极化恒等式在向量问题中的应用专题

精品文档 1欢迎下载 极化恒等式在向量问题中的应用专题极化恒等式在向量问题中的应用专题 阅读以下材料 阅读以下材料 两倍等于两条邻边平方和的 平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明 何模型 示向量加法和减法的几引例 平行四边形是表 bADaAB 证明 不妨设 则baDBbaA C 1 22 22 2 2CCbbaabaAA 2 22 22 2 2bbaabaDBDB 1 2 两式相加得 222222 22CADABbaDBA 结论 平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考思考 1 1 如果将上面 如果将上面 1 1 2 2 两式相减 能得到什么结论呢 两式相减 能得到什么结论呢 极化恒等式极化恒等式ba 22 4 1 baba 对于上述恒等式 用向量运算显然容易证明 那么基于上面的引例 你觉得极化恒等 式的几何意义是什么 几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 和对角线和对角线 与与 差对角线差对角线 平方差的平方差的 4 1 即 即 平行四边形模式 22 4 1 DBACba 思考 在图思考 在图 1 1 的三角形的三角形ABDABD中 中 M M为为BDBD的中点 的中点 此恒等式如何表示呢 此恒等式如何表示呢 因为 所以 三角形模式 AMAC2 22 4 1 DBAMba 例 1 2012 年浙江文 15 在中 是的中点 则ABC MBC3 10AMBC AB AC 解 解 因为是的中点 由极化恒等式得 MBC 9 16 22 4 1 BCAMACAB 100 4 1 小结 在运用极化恒等式的三角形模式时 关键在于取第三边的中点 找到三角形的中 线 再写出极化恒等式 M 图 1 A BCM 精品文档 2欢迎下载 目标检测目标检测 1 132012 的值为边上的动点 则是点 的边长为已知正方形改编北京文 DADEABE ABCD 解 取AB OO2 2 的取值范围是则 上的一个动点 是圆 点的圆内接于半径为 自编 已知正三角形例 PBPA PABC 的中点D 连结CD 因为三角形ABC为 正三角形 所以 O 为三角形ABC的重心 O 在CD上 且 所以 22 ODOC3 CD32 AB 也可用正弦定理求AB 又由极化恒等式得 3 4 1222 PDABPDPBPA 因为P在圆 O 上 所以当P在点C处时 3 max PD 当P在CO的延长线与圆 O 的交点处时 1 min PD 所以 6 2 PBPA 小结 涉及数量积的范围或最值时 可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量 再用 数形结合等方法求出单变量的范围 最值即可 目标检测目标检测 8 6 3 2 1 34 112010 22 DCBA FPOP P yx FO 的最大值为则为椭圆上的任意一点 的中心和左焦点 点分别为椭圆和点若点福建文 例 3 2013 浙江理 7 在中 是边上一定点 满足 且对于边ABC 0 PAB 0 1 4 P BAB 上任一点 恒有 则 ABP 00 PB PCP B PC A B 90ABC 90BAC C D ABAC ACBC 目标检测目标检测 2 2 2 2 1 0 2 92008 DCBA ccbca cba 的最大值是则 满足 若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理 精品文档 3欢迎下载 课后检测课后检测 1 1 在中 若 在线段上运动 ABC 60BAC 2AB 3BC DAC 的最小值DADB 为 2 2 已知是圆的直径 长为 2 是圆上异于的一点 是圆所在平面上ABOABCO A BPO 任意一点 则的最小值为 PAPBPC A B C D 1 4 1 3 1 2 1 3 3 在中 若是所在平面内一点 且ABC 3AB 4AC 60BAC PABC 则的最大值为 2AP PB PC 4 4 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点 点为双曲O 2 0 F 2 2 2 1 0 x ya a P 线右支上任意一点则的取值范围是 OP FP 5 5 在 已知点是内一点 则的最小Rt ABC 2ACBC PABC PBPAPC 值是 6 6 已知是单位圆上的两点 为圆心 且是圆的一条直径 BA OMNAOB o 120 O 点在圆内 且满足 则的取值范围是 C 10 1 OBOAOCCNCM A A B B C C D D 1 2 1 1 1 0 4 3 0 1 7 7 正边长等于 点在其外接圆上运动 则的取值范围是 ABC 3PPBAP A A B B C C D D 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 8 8 在锐角中 已知 则的取