中考总复习十：解直角三角形

1 中考总复习十 解直角三角形中考总复习十 解直角三角形 一 目标与策略一 目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件 要做到心中有数 学习目标 学习目标 理解三角函数的定义和正弦 余弦 正切的概念 并能运用 掌握特殊角三角函数值 并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简 掌握互为余角和同角三角函数间关系 掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念 并能运用直角三角形的两锐角互余 勾股定理和锐角三角函 数解直角三角形 了解实际问题中的概念 并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题 复习策略 复习策略 复习本专题应从四方面入手 1 直角三角形在角方面的关系 2 直角三角形在边方面的关系 3 直角三 角形的边角之间的关系 4 怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素 同时 解答这类题目时 应注重借助图形来解题 它能使已知条件 所求结论直观化 以便启迪思维 快捷解题 二 学习与应用二 学习与应用 知识点一 锐角三角函数知识点一 锐角三角函数 凡事预则立 不预则废 科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性 我们要在预习的基础上 认真听讲 做到眼睛看 耳朵听 心里想 手上记 知识考点梳理知识考点梳理 认真阅读 理解教材 尝试把下列知识要点内容补充完整 若有其它补充可填在右栏空 白处 详细内容请参看网校资源 ID tbjx4 248924 知识框图知识框图 通过知识框图 先对本单元知识要点有一个总体认识 2 一 锐角三角函数 一 锐角三角函数 在 Rt ABC 中 C 是直角 如图 1 正弦 A 的 与 的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA 2 余弦 A 的 与 的比叫做 A 的余弦 记作 cosA 即 cosA 3 正切 A 的 与 的比叫做 A 的正切 记作 tanA 即 tanA 锐角三角函数 锐角 A 的正弦 余弦 正切都叫做 A 的锐角三角函数 二 同角三角函数关系 二 同角三角函数关系 1 平方关系 sin2A cos2A 2 商数关系 tanA 三 互余两角的三角函数关系 三 互余两角的三角函数关系 sinA cos cosA sin 四 特殊角的三角函数值 四 特殊角的三角函数值 五 锐角三角函数的增减性 五 锐角三角函数的增减性 1 角度在 0 90 之间变化时 正弦值 正切值 随角度的增大 或减小 而 或 2 角度在 0 90 之间变化时 余弦值随角度的增大 或减小 而 或 要点诠释 要点诠释 A 在 0 90 之间变化时 sinA cosA 3 tanA 知识点二 解直角三角形知识点二 解直角三角形 在直角三角形中 由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形 一 三边之间的关系 一 三边之间的关系 a2 b2 勾股定理 二 锐角之间的关系 二 锐角之间的关系 A B 三 边角之间的关系 三 边角之间的关系 sinA cosA tanA 要点诠释 要点诠释 解直角三角形时 只要知道其中的 个元素 至少有一个 就可 以求出其余未知元素 知识点三 解直角三角形的实际应用知识点三 解直角三角形的实际应用 一 仰角和俯角 一 仰角和俯角 在视线与 所成的角中 视线在 上方的是仰角 视线 在 下方的是俯角 二 坡角和坡度 二 坡角和坡度 坡面与 的夹角叫做坡角 坡面的 和 的 比叫做坡面的坡度 即坡角的 值 常用 i 表示 三 株距 三 株距 相邻两树间的 四 方位角与方向角 四 方位角与方向角 从某点的 方向沿 时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位 角 从 方向或 方向到目标方向所形成的小于 的角叫做方 向角 经典例题经典例题 自主学习自主学习 认真分析 解答下列例题 尝试总结提升各类型题目的规律和技巧 然后完成举一反 三 若有其它补充可填在右栏空白处 更多精彩请参看网校资源 ID jdlt0 248924 4 类型一 锐角三角函数类型一 锐角三角函数 例例 1 在 ABC 中 C 90 若 sinA 则 tanA 1 2 考点 考点 锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值 解析 解析 例例 2 已知 cos 则锐角的取值范围是 2 3 A 0 