知识点077--分式的基本性质(解答题)

三 解答题 共 34 小题 1 填写出未知的分子或分母 1 2 考点 分式的基本性质 分析 1 观察分母的变化 根据分式的基本性质 则分子分母应同乘以 x y 2 观察分子的变化 根据分式的基本性质 则分子分母是同除以 y 1 解答 解 根据分式的基本性质 则 1 分子分母应同乘以 x y 故分母 3x x y 3x2 3xy 2 分子分母是同除以 y 1 分母变为 y 1 点评 此类题应当首先观察已知的分子或分母的变化 再进一步根据分式的基本性质进行填空 分式的基本性质 分式的分子 分母同除以 或除以 一个不等于 0 的式子 分式的值不变 2 已知 求证 x y z 0 考点 分式的基本性质 专题 证明题 分析 设恒等式等于一个常数 求出 x y z 与这个常数的关系式 再进行证明 解答 解 设 k 则 x ka kb y kb kc z kc ka x y z ka kb kb kc kc ka 0 x y z 0 点评 设出恒等式等于一个常数 求出 x y z 与这个常数的关系式是解答本题的关键 3 1 你能利用分式的基本性质 使分式的分子不含 号吗 不能改变分式的值 试一试 做一做 然 后与同伴交流 2 不改变分式的值 使分式的分子和分母都不含 号 3 你能不改变分式的值 使分式中 a 和 x 的系数都为正数吗 考点 分式的基本性质 专题 阅读型 分析 根据分式的分子 分母和分式本身任意两处都乘以 1 分式的值不变解答 解答 解 1 能 2 3 点评 本题主要考查分式的分子 分母和分式本身三处的符号任意改变其中的两处 分式的值不变 熟练掌握这 一性质对今后的解题大有帮助 4 不改变分式的值 使下列分式的分子和分母都不含 号 1 2 3 考点 分式的基本性质 分析 根据分式的基本性质作答 分数值除以 1 分母除以 1 分子分母同时除以 1 解答 解 1 2 3 点评 解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质 5 1 2 3 4 考点 分式的基本性质 分析 根据分式的基本性质作答 1 同时 n 2 同时 4ac 3 同时 x 4 同时 x y 解答 解 1 bn n 2 3b 3 2x2 4 x y 点评 解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质 6 利用分式的基本性质不改变分式的值 把下列各式的分子 分母中各项的系数都变为整数 1 2 考点 分式的基本性质 分析 1 根据分式的基本性质 分子分母都乘以最小公倍数 12 分式的值不变 2 根据分式的基本性质 分子分母都乘以最小公倍数 50 分式的值不变 解答 解 1 原式 2 原式 点评 本题主要考查分式的基本性质的应用 分式的基本性质是分式约分和通分的依据 需要熟练掌握 7 根据分式的基本性质 对于分式 当分式的分子和分母都乘以 10 时 分式的值不变 但原分式可变形 为了 这样 分式的分子 分母中各项的系数都化为整数了 请你根据这个方法 把下列分式的分子 分母中各项的系数都化为整数 但不能改变分式的值 1 2 考点 分式的基本性质 分析 1 根据分式的基本性质 分子分母都乘以分母的最小公倍数 6 分式的值不变 2 根据分式的基本性质 分式的分子分母都乘以分母的最小公倍数 10 分式的值不变 解答 解 1 分子分母都乘以 6 得 2 分子分母都乘以 10 得 点评 本题主要考查分式的基本性质 分式的基本性质是约分和通分的依据 需要熟练掌握并灵活运用 8 已知 求分式的值 考点 分式的基本性质 分析 先将整理变形 转化为 再将分式化简 求出分式的值 解答 解 由整理变形 转化为 分式 故答案为 点评 解决本题的关键是将式子整理变形 对分式进行化简 9 若 求的值 3 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 将通分变形 转化为 x y 3xy 再把它整体代入原式约分求值 解答 解 x y 3xy 再把它整体代入原式 3 故答案为 3 点评 正确对已知的式子进行变形 用已知的式子把未知的式子表示出来 是代数式求值的一种基本思路 10 不改变分式的值 把分式中的分子 分母的各项系数化为整数 并使次数最高项的系数为正 数 考点 分式的基本性质 分析 