行列式的计算技巧总结

精品文档 1欢迎下载 行列式的若干计算技巧与方法 目目 录录 摘要 1 关键字 1 1 行列式的概念及性质 2 1 1 阶行列式的定义 2n 1 2 行列式的性质 2 2 行列式计算的几种常见技巧和方法 4 2 1 定义法 4 2 2 利用行列式的性质 5 2 3 降阶法 7 2 4 升阶法 加边法 9 2 5 数学归纳法 11 2 6 递推法 12 3 行列式计算的几种特殊技巧和方法 14 3 1 拆行 列 法 14 3 2 构造法 17 3 3 特征值法 18 4 几类特殊行列式的计算技巧和方法 19 4 1 三角形行列式 19 4 2 爪 字型行列式 19 4 3 么 字型行列式 21 4 4 两线 型行列式 22 精品文档 2欢迎下载 4 5 三对角 型行列式 23 4 6 范德蒙德行列式 25 5 行列式的计算方法的综合运用 26 5 1 降阶法和递推法 27 5 2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 27 5 3 构造法和套用范德蒙德行列式 28 小结 29 参考文献 30 学习体会与建议 31 精品文档 1欢迎下载 摘要 摘要 行列式是高等代数的一个基本概念 求解行列式是在高等代数的学 习中遇到的基本问题 每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法 本文 主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法 如 化三角形法 降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及 Vandermonde 行列式 两线型 行列式和 爪 字型行列式等多种特殊行列式 并对相应例题进行 了分析和归纳 总结了与每种方法相适应的行列式的特征 关键词 关键词 行列式 计算方法 1 1 行列式的概念及性质 行列式的概念及性质 1 11 1 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义 我们知道 二 三阶行列式的定义如下 2221 1211 aa aa 21122211 aaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 从二 三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义 设有个数 排成行列的数表 2 nnn nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 即 n 阶行列式 这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的 乘积 精品文档 2欢迎下载 n21 njj2j1 aaa 的代数和 这里是的一个排列 每一项 都按下列 n 21 jjj n 21 规则带有符号 当是偶排列时 带正号 当是奇 n 21 jjj n 21 jjj 排列时 带负号 即 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n21 n21 n21 njj2j1 jjj jjj 1aaa 这里表示对所有级排列求和 n21 jjj n 1 21 2 行列式的性质行列式的性质 性质性质 1 1 行列互换 行列式不变 即 nn aaa aaa aaa aaa aaa aaa n2n1 n22212 n12111 nnn2n1 2n2221 1n1211 性质性质 2 2 一个数乘行列式的一行 或列 等于用这个数乘此行 列式 即 k nnn2n1 ini2i1 n11211 kkk aaa aaa aaa nn aaa aaa aaa n2n1 ini2i1 n11211 性质性质 3 3 如果行列式的某一行 或列 是两组数的和 那么该行 精品文档 3欢迎下载 列式就等于两个行列式的和 且这两个行列式除去该行 或列 以外 的各行 或列 全与原来行列式的对应的行 或列 一样 即 111211112111121 11221212 121212 nnn nnnn nnnnnnnnnnnn aaaaaaaaa bcbcbcbbbccc aaaaaaaaa 性质性质 4 4 如果行列式中有两行 或列 对应元素相同或成比例 那么行列式为零 即 0 k aaa kakaka aaa aaa nnnn inii inii n 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 性质性质 5 5 把一行的倍数加到另一行 行列式不变 即 nnnn knkk kninkiki n aaa aaa caacaacaa aaa 21 21 2211 11211 nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 性质性质 6 6 对换行列式中两行的位置 行列式反号 即 精品文档 4欢迎下载 nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn inii knkk n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 性质性质 7 7 行列式一行 或列 元素全为零 则行列式为零 即 00000 nn1 nn n2n1 n11 n 11211 aaaa aaaa 2 2 行列式的几种常见计算技巧和方法 