求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有 待定系数法 换元法 配凑法 消元法 特殊值法 以下主要从这几个方面来分析 一 待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一 它适用于已知 所求函数类型 如一次函数 二次函数 正 反例函数等 及函 数的某些特征求其解析式的题目 它在函数解析式的确定中扮演 着十分重要的角色 其方法 已知所求函数类型 可预先设出所 求函数的解析式 再根据题意列出方程组求出系数 例 1 已知是二次函数 若且 f x 0 0 f 试求的表达式 1 1f xf xx f x 解析 设 a0 2 f xaxbxc 由得 c 0 由 得 0 0 f 1 1f xf xx 22 1 1 1a xb xcaxbxcx 整理得 22 2 1axab xabcaxbc xc 得 2 1 2 21 1 1 2 0 0 11 22 a abb abccb c c f xxx 小结 我们只要明确所求函数解析式的类型 便可设出其函数解析式 设法求出其系数即可得到结果 类似的已知 f x 为一次函数时 可设 f x ax b a 0 f x 为反比例函数时 可设 f x k 0 f x 为二次 k x 函数时 根据条件可设 一般式 f x ax2 bx c a 0 顶点式 f x a x h 2 k a 0 双根式 f x a x x1 x x2 a 0 二 换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一 它主要用来处理 不知道所求函数的类型 且函数的变量易于用另一个变量表示的 问题 它主要适用于已知复合函数的解析式 但使用换元法时要 注意新元定义域的变化 最后结果要注明所求函数的定义域 例 2 已知求的解析式 1 21 fxxx f x 解析 如果把视为 那左边就是一个关于 的函数1x tt 只要在等式中 用 表示 将右边化为 的表达式 f t1xt txt 问题即可解决 令1xt 22 2 0 1 1 2 1 1 1 x t f tttt f xxx 小结 已知 f g x 是关于 x 的函数 即 f g x F x 求 f x 的解析 式 通常令 g x t 由此能解出 x t 将 x t 代入 f g x F x 中 求得 f t 的解析式 再用 x 替换 t 便得 f x 的解析式 注意 换元后要确定新元 t 的取值范围 换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的 解题方法 它的基本功能是 化难为易 化繁为简 以快速实现未知向已 知的转换 从而达到顺利解题的目的 常见的换元法是多种多样的 如局 部换元 整体换元 三角换元 分母换元等 它的应用极为广泛 三 配凑法 已知复合函数的表达式 要求的解析式时 若 f g x f x 表达式右边易配成的运算形式 则可用配凑法 使 f g x g x 用配凑法时 要注意定义域的变化 例 3 已知求的解析式 1 2 fxxx f x 分析 可配凑成可用配凑法2xx 解 由 2 1 2 1fxxxx 令1tx 0 1 x t 则即 2 1f tt 2 1 1 f xxx 当然 上例也可直接使用换元法 令则1tx 1tx 得 2 22 1 1 2 1 1 xt f tttt 即 2 1 1 f xxx 由此可知 求函数解析式时 可以用配凑法来解决的 有些 也可直接用换元法来求解 例 4 已知求 2 2 11 f xx xx f x 分析 此题直接用换元法比较繁锁 而且不易求出来 但用 配凑法比较方便 解析 由 22 2 111 2f xxx xxx 令 2 1 10txxtx x 由即得0 2 40t tR 即 2 2f tt 2 2 f xxxR 实质上 配凑法也缊含换元的思想 只是不是首先换元 而 是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来 在 通过整体换元 和换元法一样 最后结果要注明定义域 四 消元法 此方法的实质是解函数方程组 消元法适用的范围是 题高条件中 有若干复合函数与原函 数混合运算 则要充分利用变量代换 然后联立方程组消去 f x 其余部分 例 5 设满足求的解析式 f x 1 2 f xfx x f x 分析 要求可消去 为此 可根据题中的条件再找 f x 1 f x 一个关于与的等式 通过解方程组达到消元的目的 f x 1 f x 解析 1 2 f xfx x 显然 将换成得0 x x 1 x 11 2 ff x xx 由 1 2 11 2 f xfx x ff x xx 消去 得 1 f x 12 33 f xx x 小结 消元法适用于自变量的对称规律 互为倒数 如 f x 1 f x 互为相反数 如 f x f x 通过对称代换构造一个对称方程组 解方程 组即得 f x 的解析式 五 赋值法 赋值法是依据题条件的结构特点 由特殊到一般寻找普遍规 律的方法 其方法 将适当变量取特殊值 使问题具体化 简单化 依 据结构特点 从而找出一般规律 求出解析式 例 5 已知求 0 1 21 ff abf abab f x 解析 令0 a 则 2 0 1 1fbfbbbb 令bx 则 2 1f xxx 小结 所给函数方程含有 2 个变量时 可对这 2 个变量交替用特 殊值代入 或使这 2 个变量相等代入 再用已知条件 可求出未知的函数 至于取什么特殊值 根据题目特征而定 通过取某些特殊值代入题设中 等式 可使问题具体化 简单化 从而顺利地找出规律 求出函数的解析 式 总之 求函数解析式的常用方法有 配凑法 换元法 待定系数法