向量的概念与性质

一 向量的概念与性质一 向量的概念与性质 一 知识点一 知识点 1 与向量概念有关的问题 向量不同于数量 数量是只有大小的量 称标量 而向量既有大小又有方向 数量 可以比较大小 而向量不能比较大小 只有它的模才能比较大小 记号 错了 而ab 才有意义 ab 有些向量与起点有关 有些向量与起点无关 由于一切向量有其共性 力和方向 故我们只研究与起点无关的向量 既自由向量 当遇到与起点有关向量时 可平移向量 平行向量 既共线向量 不一定相等 但相等向量一定是平行向量 既向量平行是 向量相等的必要条件 单位向量是模为 1 的向量 其坐标表示为 其中 满足 yx xy 2 x 2 y 1 可用 cos sin 0 2 表示 零向量的长度为 0 是有方向的 并且方向是任意的 实数 0 仅仅是一个无方向的0 实数 有向线段是向量的一种表示方法 并不是说向量就是有向线段 2 与向量运算有关的问题 向量与向量相加 其和仍是一个向量 平行四边形法则 起点相同 三角形法则 首尾相连 当两个向量和不共线时 的方向与 都不相同 且 ab abab aba b 当两个向量和共线且同向时 的方向都相同 且ab abab ba ba 当向量和反向时 若 与 方向相同 且 ababba aba a b 若 时 与 方向相同 且 abba babba 向量与向量相减 其差仍是一个向量 向量减法的实质是加法的逆运算 三角形法则 2 起点相同 减向量重点指向被减向量的终点 围成一周首尾相接的向量 有向线段表示 的和为零向量 如 在 ABC 中 AB BC0 CA ABCD 中 CDBCAB0 DA 判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量 使 R 那么 ababab 反之 如 且 0 那么 abbab 这里在 反之 中 没有指出是非零向量 其原因为 0 时 与 的方向规定为aab 平行 4 向量的数乘运算的定义 数乘运算模的大小为 6 数量积的 8 个重要性质 cosbaba 两向量的夹角为 0 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一 向量在其上的射影值 其射影值可正 可负 可以为零 故向量的数量积是一个实数 设 都是非零向量 是单位向量 是与的夹角 则abe ab 1 cos eaeaae 90 ba0 ba 0cos 在实数运算中 0 0 或 b 0 而在向量运算中 或 是错误aba ba 0a 0b 0 的 故或是 0 的充分而不必要条件 0 a0 bba 当与同向时 0 cos 1 abba ba 当与反向时 cos 1 即 的另一个充要条件是abba ba ab baba 0 0 00 aa aa a 5 当与的方向相同 当的方向与的方向相反 当 3 特殊情况有 2 aaa 2 a 或 aaa 2 a 22 yx 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 则 a 1 x 1 y 2 x 2 y a 2 21 2 21 yyxx 因 baba 1cos 数量积不适合乘法结合律 如 因为与共线 而与共线 cbacba cba c cba a 数量积的消去律不成立 若 是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数 即abccbca ba 是无意义的 c 1 二 课堂训练二 课堂训练 1 下列各式计算正确的有 1 7 6a 42a 2 7 a b 8b 7a 15b 3 a 2b a 2b 2a 4 若 a m n b 4m 4n 则 a b A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 化简的结果是 24 82 2 1 3 1 baba A B C D ba 2ab 2ab ba 3 下列各式叙述不正确的是 A 若 a b 则 a b 不共线 R B b 3a a 为非零向量 则 a b 共线 C 若 m 3a 4b n a 2b 则 m n D 若 a b c 0 则 a b c 2 3 4 对于菱形 ABCD 给出下列各式 BCAB BCAB 2 BCADCDAB 4 22 ABBDAC 其中正确的个数为 4 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 5 已知向量反向 下列等式中成立的是 ba与 A B baba baba C D baba baba 6 在 ABC 中 AB AC D E 分别是 AB AC 的中点 则 A 与共线 B 与共线 ABACDECB C 与相等 D 与相等ADAEADBD 7 已知向量 e1 e2不共线 实数 x y 满足 3x 4y e1 2x 3y e2 6e1 3e2 则 x y 的值等于 A 3B 3 C 0 D 2 8 已知正方形 ABCD 