确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

精品文档 1欢迎下载 确定带电粒子运动轨迹的方法 一 对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出 则其轨迹关于入射点和出射 点线段的中垂线对称 且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等 如图1 带 电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场 则其射出磁场时速度延长线必过 圆心 如图2 利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹 找出相应的几何关 系 例1 如图3所示 直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场 正 负电子同时从同一 点O以与MN成30 角的同样速度v射入磁场 电子质量为m 电荷为e 它们从磁场中 射出时相距多远 射出的时间差是多少 解析 正 负电子的半径和周期是相同的 只是偏转方向相反 先确定圆心 画出半径 和轨迹 如图4 由对称性知 射入 射出点和圆心恰好组成正三角形 所以两个射出 点相距s 2r 由图还看出经历时间相差 所以解此题的关键是找圆 心 找半径和用对称 例2 如图5所示 在半径为r的圆形区域内 有一个匀强磁场 一带电粒子以速度v0 从M点沿半径方向射入磁场区 并由N点射出 O点为圆心 当 MON 120 时 求 带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间 精品文档 2欢迎下载 解析 分别过M N点作半径OM ON的垂线 此两垂线的交点O 即为带电粒子作圆周运 动时圆弧轨道的圆心 如图6所示 由图中的几何关系可知 圆弧MN所对的轨道圆心角 为60 O O 的边线为该圆心角的角平分线 由此可得带电粒子圆轨道半径为 R r tan30 带电粒子的轨道半径可表示为 故带电粒子运动周期 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二 旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时 带电粒子的运动轨 迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆 如图7 用这一规律可快速确定粒子的运动 轨迹 例3 如图8所示 S为电子源 它在纸面360 度范围内发射速度大小为v0 质量为m 电量为q的电子 q 0 MN是一块足够大的竖直挡板 与S的水平距离为L 挡板左侧 充满垂直纸面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为mv0 qL 求挡板被电子击中的范围为 多大 解析 由于粒子从同一点向各个方向发射 粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆 且动态 圆的每一个圆都是逆时针旋转 这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹 如图9所示 最高点为动态圆与MN的相切时的交点P 最低点为动态圆与MN相割 且SQ为直径时Q 为最低点 带电粒子在磁场中作圆周运动 由洛仑兹力提供向心力 由 得 精品文档 3欢迎下载 Q为直径 则 SQ 2L SO L 由几何关系得 P为切点 所以OP L 所以粒子能击中的范围为 例4 2010全国新课程卷 如图10所示 在0 x A 0 y 范围内有垂直于xy平面 向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 坐标原点O处有一个粒子源 在某时刻发射大 量质量为m 电荷量为q的带正电粒子 它们的速度大小相同 速度方向均在xy平面内 与y轴正方向的夹角分布在0 90 范围内 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 到a之间 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运 动周期的四分之一 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 1 速度大小 2 速度方向与y轴正方向夹角正弦 解析 设粒子的发射速度为v 粒子做圆周运动的半径为R 由牛顿第二定律和洛仑兹 力公式得 解得 从O点以半径R R a 作 动态圆 如图11所示 由图不难看出 在磁场中运 动时间最长的粒子 其轨迹是圆心为C的圆弧 圆弧与磁场的边界相切 设该粒子在磁 精品文档 4欢迎下载 场中的运动时间为t 依题意 所以 OCA 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为 由几何关系得 再加上 解得 三 缩放圆法 带电粒子以大小不同 方向相同的速度垂直射入匀强磁场中 作圆周运动的半径随着速 度的变化而变化 因此其轨迹为半径缩放的动态圆 如图12 利用缩放的动态圆 可以 探索出临界点的轨迹 使问题得到解决 例5 如图13所示 匀强磁场中磁感应强度为B 宽度为d 一电子从左边界垂直匀强磁 场射入 入射方向与边界的夹角为 已知电子的质量为m 电量为e 要使电子能从轨 道的另一侧射出 求电子速度大小的范围 