极坐标与参数方程题型及解题方法

精品文档 1欢迎下载 复习提问复习提问 1 极坐标系和直角坐标系有什么区别 学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的 2 如何把极坐标系转化为直角坐标系 答 将极坐标的极点 O 作为直角坐标系的原点 将极坐标的极轴作为直角坐标系 x 轴的 正半轴 如果点 P 在直角坐标系下的坐标为 x y 在极坐标系下的坐标为 则 有下列关系成立 y sin x cos 3 参数方程表示什么曲线 cos sin x r y r 4 圆 x a 2 y b 2 r2 的参数方程是什么 5 极坐标系的定义是什么 答 取一个定点 O 称为极点 作一水平射线 Ox 称为极轴 在 Ox 上规定单位长度 这 样就组成了一个极坐标系设 OP 又 xOP 和的值确定了 则 P 点的位置就 确定了 叫做 P 点的极半径 叫做 P 点的极角 叫做 P 点的极坐标 规定 写在前 写在后 显然 每一对实数决定平面上一个点的位置 6 参数方程的意义是什么 参数方程极坐参数方程极坐参数方程极坐参数方程极坐标标标标 精品文档 2欢迎下载 题型与方法归纳题型与方法归纳 1 1 题型与考点题型与考点 1 极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 2 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 3 利用参数方程求值域 参数方程的几何意义 2 2 解题方法及步骤 解题方法及步骤 1 1 参数方程与普通方程的互化 参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数 常用的消参方法有代入消去法 加减 消去法 恒等式 三角的或代数的 消去法 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参 数 即选定合适的参数 先确定一个关系 或 再代入普通方程t xf t yg t 求得另一关系 或 一般地 常选择的参数有角 有向 0F x y yg t xf t 线段的数量 斜率 某一点的横坐标 或纵坐标 例例 1 1 方程表示的曲线是 22 22 tt tt x t y 为参数 A 双曲线 B 双曲线的上支 C 双曲线的下支 D 圆 解析 注意到 t与 互为倒数 故将参数方程的两个等式两边分别平方 再相减 即可2t2 t 消去含 的项 即有 又注意到 t 22 22 22224 tttt xy 22 4yx 可见与以上参数方程等价的普通方程为20 222 2 222 ttttt y 即 显然它表示焦点在轴上 以原点为中心的双曲线的上支 选 B 22 42yxy y 练习 1 与普通方程等价的参数方程是 为能数 2 10 xy t 222 sincos 1 cos1sin xtxtgtxt xt ABCD ytytg tytyt 精品文档 3欢迎下载 解析 所谓与方程等价 是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一 2 10 xy 致而且的变化范围也对应相同 按照这一标准逐一验证即可破解 x y 对于 A 化为普通方程为 2 101101xyxy 对于 B 化为普通方程为 2 10 1 xyxRy 对于 C 化为普通方程为 2 10 0 1 xyxy 对于 D 化为普通方程为 2 101101xyxy 而已知方程为显然与之等价的为 B 2 10 1 xyxRy 练习 2 设 P 是椭圆上的一个动点 则的最大值是 最小值为 22 2312xy 2xy 分析 注意到变量的几何意义 故研究二元函数的最值时 可转化为几 x y2xy 何问题 若设 则方程表示一组直线 对于 取不同的值 方程表示2xyt 2xyt t 不同的直线 显然既满足 又满足 故点是方程 x y 22 2312xy 2xyt x y 组的公共解 依题意得直线与椭圆总有公共点 从而转化为研究消无后的 22 2312 2 xy xyt 一元二次方程的判别式问题 0 解析 令 对于既满足 又满足 故点2xyt x y 22 2312xy 2xyt 是方程组的公共解 依题意得 由 x y 22 2312 2 xy xyt 22 1182120yt yt 解得 所以的最大值为 22 644 112120tt 2222t 2xy 最小值为 2222 2 2 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 这二者互化的前提条 件是 1 极点与原点重合 2 极轴与轴正方向重合 3 取相同的单位长度 设点x P 的直角坐标为 它的极坐标为 则 若 x y 222 cos sin xy x y ytg x 或 把直角坐标化为极坐标 求极角时 应注意判断点 P 所在的象限 即角的终边的位置 以便正确地求出角 例例 2 2 极坐标方程表示的曲线是 2 4sin5 2 A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线 分析 这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断 解析 由 化为直角坐标系方程为 2 1 cos 4sin422 cos5 22 化简得 显然该方程表示抛物线 故选 D 22 225xyx 2 25 5 4 yx 练习 1 已知直线的极坐标方程为 则极点到该直线的距离是 2 sin 42 解析 