解方程的十五种技巧

精品文档 1欢迎下载 解方程 组 的十五种技巧解方程 组 的十五种技巧 王永会 在数学竞赛中 常遇到一些特殊形式的方程 它们结构巧妙而富有规律性 解题时应 仔细的观察题目的特点 联想一些解题方法和技巧 寻找简捷的解法 一 利用裂项一 利用裂项 例例 1 1 解方程 分析 若把每项展开求解 将会带来繁杂的运算 但是我们仔细观察发现 左边两底 数之和正好等于右边底数 因此可用拆项的方法求解 解 原方程可化为 由于 故有 解得 二 利用方差公式二 利用方差公式 例例 2 2 解方程 分析 方程含有四个无理数 平方是不可能的 因此我们可以用方差 的性质 当 S 0 时 解 因为 所以 所以解得 经检验是方程 的解 三 利用放缩性三 利用放缩性 例例 3 3 解方程 解 显然是方程的一个解 精品文档 2欢迎下载 当时 左边 右边 这时方程无实根 因此方程的根为 x 0 四 利用对称性四 利用对称性 例例 4 4 解方程 分析 观察特点 发现方程中各项系数关于中间项对称 解 由方程可知 则原方程变化为 即 所以 由得 解得 由得 解得 所以原方程的解为 五 三角函数法五 三角函数法 例例 5 5 解方程 解 设 则两式相减 得 所以 解得 精品文档 3欢迎下载 所以 即 解这个方程 得 经检验都是方程的解 六 配方法六 配方法 例例 6 6 解方程 解 原方程可变为 配方得 再利用非负性得 从而求出 七 构造法七 构造法 例例 7 7 解方程 解 由题意知 由原方程得 因为 得 得 解这个方程得 经检验是方程的解 精品文档 4欢迎下载 八 利用判别式八 利用判别式 例例 8 8 求方程的实数解 解 视 y 为常数 整理成关于 x 的一元二次方程 因为 x y 为实数 所以 则只有解得 将代入原方程整理得 得 故原方程的实数解是 说明 解二次方程时 若未知数的个数多余方程的个数时 常用此法 九 利用韦达定理九 利用韦达定理 例例 9 9 解方程 解 原方程可变形为 又 由两式及韦达定理可知是方程的两根 解得 所以或分别解得 经检验它们都是方程的根 十 换元法十 换元法 例例 10 10 解方程 解 原方程等价于 设 将代入得 精品文档 5欢迎下载 解得 舍去 则 解得 十一 增元法十一 增元法 例例 11 11 解方程 解 设 则 所以 2 整理得 解得 或 所以或 解第一个方程组无解 第二方程组的解为 经检验它们 都是方程的根 十二 倒数代换法十二 倒数代换法 例例 12 12 解方程 解 设 则 两式相减 得 所以 解这个方程 得 所以或 解第一个方程得 第二个方程无实数根 所以原方程的根是 精品文档 6欢迎下载 十三 利用轮换式性质十三 利用轮换式性质 例例 13 13 解方程组 分析 此式是轮换式 所以解必然相等 解 则有 所以 解得 则有 经检验知方程组的解为 十四 引入参数法十四 引入参数法 例例 14 14 解方程组 解 原方程组可变为 令 那么有 解得 精品文档 7欢迎下载 所以 即 由得 经检验知方程组的解为 十五 利用取倒数十五 利用取倒数 例例 15 15 解方程组 解 对方程两边取倒数得 由 得 得 得 得 经检验方程组的解为 精品文档 8欢