行列式的几种常见计算技巧和方法 2 12 1 定义法定义法 适用于任何类型行列式的计算 但当阶数较多 数字较大时 计 算量大 有一定的局限性 例例 1 1 计算行列式 0004 0030 0200 1000 解析 这是一个四级行列式 在展开式中应该有项 但由244 于出现很多的零 所以不等于零的项数就大大减少 具体的说 展开 式中的项的一般形式是 显然 如果 那么 4321 4321jjjj aaaa4 1 j 精品文档 5欢迎下载 从而这个项就等于零 因此只须考虑的项 同理只须0 1 1 j a4 1 j 考虑的这些项 这就是说 行列式中不为零的项只1 2 3 432 jjj 有 而 所以此项取正号 故 41322314 aaaa 64321 0004 0030 0200 1000 241 41322314 4321 aaaa 2 22 2 利用行列式的性质利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 该 方法适用于低阶行列式 2 2 12 2 1 化三角形法化三角形法 上 下三角形行列式的形式及其值分别如下 nnn n n aaa a aa aaa aaaa 2211 nn 333 22322 1131211 000 00 0 nn nnnnn aaa aaaa aaa aa a 2211 321 333231 2221 11 0 00 000 例例 2 2 计算行列式 nn n n baaa aaba aaa 21 211 21 1n 1 1 1 D 解析 观察行列式的特点 主对角线下方的元素与第一行元素对 精品文档 6欢迎下载 应相同 故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元 1 素全部变为零 即 化为上三角形 解 将该行列式第一行的倍分别加到第 2 3 行上 1 1n 去 可得 12 1 n 11 2 1 0000 D 000 n n n aaa b bbb b 2 2 22 2 2 连加法连加法 这类行列式的特征是行列式某行 或列 加上其余各行 或列 后 使该行 或列 元素均相等或出现较多零 从而简化行列式的计 算 这类计算行列式的方法称为连加法 例例 3 3 计算行列式 mxxx xmxx xxmx D n n n n 21 21 21 解 mxxmx xmxmx xxmx n n i i n n i i n n i i 2 1 2 1 2 1 n D mxx xmx xx mx n n n n i i 2 2 2 1 1 1 1 精品文档 7欢迎下载 m m xx mx n n i i 00 00 1 2 1 mxm n i i n 1 1 2 2 32 2 3 滚动消去法滚动消去法 当行列式每两行的值比较接近时 可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍 这种方法叫滚动消去法 例例 4 4 计算行列式 2 1221 23123 12212 1321 Dn n nnn nn nn nn 解 从最后一行开始每行减去上一行 有 11111 11111 11111 1321 Dn nn 11111 20022 20002 1321 nn 01111 00011 00001 11321 2 2 nn n 2 1 211 n n n 2 2 42 2 4 逐行相加减逐行相加减 对于有些行列式 虽然前行的和全相同 但却为零 用连加法n 明显不行 这是我们可以尝试用逐行相加减的方法 精品文档 8欢迎下载 例例 5 5 计算行列式 11111 000 0000 000 000 D 3 22 11 nn aa a aa aa 解 将第一列加到第二列 新的第二列加到第三列 以此类推 得 1321 0000 0000 0000 0000 D 3 2 1 nn a a a a n nn n aaanaaan 21 n 21 n22 11111 2 32 3 降阶法降阶法 将高阶行列式化为低阶行列式再求解 2 3 12 3 1 按某一行 或列 展开按某一行 或列 展开 例例 6 6 解行列式 1221 n 1000 0000 0010 0001 D aaaaa x x x x nnn 解 按最后一行展开 得 nn nn n axaxaxaD 1 2 2 1 1 2 3 22 3 2 按拉普拉斯公式展开按拉普拉斯公式展开 拉普拉斯定理如下 设在行列式 D 中任意选定了个 1 nk1k 精品文档 9欢迎下载 行 由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积 的和等于行列式 D 即 其中是子式对应的代数余子 nn2211 AMAMAMD i A i M 式 即 nnnn nnnn nn BA BC A 0 nnnn nn nnnn BA B CA 0 例例 7 7 解行列式 b b b aaaa n D 解 从第三行开始 每行都减去上一行 再从第三列开始 每列都加 到第二列 得 0000 000Dn b aaaa 0000 0000 2 1 nb aaaan 精品文档 10欢迎下载 00 00 2 1 nb an 2 1n2 n abn 2 42 4 升阶法升阶法 就是把 n 阶行列式增加一行一列变成 n 1 阶行列式 再通过性质 化简算出结果 这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法 升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子 