由于要求分式的分子 分母的最高次项的系数为正数 而对分式本身的符号未做规定 所以根据分式的符 号法则使分式中分子 分母与分式本身改变两次符号就行了 所以 1 分子 分母同时变号 2 分母与分式本 身同时变号 解答 解 点评 本题运用了分式的基本性质 分子 分母的各项系数化为整数的方法是分子分母上同时乘以分母的公倍数 12 同时本题又考查了分子 分母 分式本身符号之间的关系 11 已知 3 求的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 由 3 得 y x 3xy 代入所求的式子化简即可 解答 解 3 y x 3xy 点评 运用整体代入法是解答本题的关键 12 已知 x2 4xy 4y2 0 那么分式的值等于多少 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 根据已知条件 x2 4xy 4y2 0 求出 x 与 y 的关系 再代入所求的分式中进行解答 解答 解 x2 4xy 4y2 0 x 2y 2 0 x 2y 故分式的值等于 点评 根据已知条件 x2 4xy 4y2 0 求出 x 与 y 的关系是解答本题的关键 13 已知 求的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 可以设 k 则 x 3k y 4k z 5k 把这三个式子代入所要求的式子 进行化简就可以求出式子的 值 解答 解 设 k k 0 则 x 3k y 4k z 5k 点评 利用这个题目中的设法 把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题 是解题的关键 14 已知分式的值是 a 如果用 m n 的相反数代入这个分式所得的值是 b 问 a 与 b 的关系是否能确定 若能确定 求出它们的关系 若不能确定 请说明理由 考点 分式的基本性质 分析 把分式中的 m n 分别换成 m n 化简后比较即可 解答 解 互为相反数 b a b 0 ab 互为相反数 答 a 与 b 的关系能确定 它们互为相反数 点评 本题只要把分式中的 m n 换成它们的相反数化简整理即可 15 阅读下列解题过程 然后解题 题目 已知 a b c 互不相等 求 x y z 的值 解 设 则 x k a b y k b c z k c a x y z k a b b c c a k 0 0 x y z 0 依照上述方法解答下列问题 已知 其中 x y z 0 求的值 考点 分式的基本性质 专题 阅读型 分析 根据提示 先设比值为 k 再利用等式列出三元一次方程组 即可求出 k 的值是 2 然后把 x y 2z 代入所 求代数式 解答 解 设 k 则 1 2 3 得 2x 2y 2z k x y z x y z 0 k 2 原式 点评 本题主要考查分式的基本性质 重点是设 k 法 16 已知 求代数式的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 设 t 则 x y z 可以用同一个字母来表示 然后将其代入代数式 然后将代数式化 简即可 解答 解 设 t 则 x 2t y 3t z 4t 将 代入代数式 得 所以 代数式的值是 点评 本题体现了转化思想 将未知数 x y z 转化为含有相同字母的量 然后代入所求代数式 只要将代数式 化简即可 17 不改变分式本身的符号和分式的值 使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同 1 2 考点 分式的基本性质 分析 1 根据分式的性质把第二个分式的分母提取一负号即可 2 根据分式的性质把第二个分式的分母提取一负号即可 解答 解 1 2 点评 本题考查了分式的基本性质 分式的分子 分母及本身的符号 任意改变其中的两个 分式的值不变 若 只改变其中的一个 分式的值会改变的 18 已知 a b c d 都不等于 0 并且 根据分式的基本性质 等式的基本性质及运算法则 探究下面各组 中的两个分式之间有什么关系 然后选择其中一组进行具体说明 1 和 2 和 3 和 a b c d 提示 可以先用具体数字试验 再对发现的规律进行证明 考点 分式的基本性质 等式的性质 专题 计算题 分析 先利用具体的数计算 