讲函数可积条件

精品文档 1欢迎下载 第第 2323 讲讲 可积条件及可积函数类可积条件及可积函数类 授课题目授课题目可积条件及可积函数类 教学内容教学内容1 函数可积的必要条件 2 函数可积的第一 二充要条件 3 可积函数类 最基本三种 4 黎曼 Rieman 函数的可积性 教学目的教学目的 和要求和要求 通过本次课的教学 使学生能理解函数可积的必要条件 函数可积的第一 二充要条件 学会证明连续函数 只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性问题 了解黎曼 Rieman 函数的可积性的证明方法 教学重点教学重点 及难点及难点 教学重点 函数可积的第一 二充要条件 可积函数类 三种 教学难点 函数可积的第一 二充要条件 教学方法教学方法 及教材处及教材处 理提示理提示 1 理解定积分的第一 二充要条件是本节的重点 2 通过证明连续函数 只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性 强化学生对积分 第一 二充要条件的理解和掌握 3 关于黎曼 Rieman 函数的可积性的证明只作出一些提示 要求较好学生能理解 在习 题课种再讨论 作业布置作业布置 作业内容 教材 1 2 3 4 212 P 讲授内容讲授内容 一 可积的必要条件一 可积的必要条件 定理定理 9 9 2 2 若函数在上可积 则在上必定有界 f ba f ba 证 证 用反证法 若在上无界 则对于的任一分割 必存在属于的某个小区间f ba ba TT 上无界 在各个小区间上任意取定 并记 kk xfx 在 ki i i i ki i xfG 现对任意大的正数 由于在上无界 故存在 使得Mf k kk k k x GM f 于是有 MGx x GM k k i ki ikki n i i xfxfxf 1 由此可见 对于无论多小的 按上述方法选取点集时 总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的T i 正数 这与在上可积相矛盾 f ba 例例 1 1 有界函数不一定可积 证明狄利克雷函数 在上有界但不可积 x x xD 0 1 为无理数 为有理数 10 证 证 显然 对于的任一分割 由有理数和无理数在实数中的稠密性 在属于 1 0 1 xxD 10 T 精品文档 2欢迎下载 的任一小区间上 当取全为有理数时 当取全为无理数时 T i i 1 11 n i ii n i i xxD i 所以不论多么小 只要点集取法不同 全取有理数或全取无理数 积分和有不 0 1 i n i i xD T i 同极限 即在上不可积 由此可见 有界是可积的必要条件 以后讨论函数的可积性时 总是假 xD 10 设函数是有界的 二 可积的充要条件二 可积的充要条件 要判断一个函数是否可积 固然可以根据定义 直接考察积分和是否能无限接近某一常数 但由于积 分和的复杂性和那个常数不易预知 因此这是极其困难的 下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有 关 而不涉及定积分的值 设为对的任一分割 由在上有界 它在每个上存在上 下确界 niT i 2 1 ba f ba i 作和分别称为关于分割 2 1 inf supnixfmxfM i i x i x i 11 i n i n i iii xmTsxMTS f 的上和上和与下和下和 或称达布上和达布上和与达布下和达布下和 统称达布和达布和 任给 显然有T 2 1 ni ii 与积分和相比较 达布和只与分割有关 而与点集无关 通过讨论上 1 n i ii TSxfTs T i 和与下和当时的极限来揭示在上是否可积 所以 可积性理论总是从讨论上和与下和的性0 Tf ba 质入手的 定理定理 9 9 3 3 可积准则 函数在上可积的充要条件是 任给 总存在相应的一个分割 f ba 0 T 使得 TsTS 设称为在上的振幅 有必要时也记为 由于 iii mM f i f i S 或记为 因此可积准则又可改述如下 Ts n i i 1 i x i T i x 定理定理 函数在上可积的充要条件是 任给 总存 3 9 f ba 0 在相应的某一分割 使得 T i T i x 几何意义是 若在上可积 则包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小 只f ba y xf 要分割充分地细 反之亦然 三 可积函数类三 可积函数类 根据可积的充要条件 我们证明下面一些类型的函数是可积的 即可积的充分条件 精品文档 3欢迎下载 定理定理 9 9 4 4 若为上的连续函数 则在上可积 f ba f ba 证 证 由于在闭区间上连续 因此在上一致连续 这就是说 任给 存在0 对f ba ba 0 中任意两点 只要 便有所以只要对所作的分割 ba x x xx ab xfxf ba 满足 在丁所属的任一小区间上 就能使的振幅满足T T i f ab xfxfmM iii sup 从而导致 由定理 证得在上可积 T ii T i x ab x 3 9 f ba 定理定理 9 9 5 5 若是区间上只有有限个间断点的有界函数 则在上可积 f ba f ba 证 证 不失一般性 这里只证明在上仅有一个间断点的情形 并设该间断点即为端点 f ba b 任给 取 满足 且 其中与分别为在上的上0 mM 2 0 ab Mmf ba 确界与下确界 设 否则为常量函数 显然可积 记在小区间上的振幅为 Mm ff bb 则 因为在上连续 由定理 9 4 知在上可 22 mM mMf ba f ba 积 再由定理 9 3 必要性 存在对的某个分割 使得 ba 121 n T 2 i T i x 令 则 是对的一个分割 对于 有 n nn T 121 ba T 22 i T ii T i xx 根据定理 9 3 充分性 证得在上可积 f ba 定理定理 9 69 6 若是上的单调函数 则在上可积 f ba f ba 证 证 设为增函数 且 则为常量函数 显然可积 对的任一分f bfafbfaf 若f ba 割 由的增性 在所属的每个小区间上的振幅为TffT i 1 iii xfxf 于是有 Txfxfx n i iii T i 1 1 Tafbf 精品文档 4欢迎下载 由此可见 任给 只要这时就有 所以在上可积 0 afbf T i T i xf ba 注意 注意 单调函数即使有无限多个间断点 仍不失其可积性 例例 2 2 试用两种方法证明函数 2 1 1 1 1 1 0 0 n n x nn x xf 在区间上可积 1 0 证 证 证法一 由于是一增函数 虽然它在上有无限多个间断f 1 0 点 但由定理 9 5 仍保证它在上可积 3 2 1 n n xn 1 0 证法二 仅利用定理 9 3 和定理 9 5 任给 由于0 因此当充分大时 这说明在上只有有限0 1 lim n n n 2 1 n f 1 2 个间断点 利用定理 9 5 和定理 9 3 推知在上可积 且存在对的某一分割 T 使得f 1 2 1 2 2 i T i x 在把小区间与合并 成为对的一个分割 由于在上的振幅 因此得到 2 0 T 1 0Tf 2 0 1 0 所以在上可积 222 0i T ii T i xxf 1 0 例例 3 3 证明黎曼函数 内的无理数以及 互素 1 01 0 0 1 x pqqp q p x q xf 在区间上可积 且 1 0 0 1 0 dxxf 分析 已知黎曼函数在 以及一切无理点处连续 而10 xx 在内的一切有理点处间断 证明它在上可积的直观构思如下 1 0 1 0 在黎曼函数的图象中画一条水平直线 在此直线上方只有函数图象中有限个点 这些点所对应的自变 2