30 B 45 60 C 30 45 D 60 90 考点 考点 利用三角函数值确定角的取值范围 解析 解析 例例 3 当 45 cos sin B sin cos tan C tan sin cos D cos sin tan 考点 考点 同一锐角不同三角函数比较大小 解析 解析 例例 4 Rt ABC 中 如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的 那么锐角 A 1 5 的各个三角函数值 A 都缩小 B 都不变 C 都扩大 5 倍 D 无法确定 1 5 5 考点 考点 三角函数值与角的度数有关 与边的比值有关 解析 解析 例例 5 1 cos234 cos256 考点考点 1 sin2A cos2A 1 2 互余两角的三角函数关系 sinA cos 90 A 或 cosA sin 90 A 解析 解析 例例 6 方程有实数根 求锐角的取值范围 2 sin2 sin2 sin120 xx 考点 考点 锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值 解析 解析 总结升华 总结升华 举一反三 举一反三 变式 1 已知为锐角 下列结论正确的有 1 2 如果 那么sincos1 45 sincos 3 如果 那么 4 1 cos 2 60 2 sin1 1 sin A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 思路点拨 思路点拨 利用三角函数的增减性和有界性即可求解 解析 解析 变式 2 A B C 是 ABC 的三个内角 则等于 sin 2 AB A B C D cos 2 C sin 2 C cosCcos 2 AB 6 考点 考点 互余两角正余弦关系 解析 解析 变式 3 已知 ABC 中 C 90 若 A B 的余弦值是关于的方程x 的两个根 且 ABC 的周长为 24 试求 BC 的长 2 6237mxmxm 度 考点 考点 锐角三角函数概念的理解和运用 解析 解析 类型二 解直角三角形类型二 解直角三角形 7 例例 7 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D BC 5 BD 3 则 sinA cosA tanA tanB A A B BC C D D 考点 考点 解直角三角形 利用已知元素求两锐角的三角函数值 解析 解析 例例 8 如图 在中 AD 是 BC 边上的高 ABC tancosBDAC 1 求证 AC BD 2 若 求 AD 的长 12 sin12 13 CBC 考点 考点 利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形 思路点拨 思路点拨 由于 AD 是 BC 边上的高 则有和 这样可以充分利Rt ADB Rt ADC 用锐角三角函数的概念使问题求解 解析 解析 8 例例 9 如图 沿 AC 方向开山修路 为了加快施工速度 要在小山的另一边同时施 工 从 AC 上的一点 B 取米 要使145500ABDBD 55D A C E 成一直线 那么开挖点 E 离点 D 的距离是 A 米B 米500sin55 500cos55 C 米D 米500tan55 500 cos55 思路点拨 思路点拨 在中可用三角函数求得 DE 长 Rt BED 解析 解析 总结升华 总结升华 举一反三 举一反三 变式 1 在 ABC 中 C 30 BAC 105 AD BC 垂足为 D AC 2cm 求 BC 的长 9 解析 解析 变式 2 如图 已知 ABC 中 ACB 90 根据下列条件解直角三角形 1 A 60 CD AB 于 D CD 3 2 a 2 CD AB 于 D BD 3 考点 考点 解直角三角形中运用已知元素求未知元素 恰当选用锐角三角函数求值 解析 解析 总结升华 总结升华 大胆正确应用 虽然方法很多 但要总结最优解法 10 变式 3 某片绿地形状如图 其中 AB BC CD AD A 60 AB 200m CD 100m 求 AD BC 的长 思路点拨 思路点拨 设法补成含 60 的直角三角形再求解 解析 解析 类型三 解直角三角形的实际应用类型三 解直角三角形的实际应用 例例 10 已知 如图 AB DC D 900 BC AB 4 求梯形10tanC 1 3 ABCD 的面积 DC BA 考点 考点 解直角三角形在实际中的应用 思路点拨 思路点拨 过 B 作 BE CD 于 E 设 BE 则结合 得 CE 3 又 BC ktanC 1 3 k 利用勾股定理求 从而可求梯形 ABCD 的面积 10k 解析 解析 11 例例 11 如图 在湖边高出水面 5m 的山顶 A 处看见一架直升机停留在湖面上空某处 观察到飞机底部标志 P 