等差数列的前n项和性质.ppt

思考 等差数列前n项和的有关计算1 等差数列前n项和的应用 1 等差数列前n项和公式 共涉及到五个量a1 n d an Sn 若已知其中三个量 可求另外两个量 也就是我们说的 知三求二 其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程 组 求解 2 在利用等差数列前n项和公式解题时 常常要联系该公式的变形形式 Sn 或Sn An2 Bn 名师指津 2 依据等差数列的性质得到的结论 1 当n为奇数时 Sn 2 a1 n 1 特别提醒 注意应用等差数列性质来简化计算过程 同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用 例1 已知等差数列 an 1 a1 a15 Sn 5 求n和d 2 a1 4 S8 172 求a8和d 审题指导 根据等差数列前n项和公式解方程 规范解答 1 a15 15 1 d d 又Sn na1 d 5 解得n 15 n 4 舍 2 由已知 得S8 解得a8 39 又 a8 4 8 1 d 39 d 5 变式训练 在等差数列 an 中 已知a6 10 S5 5 求a8 解析 方法一 设公差为d a6 10 S5 5 解得 a8 a6 2d 16 方法二 设公差为d S6 S5 a6 15 15 即3 a1 10 15 a1 5 d 3 a8 a1 8 1 d 16 等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质 1 项数 下标 的 等和 性质 2 项的个数的 奇偶 性质 等差数列 an 中 公差为d 若共有2n项 则S2n n an an 1 S偶 S奇 nd S偶 S奇 an 1 an 若共有2n 1项 则S2n 1 2n 1 an 1 S偶 S奇 an 1 S偶 S奇 n n 1 片段和 性质 等差数列 an 中 公差为d 前k项的和为Sk 则Sk S2k Sk S3k S2k Smk S m 1 k 构成公差为k2d的等差数列 例2 Sn是等差数列 an 的前n项和 且S10 100 S100 10 求S110 规范解答 方法一 设等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 则Sn na1 由已知得 10 整理得d 代入 得a1 S110 110a1 110 故此数列的前110项之和为 110 方法二 数列S10 S20 S10 S30 S20 S100 S90 S110 S100成等差数列 设其公差为D 前10项和为10S10 D S100 10D 22 S110 S100 S10 11 1 D 100 10 22 120 S110 120 S100 110 变式训练 等差数列 an 中 a2 a7 a12 24 求S13 解题提示 利用等差数列的性质Sn 解析 因为a1 a13 a2 a12 2a7 又a2 a7 a12 24 所以a7 8 所以S13 13 8 104 例 已知等差数列 an 的前4项和为25 后4项和为63 前n项和为286 求项数n 审题指导 题目给出前4项和与后4项和 可利用等差数列项数 下标 的 等和 性质 Sn 来求得 规范解答 因为a1 a2 a3 a4 25 an 3 an 2 an 1 an 63 而a1 an a2 an 1 a3 an 2 a4 an 3 所以4 a1 an 88 所以a1 an 22 所以Sn 11n 286 所以n 26 故所求的项数为26 变式备选 已知等差数列 an 的前n项和为377 项数n为奇数 且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7 6 求中间项 典例 12分 在等差数列 an 中 a1 25 S17 S9 求Sn的最大值 审题指导 题目给出首项和S17 S9等条件 欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值 或利用通项公式an求n使得an 0 an 1 0或利用性质求出大于或等于零的项 规范解答 方法一 设公差为d 由S17 S9得25 17 25 3分解得d 2 6分 Sn 25n 2 n 13 2 169 9分由二次函数性质得 当n 13时 Sn有最大值169 12分 方法二 先求出公差d 2 同方法一 6分 a1 25 0 故 an 为递减数列 由得解得 9分即又n N 当n 13时 Sn有最大值S13 13 25 2 169 12分 方法三 先求出公差d 2 同方法一 6分由S17 S9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 9分 d 2 0 a1 0 a13 0 a14 0 故n 13时 Sn有最大值169 12分 误区警示 对解答本题时易犯错误的具体分析如下 即时训练 在等差数列 an 中 a1 50 d 0 6 1 从第几项起以后各项均小于零 2 求此数列前n项和的最大值 解题提示 实质上是解一个不等式 但要注意 为正整数 转化为求二次函数的最大值的问题 解析 1 a1 50 d 0 6 an 50 0 6 n 1 0 6n 50 6 令 0 6n 50 6 0 则n 84 3 由n N 故当n 85时 an 0 即从第85项起以后各项均小于0 2 方法一 a1 50 0 d 0 6 0 由 1 知a84 0 a85 0 S1 S2 S3 S84 且S84 S85 S86 Sn max S84 50 84 0 6 2108 4 方法二 Sn 50n 0 6 0 3n2 50 3n 0 3 n 2 当n取最接近于的自然数 即n 84时 Sn取得最大值S84 2108 4 1 在等差数列 an 中 已知a1 4 a6 6 则前6项和S6 A 70 35 30 12 解析 选 S6 30 2 等差数列 an 的前 项和为Sn 若a3 a17 10 则S19 55 95 100 不能确定 解析 选 S19 95 3 已知数列 an 的通项an n 则其前 项和Sn 解析 an 1 an an 是等差数列 a1 Sn 答案 4 等差数列 an 的前 项和为Sn 若a2 a3 则S4 解析 a2 1 a3 a1 S4 答案 5 已知 an 是等差数列 a1 a