极点的直角坐标为 对于方程 0 0o 222 sinsincos 4222 精品文档 4欢迎下载 可得化为直角坐标方程为 因此点到直线的距离为 sincos1 10 xy 2 2 练习练习 2 2 极坐标方程转化成直角坐标方程为 2 cos0 A B C D 2 01yy 2 x或1x 2 01y 2 x或x1y 分析 极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解 解析 因此选 C 22 cos1 0 0 cos1xyx 或 练习练习 3 3 点的直角坐标是 则点的极坐标为 M 1 3 M A B C D 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 kkZ 解析 都是极坐标 因此选 C 2 2 2 3 kkZ 3 3 参数方程与直角坐标方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 例题例题 3 3 已知曲线 1 C的参数方程为 sin10 cos102 y x 为参数 曲线 2 C的极坐标方 程为 sin6cos2 1 将曲线 1 C的参数方程化为普通方程 将曲线 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程 2 曲线 1 C 2 C是否相交 若相交请求出公共弦的长 若不相交 请说明理由 解 1 由 sin10 cos102 y x 得 10 2 22 yx 曲线 1 C的普通方程为10 2 22 yx sin6cos2 sin6cos2 2 sin cos 222 yxyx yxyx62 22 即10 3 1 22 yx 曲线 2 C的直角坐标方程为 10 3 1 22 yx 精品文档 5欢迎下载 D D A A F F E E O O B B C C 2 圆 1 C的圆心为 0 2 圆 2 C的圆心为 3 1 10223 30 12 C 22 21 C 两圆相交 设相交弦长为d 因为两圆半径相等 所以公共弦平分线段 21 C C 222 10 2 23 2 d 22 d 公共弦长为22 练习练习 1 1 坐标系与参数方程 已知曲线 C 为参数 0 2 sin21 cos23 y x 将曲线化为普通方程 求出该曲线在以直角坐标系原点为极点 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极x 坐标方程 解析 0232 22 yxyx sincos32 4 4 利用参数方程求值域 利用参数方程求值域 例题例题 4 4 在曲线 上求一点 使它到直线 1 C y x 为参数 sin cos1 2 C 的距离最小 并求出该点坐标和最小距离 1 2 2 2 1 1 2 xt t yt 为参数 解 直线 C2化成普通方程是 x y 2 1 02 设所求的点为 P 1 cos sin 则 C 到直线 C2的距离 d 2 122sincos1 sin 2 4 当时 即 时 d 取最小值 1 2 3 4 4 5 此时 点 P 的坐标是 1 2 2 2 2 精品文档 6欢迎下载 练习练习 1 1 在平面直角坐标系xOy中 动圆 R R 的圆心为 求的取值 222 8 cos6 sin7cos80 xyxy P xy2xy 范 解 由题设得 为参数 R R 于是 4cos 3sin x y 28cos3sin73cos xy 所以 73273xy 练习练习 2 2 已知曲线C的极坐标方程是 sin2 设直线L的参数方程是 5 4 2 5 3 ty tx t为参数 将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程 设直线L与x轴的交点是M N曲线C上一动点 求MN的最大值 解 1 曲线C的极坐标方程可化为 sin2 2 又 sin cos 222 yxyx 所以 曲线C的直角坐标方程为 02 22 yyx 2 将直线L的参数方程化为直角坐标方程得 2 3 4 xy 令 0 y 得 2 x即M点的坐标为 0 2 又曲线C为圆 圆C的圆心坐标为 1 0 半径1 r 则5 MC 15 rMCMN 5 5 直线参数方程中的参数的几何意义 直线参数方程中的参数的几何意义 例例5 5 已知直线l经过点 1 1 P 倾斜角 6 写出直线l的参数方程 精品文档 7欢迎下载 设l与圆4 22 yx相交与两点 A B 求点P到 A B两点的距离之积 解 1 直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt 即 3 1 2 1 1 2 xt yt 2 把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入4 22 yx 得 222 31 1 1 4 31 20 22 tttt 1 2 2t t 则点P到 A B两点的距离之积为2 练习练习 1 1 求直线 被曲线所截的弦长 4 1 5 3 1 5 xt yt 为参数t2cos 4 解 将方程 分别化为普通方程 4 1 5 3 1 5 xt yt 2cos 4 3410 xy 22 0 xyxy 2 17 2 105 dd 2 11211 圆心C 半径为圆心到直线的距离 弦长 2 r 2222100 6 6 参数方程与极坐标的简单应用 参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是 求几何图形的面积 曲线的轨迹方程或研究某 些函数的最值问题 