双曲线习题及答案

圆锥曲线习题 双曲线 1 如果双曲线 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2 那么点 P 到 y 轴的距离 24 2 2 yx 是 A B C D 3 64 3 62 6232 2 已知双曲线 C 0 b 0 以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的 22 22 1 xy a ab 圆的半径是 A a B b C D ab 22 ba 3 以双曲线的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 22 1 916 xy A B 22 1090 xyx 22 10160 xyx C D 22 10160 xyx 22 1090 xyx 4 以双曲线的右焦点为圆心 且与其右准线相切的圆的方程是 22 2xy 22 430 xyx 22 430 xyx 22 450 xyx 22 450 xyx 5 若双曲线 a 0 b 0 上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准 22 22 1 xy ab 3 2 a 线的距离 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 2 C 1 5 D 5 6 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 2 那么则双曲线的离心1 2 2 2 2 b y a x 率是 A 3 B 5 C D 35 7 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线 的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 2 B 3 C 5 D 10 8 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为 xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 12 PF PF A 12 B 2 C 0 D 4 二 填空题 9 过双曲线的右顶点为 A 右焦点为 F 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 22 1 916 xy 直线与双曲线交于点 B 则 AFB 的面积为 10 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若双曲 线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 则该双曲线的离心率的取值范围是 11 过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于 22 22 1 0 0 xy ab ab x 两点 以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率为 M NMN 12 已知点在双曲线上 并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到双P 22 1 169 xy PP 曲线两个焦点的距离的等差中项 那么点的横坐标是 P 13 已知是双曲线的两个焦点 是过点的弦 且的倾斜角 12 F F 22 1 169 xy PQ 1 FPQ 为 那么的值是 22 PFQFPQ 14 已知是的两个顶点 内角满足 6 0 6 0 BC ABCA A A B C 则顶点的轨迹方程是 1 sinsinsin 2 BCA A 15 过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线 交双曲线于 PQ 两点 则4 22 yx 0 105 FP FQ 的值为 16 已知是双曲线上除顶点外任意一点 为左右焦点 为半焦距 P 22 22 1 xy ab 12 F FC 内切圆与切于点 则的值为 12 PFFA 12 FFM 12 FMF M 三 解答题 17 如图 在以点为圆心 为直径的半圆中 是半圆弧O 4AB ADBODAB P 上一点 曲线是满足为定值的动点的轨迹 且30POB C MAMB M 曲线过点 CP 建立适当的平面直角坐标系 求曲线的方程 C 设过点的直线 l 与曲线相交于不同的两点 DCE F 若 的面积不小于 求直线 斜率的取值范围 OEF2 2l 18 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐近线分别为 经过右焦点垂Ox 12 ll F 直于的直线分别交于两点 已知成等差数列 且与 1 l 12 ll AB OAABOB BF 同向 FA 求双曲线的离心率 设被双曲线所截得的线段的长为 4 求双曲线的方程 AB 19 已知双曲线的左 右焦点分别为 过点的动直线与双曲线相交 22 2xy 1 F 2 F 2 F 于两点 AB I 若动点满足 其中为坐标原点 求点的轨迹方程 M 1111 FMF AFBFO OM II 在轴上是否存在定点 使 为常数 若存在 求出点的坐标 若不存xCCA CB C 在 请说明理由 20 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1 0 0 yx ab ab 离心率 5 2 e 顶点到渐近线的 距离为 2 5 5 1 求双曲线 C 的方程 2 如图 P 是双曲线 C 上一点 A B 两点在双曲线 C 的 两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 1 2 3 APPB 求AOB 面积的取值范围 双曲线习题解答题详细答案 选择题 1 A 2 B 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C 填空题 9 10 11 2 32 15 1 12 12 13 16 64 5 14 22 1 3 927 xy x 15 8 3 3 FPFQ 16 2 12 F MF Mb 17 如图 在以点为圆心 为直径的半圆O 4AB 中 是半圆弧上一点 ADBODAB P 曲线是满足为定值的动点的轨迹 且曲线过点 30POB C MAMB MCP 建立适当的平面直角坐标系 求曲线的方程 C 设过点的直线 l 与曲线相交于不同的两点 DCEF 若 的面积不小于 求直线 斜率的取值范围 OEF2 2l 解 以 O 为原点 AB OD 所在直线分别为 x 轴 y 轴 建立平面直角坐标系 则 A 2 0 B 2 0 D 0 2 P 依题意得1 3 