处的仰角为 45 又观察到其在湖中之像的俯角为 65 试求飞机距湖面的高度 h 精确到 0 01m tan65 2 145 考点 考点 利用三角形函数解实际问题 思路点拨 思路点拨 通过作点 P 至湖面的对称点 P 根据方向角平面成像的知识解决问题 解析 解析 例例 12 已知 如图 山顶建有 80 米高的铁塔 BC 为了测量山的高度 测量人员在 一个小山坡的 P 处 测得塔的底部 B 点的仰角为 45 塔顶 C 的仰角为 60 若小山坡的坡角为 30 坡长 MP 40 米 请问 测量人员用这种方法能测量出 山的高度吗 如果能 山的高度是多少 精确到 1 米 参考数据 21 414 31 732 思路点拨 思路点拨 如果能由已知数据计算出山高 AB 那么该测量人员的方法可行 另外为 计算方法 可将问题抽象成几何计算题 解析 解析 12 例例 13 如图 某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度 已知小明的眼睛与地 面的距离 AB 是 1 7m 看旗杆顶部的仰角为 45 小红的眼睛与地面的距M 离 CD 是 1 5m 看旗杆顶部的仰角为 两人相距 28 米且位于旗杆M30 两侧 点在同一条直线上 BND 请求出旗杆的高度 参考数据 结果保留整数 MN21 4 31 7 解析 解析 解法一 13 解法二 总结升华 总结升华 举一反三 举一反三 变式 1 如图所示的燕服槽是一个等腰梯形 外口 AD 宽 10cm 燕尾槽深 10cm AB 的坡度 i 1 1 求里口宽 BC 及燕尾槽的截面积 14 考点 考点 坡度的概念 解析 解析 变式 2 如图 AB 是江北岸滨江路一段 长为 3 千米 C 为南岸一渡口 为了解 决两岸交通困难 拟在渡口 C 处架桥 经测量得 A 在 C 北偏西 30 方向 B 在 C 的东北方向 从 C 处连接两岸的最短的桥长多少 精确到 0 1 考点 考点 方向角的应用 解析 解析 变式 3 气象台发布的卫星云图显示 代号为 W 的台风在某海岛 设为点 的O 南偏东方向的点生成 测得 台风中心从点以45 B100 6kmOB B 40km h 的速度向正北方向移动 经 5h 后到达海面上的点处 因受气旋影响 C 台风中心从点开始以 30km h 的速度向北偏西方向继续移动 以为原C60 O 15 点建立如图所示的直角坐标系 1 台风中心生成点的坐标为 台风中心转折点的坐标为 BC 结果保留根号 2 已知距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭 如果某城市 设为点 位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上 那么台风从生成到最初侵AO 袭该城要经过多长时间 x km y km 北 东 A O B C 60 45 考点 考点 利用三角函数解决实际问题 解析 解析 三 总结与测评三 总结与测评 要想学习成绩好 总结测评少不了 课后复习是学习不可或缺的环节 它可以帮助我们巩 固学习效果 弥补知识缺漏 提高学习能力 一 数形结合思想 一 数形结合思想 总结规律和方法总结规律和方法 强化所学强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法 熟练掌握技能技巧 相关内容请参看网校资源 ID tbjx20 248924 16 从概念的引入到关系式的推导 以及直角三角形的解法和应用 都体现了数形结合的思想方法 例如在解直角三角形时 我们总是先画出图形 再结合图形分清已知元素和未知元素 最终使问题顺利得到解决 二 方程和函数思想 二 方程和函数思想 在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时 常利用方程和函数思想将几何问题转化为代数问题求 解 三 化归与转化思想 三 化归与转化思想 利用三角函数的定义可以实现边与角的转化 利用互余角的三角函数关系可以实现正余弦的转化 利用同角的三角形函 数关系可实现 异名 三角函数之间的转化 通过添加辅助线可以将非直角三角形转化为直角三角形 此外 在实际应用时 要首先把实际问题转化为数学模型 再借助直角三角形的知识求解 四 注意观察 分析 总结 四 注意观察 分析 总结 在运用锐角三角函数解决问题时 应掌握定义 灵活地选择关系式 能用已知不用未知 能用乘法不用除法 在实际应 用时 要首先把实际问题转化为数学模型 再借助直角三角形的知识求解 掌握各函数值之间的联系及互化 知识点 解直角三角形解直角三角形 测评系统测评系统分数 模拟考试系统模拟考试系统分数 如果你的分数在 80 分以下 请进入网校资源 ID cgcp0 248924 做基础达标部分的练习 如果你的分数在 80 分以上 你可以进行能力提升题目的测