那么升阶之后 就可以 利用行列式的性质把绝大多数元素化为 0 这样就达到简化计算的效 果 其中 添加行与列的方式一般有五种 首行首列 首行末列 末 行首列 末行末列以及一般行列的位置 例例 8 8 解行列式 D 01111 10111 11011 11101 11110 解 使行列式 D 变成阶行列式 即1 n 01110 10110 11010 11100 11111 D 再将第一行的倍加到其他各行 得 1 精品文档 11欢迎下载 D 10001 01001 00101 00011 11111 从第二列开始 每列乘以加到第一列 得 1 10000 01000 00100 00010 1111 1n D 1n1 1n 2 52 5 数学归纳法数学归纳法 有些行列式 可通过计算低阶行列式的值发现其规律 然后提出 假设 再利用数学归纳法去证明 对于高阶行列式的证明问题 数学 归纳法是常用的方法 例例 9 9 计算行列式 cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos n D 解 用数学归纳法证明 当时 1 n cos 1 D 精品文档 12欢迎下载 当 时 2 n 2cos1cos2 cos21 1cos 2 2 D 猜想 nDncos 由上可知 当 时 结论成立 1 n2 n 假设当时 结论成立 即 现证当时 结kn kDkcos 1 kn 论也成立 当时 1 kn cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos 1 k D 将按最后一行展开 得 1 k D cos2000 0cos210 01cos21 001cos cos21D 11 1k kk 1000 0cos210 01cos21 001cos 1 1 kk 1 cos2 kk DD 因为 kDkcos 精品文档 13欢迎下载 sinsincoscoscos1cos 1 kkkkDk 所以 1 k D 1 cos2 kk DD sinsincoscoscoscos2kkk sinsincoscoskk 1cos k 这就证明了当时也成立 从而由数学归纳法可知 对一切的1 kn 自然数 结论都成立 即 nDncos 2 62 6 递推法递推法 技巧分析 若阶行列式满足关系式nD 0 21 nnn cDbDaD 则作特征方程 0 2 cbxax 若 则特征方程有两个不等根 则 0 1 2 1 1 nn n BxAxD 若 则特征方程有重根 则 0 21 xx 1 1 n n xnBAD 在 中 A B 均为待定系数 可令求出 2 1 nn 精品文档 14欢迎下载 例例 1010 计算行列式 9400000 5940000 0005940 0000594 0000059 Dn 解 按第一列展开 得 21 209 nnn DDD 即 0209 21 nnn DDD 作特征方程 0209 2 xx 解得 5 4 21 xx 则 11 54 nn n BAD 当时 1 nBA 9 当时 2 nBA5461 解得 25 16 BA 所以 11 45 nn n D 精品文档 15欢迎下载 3 3 行列式的几种特殊计算技巧和方法 行列式的几种特殊计算技巧和方法 3 13 1 拆行 列 法拆行 列 法 3 1 13 1 1 概念及计算方法概念及计算方法 拆行 列 法 或称分裂行列式法 就是将所给的行列式拆成 两个或若干个行列式之和 然后再求行列式的值 拆行 列 法有两 种情况 一是行列式中有某行 列 是两项之和 可直接利用性质拆 项 二是所给行列式中行 列 没有两项之和 这时需保持行列式之 值不变 使其化为两项和 3 1 23 1 2 例题解析例题解析 例例 1111 计算行列式 n nn n a aa a aa aa 11000 1000 00110 0011 0001 D 1 3 32 21 解 把第一列的元素看成两项的和进行拆列 得 n nn n a aa a aa aa 110000 10000 001100 00101 0001 D 1 3 32 21 精品文档 16欢迎下载 11000 1000 00110 0010 000 11000 1000 00110 0011 0001 1 3 32 21 1 3 32 2 n nn n nn a aa a aa aa a aa a aa a 上面第一个行列式的值为 1 所以 n nn n a aa a aa a 1100 100 001 001 1D 1 3 32 1 11 1 n Da 这个式子在对于任何都成立 因此有 2 nn 11 1 nn DaD n n n aaaaaaDaa 21 1 211221 1111 i j j i i a 1 n 1 11 精品文档 17欢迎下载 3 23 2 构造法构造法 3 2 13 2 1 概念及计算方法概念及计算方法 有些行列式通过直接求解比较麻烦 这时可同时构造一个容易求 解的行列式 从而求出原行列式的值 3 2 2 例题解析 例例 1212 求行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 解 虽然不是范德蒙德行列式 但可以考虑构造阶的范德蒙 n D1 n 德行列式来间接求出的值 n D 构造阶的范德蒙德行列式 得1 n nn n nn nn n nn nn n nn n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xf 