解析 如图14所示 当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出 速率越大 轨道半径越大 当轨道与边界相切时 电子恰好不能从另一侧射出 当速率 大于这个临界值时便从右边界射出 设此时的速率为v0 带电粒子在磁场中作圆周运动 由几何关系得 r rcos d 精品文档 5欢迎下载 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 所以 联立 解得 所以电子从另一侧射出的条件是速度大于 例6 2010全国 II 卷 如图15所示 左边有一对平行金属板 两板的距离为d 电压 为U 两板间有匀强磁场 磁感应强度为B0 方面平行于板面并垂直纸面朝里 图中右 边有一边长为a的正三角形区域EFG EF边与金属板垂直 在此区域内及其边界上也有 匀强磁场 磁感应强度大小为B 方向垂直纸面向里 假设一系列电荷量为q的正离子 沿平行于金属板面 垂直于磁场的方向射入金属板之间 沿同一方向射出金属板间的区 域 并经EF边中点H射入磁场区域 不计重力 1 已知这些离子中的离子甲到达边界EG后 从边界EF穿出磁场 求离子甲的质量 2 已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点 图中未画出 穿出磁场 且GI长为 3a 4 求离子乙的质量 3 若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半 而离子乙的质量是最大的 问磁场边界上什么区域内可能有离子到达 解析 由题意知 所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动 则有 qvB0 qU d 解得 离子的速度为 v U B0d 为一定数值 虽然离子速度大小不变 但质量m改变 结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径 公式R mv qB分析 可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹 如图16中的动态 圆 1 由题意知 离子甲的运动轨迹是图17中的半圆 半圆与EG边相切于A点 与EF边垂 直相交于B点 由几何关系可得半径 R甲 acos30 tan15 a 从而求得离子甲的质量m甲 精品文档 6欢迎下载 2 离子乙的运动轨迹如图18所示 在 EIO2中 由余弦定理得 解得R乙 a 4 从而求得乙离子的质量 m乙 3 由半径公式R mv qB可知R m 结合 1 2 问分析可得 若离子的质量满足m甲 2 m m甲 则所有离子都垂直EH边离开磁场 离开磁场的位 置到H的距离介于R甲到2R甲之间 即 若离子的质量满足m甲 m m乙 则所有离子都从EG边离开磁场 离开磁场的位置介于 A到I之间 其中AE的距离AE IE距离IE 四 临界法 以题目中的 恰好 最大 最高 至少 等词语为突破口 借助半径r和速度v以及 磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析 确定轨迹圆和边界的关系 找出临界点 然 后利用数学方法求解极值 画出临界点的轨迹是解题的关键 例7 长为L的水平极板间 有垂直纸面向内的匀强磁场 如图19所示 磁感应强度为 B 板间距离也为L 两极板不带电 现有质量为m电量为q的带负电粒子 不计重力 从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场 欲使粒子打到极板上 求初速 度的范围 解 由左手定则判定受力向下 所以向下偏转 恰好打到下板右边界和左边界为两个临 界状态 分别作出两个状态的轨迹图 如图20 图21所示 打到右边界时 在直角三角 形OAB中 由几何关系得 解得轨道半径 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 因此 精品文档 7欢迎下载 打在左侧边界时 如图21所示 由几何关系得轨迹半径 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 所以 所以打在板上时速度的范围为 v 例8 如图22 一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B 方向垂直纸面向里的 匀强磁场 现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30 大小为v0的带电粒子 已知粒子质量为m 电量为q ad边长为L ab边足够长 粒子重力忽略不计 求 1 试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围 2 粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围 解 1 画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆 能够从ab边射出的粒子的临界 轨迹如图23所示 轨迹与dc边相切时 射到ab边上的A点 此时轨迹圆心为O1 则轨 道半径r1 L 由得最大速度 轨迹与ab边相切时 射到ab边上的B点 此时轨迹圆心为O2 则轨道半径r2 L 3 由 得最小速度 所以粒子能够从ab边射出的速度范围为 v0 精品文档 8欢迎下载 2 当粒子从ad边射出时 时间均相等 且为最长时间 因转过的圆心角为300 所 以最