的边长为 1 a b c 则 a b c 等于 ABBCAC A 0 B 3 C D 222 9 已知 是非零向量且满足 则与的夹角是 abbababa 2 2 ab A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 10 若非零向量互相垂直 则下列各式中一定成立的是 ba A B baba baba C D 0 baba0 2 ba 11 已知菱形 ABCD 的边长为 2 求向量 的模的长 ABCB CD 12 已知的夹角为 120 且 当时 baba 3 4 bac2 bkad 2ac k 5 二 向量的坐标形式向量的坐标形式 一 知识点一 知识点 若 1122 ax ybxy 则 特别地 ab 若 则 ab ab 若 则 a ab a b a cos 1122 A x yB xyAB 二 课堂训练二 课堂训练 1 已知 2 3 1 4 ABBCx y CDDA 则 2 设 1 3 8 1 21 2 ABCaaABa 和若点在直线上 则 3 设点 2 3 5 4 7 10 ABCPAPABACR 点满足 1 当 时 点在第一 三象限角平分线上 P 2 当 时 点在第四象限 P 4 已知向量 1 1 13 13 abab 则向量与的夹角为 6 5 设向量 则的取值范围为 3 2 1 axbab 与与的夹角为钝角x 6 已知向量 3 1 1 2 2 ababakbk 若则实数 7 已知向量 根据下列情形求 1 2 1 2 2abxuab vab x 1 若 2 若 uv uv 8 已知向量 1 2 1 22abxababx 若与平行 则 9 设向量 3 4 1 abba bb 向量满足则 10 在 则的面积为 1 2 2 1 ABCABAC 中 已知ABC 11 平面内给定三个向量 3 2 1 2 4 1 abc 1 求 32abc 2 求满足的实数 ambnc m n 3 若 2akcbak 求实数 4 设 1 dx ydcabdcd 满足且求 12 设向量 121212 43 1 0 0 1 aee beeee 其中 1 试计算 a bab 及的值 2 求向量夹角的大小 ab 与 单元测试题单元测试题 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 1 若向量方程2 3 2 0 xxa 则向量x 等于 A 6 5 a B 6a C 6a D 6 5 a 2 两列火车从同一站台沿相反方向开去 走了相同的路程 设两列火车的 位移向量分别为a 和b 那么下列命题中错误的一个是 7 A a 与b 为平行向量 B a 与b 为模相等的向量 C a 与b 为共线向量 D a 与b 为相等的向量 3 AB BCAD A AD B CD C DB D DC 4 下列各组的两个向量 平行的是 A 2 3 a 4 6 b B 1 2 a 7 14 b C 2 3 a 3 2 b D 3 2 a 6 4 b 5 若P分AB 所成的比为4 3 则A分BP 所成的比为 A 7 3 B 3 7 C 7 3 D 3 7 6 已知 6 0 a 5 5 b 则a 与b 的夹角为 A 0 45 B 0 60 C 0 135 D 0 120 7 已知i j 都是单位向量 则下列结论正确的是 A 1i j B 22 ij C i jij D 0i j 8 如图 在四边形ABCD中 设AB a AD b BCc 则DC A a bc B bac C a bc D b ac 9 4 3 1 2 ba 则向量a 在向量b 方向上的投影为 A 52B 2C 5D 10 10 在 ABC 中 3 b 33 c 0 30 B 则 a A 6 B 3 C 6或3 D 6或4 C BA D 8 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 11 已知 2 3 M 0 1 N 则线段MN的中点P的坐标是 12 设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点 下列向量组 1 AD 与AB 2 DA 与BC 3 CA 与DC 4 OD 与OB 其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组 可以是 13 已知 8 7 A 5 3 B 则向量AB 方向上的单位向量坐标是 14 在 ABC 中 8 AC 5 BC 面积 310 ABC S 则 BC CA 三 解答题 本大题共 3 小题 共 44 分 15 已知 3a 1 3 b 1 若a b 求a 2 若a b 求a 16 已知 3a 4b a 与b 的夹角为 4 3 求 3 2 abab 17 已知 求证 互相垂直 cos sin cos sin ab ab 与 9 参考答案参考答案 一 选择题 CDDDB CBABC 二 填空题 11 1 1 12 1 3 13 5 3 5