然后发现各组中的两个分式相等 再对 2 进行证明 等式两边加上 1 通分即 可 解答 解 例如 取 a 1 b 2 c 3 d 6 有 则 1 2 3 观察发现各组中的两个分式相等 现选择第 2 组进行说明证明 已知 a b c d 都不等于 0 并且 所以有 所以有 点评 本题考查了分式的基本性质 分式的分子分母都乘以 或除以 一个不为 0 数 或式 分式的值不变 也 考查了等式的基本性质 19 不改变分式的值 把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数 1 2 考点 分式的基本性质 分析 1 要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数 同时不改变分式的值 可将分式的分子和分母同乘以 一个相同的数 观察该题 可同乘以 2 3 4 的最小公倍数 12 即可 2 要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数 同时不改变分式的值 可将分式的分子和分母同乘以一个相 同的数 观察该题 可同乘以 10 即可 解答 解 1 原式 2 原式 点评 本题考查了分式的基本性质 分式的分子与分母同乘 或除以 一个不等于 0 的整式 分式的值不变 20 材料一 19 世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的 一个人就好像一个分数 他的实际才能好比分 子 而他对自己的估计好比分母 分母越大 则分数的值越小 材料二 一天小聪向班长反映一个问题 成绩不好的张凯同学失学了 班长说 唉 分母变小了 分数值增大了 请你针对上述两个材料就 分子与分母 这个话题 结合你身边的实例 谈谈你对分母变大 分数值变小的理解 考点 分式的基本性质 专题 开放型 分析 根据分子不变 分母越大 则分数的值越小对两个材料中 分子与分母 这个话题进行理解 解答 解 材料一 一个人实际才能为 n 自己对自己才能的估计为 m 因为 n 为固定值 他自己对自己的估计越 大 那么这个分数得出的数值就越小 在分子不变的情况下 分母越大 分数值越小 人越高估自己 就是越自 负 即使才能再高 也会因为分母大而使自己的总体分数下降 简单的说就是人不要把自己的能力估得太高 一个人对自己的估计越高 就越容易产生自满的心理 就越不容易 取得进步 做出成绩 材料二 人数变少了 减少了得分中较小的数字 但平均分增大了 点评 本题考查了分式的基本性质在实际生活中的应用 趣味性较强 但难度不大 21 如果把分式中的 a b 都扩大 2 倍 那么分式的值 扩大 2 倍 考点 分式的基本性质 分析 根据要求对分式变形 然后根据分式的基本性质进行约分 观察分式的前后变化 解答 解 如果把分式中的 a b 都扩大 2 倍 则 则原分式的值扩大了 2 倍 故答案为扩大 2 倍 点评 此题考查了分式的基本性质 22 已知 a 5 求的值 考点 分式的基本性质 专题 常规题型 分析 把已知条件两边同时乘方 再根据完全平方公式展开 求出 a2 的值 然后根据分式的基本性质 分子 分母都除以 a2 整体代入进行计算即可求解 解答 解 a 5 a 2 25 即 a2 2 25 a2 23 a2 1 23 1 24 故答案为 24 点评 本题考查了分式的基本性质以及完全平方公式 整体思想的利用是解题的关键 23 2009 定西 附加题 若 a b 试不用将分数化小数的方法比较 a b 的大小 观察 a b 的特 征 以及你比较大小的过程 直接写出你发现的一个一般结论 考点 分式的基本性质 有理数大小比较 专题 压轴题 分类讨论 分析 本题中观察 a b 可得出的结论是一个分式 如果分式的分子和分母都加 1 后 得到的新的分式比原来的分 式大 进而我们可推断出如果分式的分子和分母都加一个任意的正数后 得到的新的分式比原来的大 解答 解 若 m n 是任意正整数 且 m n 则 若 m n 是任意正实数 且 m n 则 若 m n r 是任意正整数 且 m n 或 m n 是任意正整数 r 是任意正实数 且 m n 则 若 m n 是任意正实数 r 是任意正整数 且 m n 或 m n r 是任意正实数 且 m n 则 点评 本题主要考查了分式的基本性质以及有理数的大小的比较 24 