MA MB PA PB AB 4 221321 32 2222 曲线 C 是以原点为中心 A B 为焦点的双曲线 设实半轴长为 a 虚半轴长为 b 半焦距为 c 则 c 2 2a 2 a2 2 b2 c2 a2 2 2 曲线 C 的方程为 1 22 22 yx 解法 2 同解法 1 建立平面直角坐标系 则依题意可得 MA MB PA PB AB 4 曲线 C 是以原点为中心 A B 为焦点的双曲线 设双曲线的方程为 0 b 0 a b y a x 1 2 2 2 2 则由 解得 a2 b2 2 4 1 13 22 22 2 ba ba 曲线 C 的方程为 1 22 22 yx 解法 1 依题意 可设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理得 1 K2 x2 4kx 6 0 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E F 0 1 64 4 01 22 2 kk k 1 33 k k k 1 1 1 1 33 设 E x y F x2 y2 则由 式得 x1 x2 于是 k xx k k 1 6 1 4 21 2 EF 2 21 22 21 2 21 1 xxkxyxx 1 322 14 1 2 2 2 21 2 21 2 k k kxxxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d 2 1 2 k S DEF 1 322 1 322 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k EFd 若 OEF 面积不小于 2 即 S OEF 则有2 22 解得 22 0222 1 322 24 2 2 kkk k k 综合 知 直线 l 的斜率的取值范围为 1 1 1 1 22 解法解法 2 依题意 可设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理 得 1 K2 x2 4kx 6 0 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E F 2 22 10 4 4 6 1 0 k kk 1 33 k k k 1 1 1 1 33 设 E x1 y1 F x2 y2 则由 式得 x1 x2 1 322 1 4 2 2 2 21 2 21 k k k xxxx 当 E F 在同一去上时 如图 1 所示 S OEF 2 1 2 1 2121 xxODxxODSS ODEODF 当 E F 在不同支上时 如图 2 所示 S ODE ODFOEF SS 2 1 2 1 2121 xxODxxOD 综上得S OEF 于是 2 1 21 xxOD 由 OD 2 及 式 得 S OEF 1 322 2 2 k k 若 OEF 面积不小于 2则有即 22 2 OEF S 22 022 1 322 24 2 2 kkk k k 解得 综合 知 直线 l 的斜率的取值范围为 1 1 1 1 22 18 设 OAmd ABm OBmd 由勾股定理可得 222 mdmmd 得 1 4 dm tan b AOF a 4 tantan2 3 AB AOBAOF OA 由倍角公式 解得 则离心率 2 2 4 3 1 b a b a 1 2 b a 5 2 e 过直线方程为 与双曲线方程联立F a yxc b 22 22 1 xy ab 将 代入 化简有2ab 5cb 2 2 158 5 210 4 xx bb 22 2 121212 411 4 aa xxxxx x bb 将数值代入 有 解得 2 2 32 528 454 155 bb 3b 故所求的双曲线方程为 22 1 369 xy 19 解 由条件知 设 1 2 0 F 2 2 0 F 11 A xy 22 B xy I 解法一 I 设 则则 M xy 1 2 FMxy 111 2 F Axy 由得 1221 2 2 0 FBxyFO 1111 FMF AFBFO 即 12 12 26xxx yyy 12 12 4xxx yyy 于是的中点坐标为 AB 4 22 xy 当不与轴垂直时 即 ABx 12 12 2 4 8 2 2 y yyy x xxx 1212 8 y yyxx x 又因为两点在双曲线上 所以 两式相减得AB 22 11 2xy 22 22 2xy 即 12121212 xxxxyyyy 1212 4 xxxyyy 将代入上式 化简得 1212 8 y yyxx x 22 6 4xy 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx 12 2xx 8 0 M 所以点的轨迹方程是 M 22 6 4xy 解法二 同解法一的 I 有 12 12 4xxx yyy 当不与轴垂直时 设直线的方程是 ABxAB 2 1 yk xk 代入有 22 2xy 2222 1 4 42 0kxk xk 则是上述方程的两个实根 所以 12 xx 2 12 2 4 1 k xx k 2 1212 2 44 4 4 11 kk yyk xxk kk 由 得 2 2 4 4 1 k x k 2 4 1 k y k 当时 由 得 将其代入 有0k 0y 4x k y 整理得 222 2 4 4 4 4 4 4 1 x y xy y xxy y 22 6 4xy 当时 点的坐标为 满足上述方程 0k M 4 0 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx 12 2xx 8 0 M 故点的轨迹方程是 M 22 6 4xy II 假设在轴上存在定点 使为常数 x 0 C m CA CB A 当不与轴垂直时 设直线的方程是 ABxAB 2 1 yk xk 代入有 22 2xy 2222 1 4 42 0kxk xk 则是上述方程的两个实根 所以 12 xx 2 12 2 4 1 k xx k 2 12 2 42 1 k x x k 于是 2 1212 2 2 CA CBxm xmkxx A 2222 1212 1 2 4kx xkm xxkm 2222 22 22 1 42 4 2 4 11 kkkkm km kk 2 22 22 2 1 2 244 2 1 2 11 m km mmm kk 因为是与无关的常数 所以 即 此时 CA CB Ak440m 1m CA CB A1 当与轴垂直时 点的坐标可分别设为 ABxAB 22 22 此时 12 12 1CA CB AA 故在轴上存在定点 使为常数 x 10 C CA CB A 20 由题意知 双曲线 C 的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 设直线 AB 的方