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 将按第列展开 得 xf1 n n nn n nnnn xAxAxAAxf 1 1 1 1 1 21 1 其中 的系数为 1 n x 精品文档 18欢迎下载 nn nn nn DDA 1 1 1 又根据范德蒙德行列式的结果知 nij jin xxxxxxxxxf 1 21 由上式可求得的系数为 1 n x nij jin xxxxx 1 21 故有 nij jinn xxxxxD 1 21 3 33 3 特征值法特征值法 3 3 13 3 1 概念及计算方法概念及计算方法 设是级矩阵的全部特征值 则有公式 n 21 nA n A 21 故只要能求出矩阵的全部特征值 那么就可以计算出的行列AA 式 3 3 23 3 2 例题解析例题解析 例例 1313 若是级矩阵的全部特征值 证明 可逆当且 n 21 nAA 仅当它的特征值全不为零 证明 因为 则 n A 21 可逆 A ni in 2 1000A 21 即 可逆当且仅当它的特征值全不为零 A 精品文档 19欢迎下载 4 4 几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4 14 1 三角形行列式三角形行列式 4 1 14 1 1 概念概念 形如 这样的行列式 nn n n n a aa aaa aaaa 333 22322 1131211 nnnnn aaaa aaa aa a 321 333231 2221 11 形状像个三角形 故称为 三角形 行列式 4 1 24 1 2 计算方法计算方法 由行列式的定义可知 nn nn n n n aaa a aa aaa aaaa 2211333 22322 1131211 000 00 0 nn nnnnn aaa aaaa aaa aa a 2211 321 333231 2221 11 0 00 000 4 24 2 爪爪 字型行列式字型行列式 4 2 14 2 1 概念概念 精品文档 20欢迎下载 形如 nn n ac ac ac bbba 22 11 210 nn n ca ca ca abbb 22 11 012 这样的行列式 形状像个 n nn bbba ac ac ac 210 11 22 012 11 22 abbb ca ca ca n nn 爪 字 故称它们为 爪 字型行列式 4 2 24 2 2 计算方法计算方法 利用对角线消去行列式中的 横线 或 竖线 均可把行列式 化成 三角形 行列式 此方法可归纳为 爪 字对角消竖横 4 2 34 2 3 例题解析例题解析 例例 1414 计算行列式 其中 n a a a a 1 1 1 111 3 2 1 2 1 0niai 分析 这是一个典型的 爪 字型行列式 计算时可将行列式的第 列元素乘以后都加到第一列上 原行列式可化为 3 2 nii i a 1 三角形行列式 精品文档 21欢迎下载 解 n a a a a 1 1 1 111 3 2 1 n n i i a a a a a 0 0 0 111 1 3 2 2 1 n i i n a aaaa 2 132 1 4 34 3 么么 字型行列式字型行列式 4 3 14 3 1 概念概念 形如 n nn bbba ac ac ac 210 11 22 nn n ab c ab cab ca 22 211 10 nn n ca ca ca abbb 22 11 012 01 112 22 ac bac ba c ba n nn 10 211 22 ca cab ab c ab n nn nn n ac ac ac bbba 22 11 210 012 11 22 abbb ca ca ca n nn 精品文档 22欢迎下载 这样的行列式 形状像个 么 字 因此常称它 nn n ba bc ba bac ac 1 22 112 01 们为 么 字型行列式 4 3 24 3 2 计算方法计算方法 利用 么 字的一个撇消去另一个撇 就可以把行列式化为三角 形行列式 此方法可以归纳为 么 字两撇相互消 注意 消第一撇的方向是沿着 么 的方向 从后向前 利用 消去 然后再用消去 依次类推 n a n c 1 n a 1 n c 4 3 34 3 3 例题解析例题解析 例例 1515 计算阶行列式 1 n n n n b b b D 1 11 11 11 1 1 1 解 从最后一行开始后一行加到前一行 即消去第一撇 得 n nn n i i n i i n b bb b b D 1 1 1 1 1 1 1 1 精品文档 23欢迎下载 n i i n nn b 1 2 1 111 n i i nn b 1 2 3 11 4 44 4 两线两线 型行列式型行列式 4 4 14 4 1 概念概念 形如这样的行列式叫做 两线型 行列式 nn n ab b ba ba 00 000 00 00 1 22 11 4 4 24 4 2 计算方法计算方法 对于这样的行列式 可通过直接展开法求解 4 4 34 4 3 例题解析例题解析 例例 1616 求行列式 nn n n ab b ba ba 00 000 00 00 D 1 22 11 解 按第一列展开 得 1 22 1 1 1 22 11 00 0 00 1 00 00 0 n n n n n n b ba b b a b ba aD n n n bbbaaa 21 1 21 1 4 54 5 三对角三对角 型行列式型行列式 精品文档 24欢迎下载 4 5 14 5 1 概念概念 形如 