高考经典物理模型：人船模型(一)

精品文档 1欢迎下载 人船模型之一人船模型之一 人船模型 不仅是动量守恒问题中典型的物理模型 也是最重要的力学综 合模型之一 对 人船模型 及其典型变形的研究 将直接影响着力学过程的发生 发展和变化 在将直接影响着力学过程的分析思路 通过类比和等效方法 可以使许 多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷 1 人船模型 质量为 M 的船停在静止的水面上 船长为 L 一质量为 m 的人 由船头走到船尾 若不计水的阻力 则整个过程人和船相对于水 面移动的距离 分析 分析 人船模型 是由人和船两个物体构成的系统 该系统在人和船相互作用下各自运动 运动过程中该系 统所受到的合外力为零 即人和船组成的系统在运动过 程中总动量守恒 解答 解答 设人在运动过程中 人和船相对于水面的速度分别为 和 u 则由动量守恒定律 得 mv Mu 由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度 和 u 均满足上述关系 所以运动过程中 人和船平均速度大小u 和 也应满足相似的关系 即 m Mu 而 x t y u t 所以上式可以转化为 mx My M L m M L xy 精品文档 2欢迎下载 又有 x y L 得 M xL mM m yL mM 以上就是典型的 人船模型 说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关 与运动情况无关 该模型适用的条件 一个原来处于静止状态的系统 且在系统发生 相对运动的过程中 至少有一个方向 如水平方向或者竖直方向 动量守恒 2 人船模型 的变形 变形 1 质量为 M 的气球下挂着长为 L 的绳梯 一质量为 m 的人站在绳梯的下端 人和 气球静止在空中 现人从绳梯的下端往上爬到顶端时 人和气球相对于地面移动的距 离 分析 分析 由于开始人和气球组成的系统静止在空中 竖直方向系统所受外力之和为零 即系统竖直方 向系统总动量守恒 得 mx My x y L 这与 人船模型 的结果一样 变形 2 如图所示 质量为 M 的 1 4 圆弧轨道静止于光滑水平面上 轨道半径为 R 今把 质量为 m 的小球自轨道左测最高处静止释放 小球滑至最低点时 求小球和轨道相对 于地面各自滑行的距离 分析 设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为 x 和 y 将小球和轨道看成系统 该 m M x y 精品文档 3欢迎下载 系统在水平方向总动量守恒 由动量守恒定律得 mx My x y L 这又是一个 人船模型 3 人船模型 的应用 等效思想 如图所示 长为 L 质量为 M 的小船停在静水中 船头船尾分 别站立质量为 m1 m2 m1 m2 的两个人 那么 当两个人互换位 置后 船在水平方向移动了多少 分析 分析 将两人和船看成系统 系统水平方向总动量守恒 本题可以理解为是人先后移动 但本题又可等效成质量 为 12 mmmm 的人在质量为 2 2MMm 的船上走 这样就又变成标准的 人船模型 解答 解答 人和船在水平方向移动的距离为 x 和 y 由动量守恒定律可得 mxM y xyL 这样就可将原本很复杂的问题变得简化 人船模型 和机械能守恒的结合 如图所示 质量为 M 的物体静止于光滑水平面上 其上有一 m1m2 M M m xy L M m m M 精品文档 4欢迎下载 个半径为 R 的光滑半圆形轨道 现把质量为 m 的小球自轨道左测最高点静止释放 试 计算 1 摆球运动到最低点时 小球与轨道的速度是多少 2 轨道的振幅是多大 分析 分析 设小球球到达最低点时 小球与轨道的速度分别为 v1和 v2 根据系统在水平方 向动量守恒 得 12 mvMv 又由系统机械能守恒得 22 12 11 22 mgRmvMv 解得 1 2MgR v mM 2 2mMgR v MmM 当小球滑到右侧最高点时 轨道左移的距离最大 即振幅 A 由 人船模型 得 mxMy 2xyR 解得 2 M xR mM 2 m yR mM 即振幅 A 为 2 m