例例 6 6 已知的三个顶点的极坐标分别为 ABC 554 3 623 ABC 判断三角形 ABC 的三角形的形状 并计算其面积 分析 判断 ABC 的形状 就需要计算三角形的边长或角 在本题中计算边长较为容 易 不妨先计算边长 解析 如图 对于 55 366 AOBBOCAOC 又 由余弦定理得 5 4 3OAOBOC 222 2cosACOAOCOA OCAOC 2 2 5 54 32 5 4 3 cos 6 B A O x C 精品文档 8欢迎下载 133 133AC 133BC 同理 ACBC ABC 为等腰三角形 所以 AB 边上的高 5ABOAOB 又 2 2113 3 22 hACAB 113 365 3 5 224 ABC S 练习练习 1 1 如图 点 A 在直线 x 5 上移动 等腰 OPA 的顶角 OPA 为 120 O P A 按顺 时针方向排列 求点 P 的轨迹方程 解析 取 O 为极点 正半轴为极轴 建立极坐标系 x 则直线的极坐标方程为 设 A 5x cos5 0 0 P 因点 A 在直线上 cos5 为等腰三角形 且 00 cos51 OPA 以及 0 120OPAOPOA 而 30POA 把代入 得 00 3302 且 点 P 的轨迹的极坐标方程为 3 cos305 趁热打铁趁热打铁 1 把方程化为以 参数的参数方程是 1xy t A B C D 1 2 1 2 xt yt sin 1 sin xt y t cos 1 cos xt y t tan 1 tan xt y t 解析 D 取非零实数 而 A B C 中的的范围有各自的限制1xy xx 2 曲线与坐标轴的交点是 25 1 2 xt t yt 为参数 A B C D 21 0 0 52 11 0 0 52 0 4 8 0 5 0 8 0 9 解析 B 当时 而 即 得与轴的交点为 0 x 2 5 t 1 2yt 1 5 y y 1 0 5 当时 而 即 得与轴的交点为0y 1 2 t 25xt 1 2 x x 1 0 2 3 直线被圆截得的弦长为 12 2 xt t yt 为参数 22 9xy A B C D 12 5 12 5 5 9 5 5 9 10 5 y P A O x 精品文档 9欢迎下载 解析 B 把直线代入 2 15 12 5 21 15 5 xt xt yt yt 12 2 xt yt 得 22 9xy 222 12 2 9 5840tttt 弦长为 22 12121 2 81612 4 555 ttttt t 12 12 55 5 tt 4 若点在以点为焦点的抛物线上 3 PmF 2 4 4 xt t yt 为参数 则等于 PF A B C D 2345 解析 C 抛物线为 准线为 为到准线的距离 2 4yx 1x PF 3 Pm1x 即为4 5 已知曲线上的两点对应的参数分别为 2 2 2 xpt tp ypt 为参数 为正常数 M N 12 tt和 那么 12 0tt 且MN 解析 显然线段垂直于抛物线的对称轴 即轴 1 4p tMNx 121 222MNp ttpt 6 圆的参数方程为 则此圆的半径为 3sin4cos 4sin3cos x y 为参数 解析 由得 故半径为 5 3sin4cos 4sin3cos x y 22 25xy 7 分别在下列两种情况下 把参数方程化为普通方程 1 cos 2 1 sin 2 tt tt xee yee 1 为参数 为常数 2 为参数 为常数 tt 解 1 当时 即 0t 0 cosyx 1 0 xy 且 精品文档 10欢迎下载 当时 0t cos sin 11 22 tttt xy eeee 而 即 22 sincos1 22 22 1 11 44 tttt xy eeee 2 当时 即 kkZ 0y 1 2 tt xee 1 0 xy 且 当时 即 2 kkZ 0 x 1 2 tt yee 0 x 当时 得 即 2 k kZ 2 cos 2 sin tt tt x ee y ee 22 2 cossin 22 2 cossin t t xy e xy e 得 2222 22 cossincossin tt xyxy ee 即 22 22 1 cossin xy 8 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点 10 0 2 P 22 121xy M N 求的值及相应的的值PMPN 解 设直线为 代入曲线并整理得 10 cos 2 sin xt t yt 为参数 22 3 1 sin 10cos 0 2 tt 则 1 2 2 3 2 1 sin PMPNt t 所以当时 即 的最小值为 此时 2 sin1 2 PMPN 3 42 9 参数方程表示什么曲线 cos sincos sin sincos x y 为参数 解 显然 则tan y x 2 2 222 2 11 1 cos cos 1 y yx x 精品文档 11欢迎下载 222 2 112tan cossincossin2coscos 221tan x 即 2 2222 222 21 11 1 1 2 111 yy yy xx xx yyyxx xxx 得 即 2 1 yy x xx 22 0 xyxy 温故强化温故强化 1 下列在曲线上的点是 sin2 cossin x y 为参数 A B C D 1 2 2 3 1 4 2 2 3 1 3 解析 B 转化为普通方程 当时 2 1yx 3 4 x 1 2 y 2 将参数方程化为普通方程为 2 2 2sin sin x y 为参数 A B C D 2yx