这样的行列式 叫 ba abba abba abba abba 100000 00000 00010 00001 00000 做 三对角型 行列式 4 5 24 5 2 计算方法计算方法 对于这样的行列式 可直接展开得到两项递推关系式 然后变形 进行两次递推或利用数学归纳法证明 4 5 34 5 3 例题解析例题解析 例例 1717 求行列式 ba abba abba abba abba n 100000 00000 00010 00001 00000 D 解 按第一列展开 得 ba abba ba abba abba ab Dba nn 10000 0000 0010 0001 00000 D 1 21 nn abDDba 变形 得 211 D nnnn aDDbaD 精品文档 25欢迎下载 由于 22 21 babaDbaD 从而利用上述递推公式得 211 D nnnn aDDbaD nn nn baDDbaDDb 12 2 32 2 故 nnnnnn n n nn babbaDabbaDabaDD 122 1 11 21 nnnn babbaa 11 4 64 6 VandermondeVandermonde 行列式行列式 4 6 14 6 1 概念概念 形如这样的行列式 成为级的范德蒙德 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n aaaa aaaa aaaa n 行列式 4 6 24 6 2 计算方法计算方法 通过数学归纳法证明 可得 nij ji n n nnn n n aa aaaa aaaa aaaa 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 4 6 34 6 3 例题解析例题解析 精品文档 26欢迎下载 例例 1818 求行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 解 虽然不是范德蒙德行列式 但可以考虑构造阶的范德蒙 n D1 n 德行列式来间接求出的值 n D 构造阶的范德蒙德行列式 得1 n nn n nn nn n nn nn n nn n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xf 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 将按第列展开 得 xf1 n n nn n nnnn xAxAxAAxf 1 1 1 1 1 21 1 其中 的系数为 1 n x nn nn nn DDA 1 1 1 又根据范德蒙德行列式的结果知 nij jin xxxxxxxxxf 1 21 由上式可求得的系数为 1 n x 精品文档 27欢迎下载 nij jin xxxxx 1 21 故有 nij jinn xxxxxD 1 21 5 5 行列式的计算方法的综合运用 行列式的计算方法的综合运用 有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算 这时就需要结合 多种计算方法 使计算简便易行 下面就列举几种行列式计算方法的 综合应用 5 15 1 降阶法和递推法降阶法和递推法 例例 1919 计算行列式 21000 12000 00210 00121 00012 D n 分析 乍一看该行列式 并没有什么规律 但仔细观察便会发现 按 第一行展开便可得到阶的形式 1 n 解 将行列式按第一行展开 得 21 2D nnn DD 即 211 D nnnn DDD 123 12211 DDDDDD nnnn 11 1111 nnnn DDD 121 nn 精品文档 28欢迎下载 5 25 2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例例 2020 计算行列式 4 3 4 2 3 3 3 2 2 3 2 2 1 3 1 2 4 2 4 3 2 3 2 2 21 2 1 4321 sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin sin1sin1sin1sin1 1111 D 解 从第一行开始 依次用上一行的倍加到下一行 进行逐行相 1 加 得 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4321 sinsinsinsin sinsinsinsin sinsinsinsin 1111 D 再由范德蒙德行列式 得 41 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4321 sinsin sinsinsinsin sinsinsinsin sinsinsinsin 1111 ij ji D 5 35 3 构造法和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式 例例 2121 求行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 解 虽然不是范德蒙德行列式 但可以考虑构造阶的范德蒙 n D1 n 德行列式来间接求出的值 n D 精品文档 29欢迎下载 构造阶的范德蒙德行列式 得1 n nn n nn nn n nn nn n nn n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xf 21 111