2008 恩施州 请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式 并化简该分式 x2 4xy 4y2 x2 4y2 x 2y 考点 分式的基本性质 专题 开放型 分析 根据分式的定义和概念进行作答 解答 解 4 分 6 分 8 分 点评 本题是一道开放型题目 但所求的结果一定要符合题目的限制条件 25 已知 2 求的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 根据已知条件求出 a b 与 ab 的关系 再代入所求的分式进行求值 解答 解 2 b a 2ab 故 a b 2ab 5 点评 根据已知条件求出 a b 与 ab 的关系 再进行整体代入是解答本题的关键 26 已知 求分式的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 由已知可知 x y 3xy 然后代入所求的式子 进行约分就可求出结果 解答 解 y x 3xy x y 3xy 点评 正确对已知式子进行化简 约分 正确进行变形是关键 27 问题探索 1 已知一个正分数 m n 0 如果分子 分母同时增加 1 分数的值是增大还是减小 请证明你的结论 2 若正分数 m n 0 中分子和分母同时增加 2 3 k 整数 k 0 情况如何 3 请你用上面的结论解释下面的问题 建筑学规定 民用住宅窗户面积必须小于地板面积 但按采光标准 窗户面积与地板面积的比应不小于 10 并 且这个比值越大 住宅的采光条件越好 问同时增加相等的窗户面积和地板面积 住宅的采光条件是变好还是变 坏 请说明理由 考点 分式的基本性质 分式的化简求值 专题 阅读型 分析 1 使用作差法 对两个分式求差 有 由差的符号来判断两个分式的大小 2 由 1 的结论 将 1 换为 k 易得答案 3 由 2 的结论 可得一个真分数 分子分母增大相同的数 则这个分数整体增大 结合实际情况判断 可 得结论 解答 解 1 m n 0 证明 又 m n 0 0 2 根据 1 的方法 将 1 换为 k 有 m n 0 k 0 3 设原来的地板面积和窗户面积分别为 x y 增加面积为 a 由 2 的结论 可得一个真分数 分子分母增大相同的数 则这个分数整体增大 则可得 所以住宅的采光条件变好了 点评 本题考查分式的性质与运算 涉及分式比较大小的方法 做差法 并要求学生对得到的结论灵活运用 28 已知 3 求分式的值 提示 分式的分子与分母同除以 a b 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 根据分式的基本性质 分式的分子分母都除以 ab 分式的值不变 再把换成 3 计算即可 解答 解 分式的分子分母都除以 ab 得 3 3 所以原式 点评 本题利用分式的基本性质 分子分母都除以 ab 巧妙运用已知条件是解本题的关键 也是解本题的突破 口 29 已知 求和的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 首先求得 a 2b c 2d 然后代入计算 解答 解 a 2b c 2d 点评 本题的关键是求得 a b 的关系 30 已知 y 3xy x 求代数式的值 考点 分式的基本性质 专题 计算题 分析 根据已知条件 y 3xy x 求出 x y 与 xy 的关系 再将所求分式的分子 分母整理成 x y 与 xy 和的形式 进 行整体代入求解 解答 解 因为 y 3xy x 所以 x y 3xy 当 x y 3xy 时 点评 运用整体代入法时解答本题的关键 本题首先根据已知条件得到 x y 3xy 再把要求的代数式化简成含有 x y 的式子 然后整体代入 使代数式中只含有 xy 约分后得解 31 根据分式的基本性质 对于分式 当分式的分子和分母都乘以 10 时 分式的值不变 但原分式可变 形为了 这样 分式的分子 分母中各项的系数都化为整数了 请你根据这个方法 把下列分式的分子 分母中各项的系数都化为整数 但不能改变分式的值 1 2 考点 分式的基本性质 分析 1 根据分式的基本性质 分子分母都乘以分母的最小公倍数 6 分式的值不变 2 根据分式的基本性质 分式的分子分母都乘以分母的最小公倍数 10 分式的值不变 解答 解 1 分子分母都乘