巧找相等关系列方程（青岛 刘乃志）

巧找相等关系列方程巧找相等关系列方程 刘乃志 山东省胶州市第八中学 青岛 266300 列方程解决实际问题就是 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题 用 数学符号建立方程 1 这类问题大多难在如何从实际问题中抽象出数学问题 解决这个难点的关键是找出题目中的相等的数量关系 即我们通常简称的相等 关系 我在教学实践中探索总结了六种找相等关系的方法 遵循这些方法去找 相等关系 就可以让学生顺利的解决列方程 组 解应用题的问题 1 1 利用题目中的关键语句直接找相等关系利用题目中的关键语句直接找相等关系 有一些应用题的文字叙述中就包含了能体现相等关系的关键词或语句 数 学应用问题中有许多量并不是直接以数据的形式给出 而是隐含在题目的文字 里 这些能帮助确定各对象所涉及的量的相互关系的词 就是所说的关键词 这些 关键词都是用来表示各量之间的相互关系的 常用的如 多 少 和 差 倍 分 增 减 早 迟等 关键词所在的语句我们可以叫做关键语句 通过找题 目中的关键词可以进一步找到关键语句 然后再把这些关键语句用笔划下来 稍加整理就是要找的等量关系 案例 买 支钢笔比买 支圆珠笔要多花 0 9 元 每支圆珠笔的价钱是 0 6 元 每支钢笔多少钱 我们可以先画出题目中的关键语句 3 支钢笔比 5 支圆珠笔要多花 0 9 元 便可以整理成用等式形式表示的相等关系 3 支钢笔的价钱 5 支圆珠笔的价钱 0 9 元 2 2 利用常见的公式找等量关系利用常见的公式找等量关系 学生已经接触了很多常见的公式 如 路程 速度 时间 工作总量 工作 效率 工作时间 总价 单价 数量 利润 收入 成本 本息和 本金 利息 还 有各种图形的面积 周长和体积公式等 如果能引导学生在弄清题意 分析数 量关系的基础上 根据题目涉及的背景 巧妙的利用相关的公式 其实就是找 到了能串联题目各种数量的相等关系 案例 一家商店将服装按成本价提高 40 后标价 又以 8 折 即按标价的 80 优惠卖出 结果每件仍获利 15 元 这种服装每件的成本是多少元 由于这个题目的背景是销售利润的的问题 所以自然联想到有关利润的常 用公式 利润 收入 成本 根据公式把各部分用代数式表示出来就得到该问题 的方程 3 3 利用示意图抽象情境找相等关系利用示意图抽象情境找相等关系 列方程解一些实际问题的过程是一个数学化的过程 这个过程常常需要文 字语言 图形语言和符号语言互相转换 有些实际问题 如果能把题目中的文 字和符号语言转化成图形语言 即示意图 就容易找到相等关系 示意图有线 段示意图 图画示意图 面积示意图等多种 其中 线段示意图最为学生所熟 悉并接受 案例 小明每天早上要在 7 50 之前赶到距家 1000 米的学校上学 一天 小明以 80 米 分的速度出发 5 分钟后 小明的爸爸发现他忘了带语文书 于 是爸爸以 180 米 分的速度去追小明 1 爸爸追上小明用了多少时间 2 追上小明时 距离学校多远 我让学生根据题意试着画出线段示意图 根据示意图学生很容易就会发现题目中的等量关系 小明一共所行的距离 爸爸一共所行的距离 从而建立方程 80 5 80 x 180 x 4 4 利用表格梳理数量关系找相等关系利用表格梳理数量关系找相等关系 列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内 再据此逐层分析 找到各 量之间的内在相等关系 列出方程 组 的方法 列表时分类整理排列 条理 清晰 优点明显 尤其对于题目较为复杂 等量关系较为隐蔽的题目效果较好 案例 医院用甲 乙两种原料为手术后的病人配置营养品 每克甲种原料含 0 5 单位蛋白质和 1 单位铁质 每克乙种原料含 0 7 单位蛋白质和 0 4 单位铁 质 若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质 那么每餐甲 乙两种原料各 多少克恰好满足病人的需要 解 设每餐需要甲 乙两种原料各 x y 克 则有下表 甲原料 x 克乙原料 y 克所配置的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 由表格中所填的第一行会发现一个相等关系 甲原料所含蛋白质 乙原料 所含蛋白质 35 单位蛋白质 由所填的第二行又会发现一个相等关系 甲原料 所含铁质 乙原料所含铁质 40 单位铁质 从而根据两个相等关系列出两个方 程 建立方程组解决了这个问题 本题的数量关系相当复杂 学生通过填写表格 既找到了题目中的等量关 系 同时又顺利的列出了方程组 5 5 利用利用 变化中的不变量变化中的不变量 找相等关系找相等关系 有些应用题的数量关系比较复杂 题目本身包括的变化量多 相等关系比 较隐蔽 这类问题往往可以透过找出 变化中的不变量 来找到我们需要的等 量关系 比如 平面图形形状改变 而周长不变 立体图形的形状改变 而体 积不变等问题 案例 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物 小影将梯形下底的 钉子去掉 并将这条彩绳钉成一个长方形 那么 小影所钉长方形的长和宽各 为多少厘米 题目的本身体现了一个变化的过程 彩绳的形状由长方形变成了梯形 这 种题目很容易让学生眼花缭乱 但是仔细一想 在这个变化的过程中有没有不 变的量呢 就会豁然开朗 发现等量关系 变形前周长 变形后周长 根据两 种图形的周长公式不难列出方程 6 6 利用直观操作 深入情境找相等关系利用直观操作 深入情境找相等关系 有的应用题的情境学生难于理解 大多数原因是不能深入到实际问题中去 理解 只是作为局外人看问题 不能和实际情境融为一体 对于这种情况 可 以通过组织学生进行直观演示 实际操作或教师利用电子白板进行模拟演示等 10 1066 1010 单位 厘 米 方式 让学生深入到问题的情境中去 在直观操作的过程中学生会对 过程 有一个深刻的体验 从而顺利的发现相等关系 案例 将一个底面直径是 10 厘米 高为 36 厘米的 瘦长 形圆柱锻压成 底面直径为 20 厘米的 矮胖 形圆柱 高变成了多少 我让学生用已经备好的橡皮泥 自制 瘦长 与 矮胖 的圆柱 观察分 析其中的现象 同时提出问题 1 手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化 2 在你操作的过程中 圆柱由 瘦 变 胖 圆柱的底面直径变了没有 圆柱的 高呢 3 在这个变化过程中 是否有不变的量 是什么没变 通过具体的操作 让学生在玩中体会到等体积变化的现象中蕴涵的不变量 学生深入到了问题的情境中 发现了只依靠阅读文字无法发现的东西 再利用 前面找 变化中的不变量 的方法很容易找出本题的相等关系 即 瘦长 圆柱的体积 矮胖 圆柱的体积 学生再利用圆柱的体积公式表示出两种圆 柱的体积 从而建立方程 在实际的教学中 要在学生充分思考交流的基础上 总结出这六种找相等 关系的常用方法 从而把实际问题抽象成数学问题 建立方程 组 模型 达 到解决实际问题的目的 当然 学习分析解决实际问题的能力不是一下子就能 培养起来的 需要在我们老师耐心的指导下逐步提高 参考文献