ln3 11 cos ln33 232 x yx xxx 例例 1010 求幂函数的导数 u yx 精品文档 8欢迎下载 例例 1111 求函数的导数 sinsinyfxf x 解解 sincoscosyfxxf xfx 例例 1212 求下列函数的导数 1 2 1 yf x f x ye 本节小结本节小结 通过本节以及上一节学习 到目前为止 我们已经学习了全部初等函数的求导公式和 函数的求导法则 以及反函数 复合函数 隐函数的求导法则 从而解决了初等函数的求 导问题 这些公式和法则是基础 所以 必须要牢记和熟记 归纳如下 1 1 求导法则求导法则 1 2 uvuv uvuvuv 精品文档 9欢迎下载 3 c为常数 4