八年级讲义-分式方程培优(教师版)

中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 1 环环 球球 雅雅 思思 教教 育育 学学 科科 教教 师师 讲讲 义义 讲义编号 副校长 组长签字 签字日期 学学 员员 编编 号号 年年 级级 八 课课 时时 数数 3 课时 学学 员员 姓姓 名名 TR 版 辅辅 导导 科科 目目 数学 学学 科科 教教 师师 武爽 课课 题题分式方程 培优 授课日期及时段授课日期及时段 教教 学学 目目 的的 重重 难难 点点 教教 学学 内内 容容 基础知识巩固基础知识巩固 1 解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程 2 解分式方程的一般步骤 1 在方程的两边都乘以最简公分母 约去分母 化成整式方程 2 解这个整式方程 3 验根 把整式方程的根代入最简公分母 看结果是否等于零 使最简公分母等于零的根是原方程的增根 必 须舍去 但对于含有字母系数的分式方程 一般不要求检验 3 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同 但必须注意 要检验求得的解是否为原方程的根 以 及是否符合题意 典型例题分析典型例题分析 例 1 解方程 x xx 1 2 1 1 分析 首先要确定各分式分母的最简公分母 在方程两边乘这个公分母时不要漏乘 解完后记着要验根 解 方程两边都乘以 得 xx 11 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 2 xxxx xxx x x 2 22 2111 212 3 2 3 2 即 经检验 是原方程的根 例 2 解方程 x x x x x x x x 1 2 6 7 2 3 5 6 分析 直接去分母 可能出现高次方程 给求解造成困难 观察四个分式的分母发现 的值相差 1 而分子也有这个特点 因此 可将分母的值相差 1 的两个分式结合 xxxx 6723与 与 然后再通分 把原方程两边化为分子相等的两个分式 利用分式的等值性质求值 解 原方程变形为 x x x x x x x x 6 7 5 6 2 3 1 2 方程两边通分 得 1 67 1 23 6723 836 9 2 xxxx xxxx x x 所以 即 经检验 原方程的根是x 9 2 例 3 解方程 1210 43 3234 89 2423 87 1619 45 x x x x x x x x 分析 方程中的每个分式都相当于一个假分数 因此 可化为一个整数与一个简单的分数式之和 解 由原方程得 3 1 43 4 2 89 3 2 87 4 1 45 xxxx 即 2 89 2 86 2 810 2 87xxxx 于是 所以 解得 经检验 是原方程的根 1 89 86 1 810 87 89 86810 87 1 1 xxxx xxxx x x 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 3 例 4 解方程 612 44 4 444 0 2 2 2 2 y yy y yy y y 分析 此题若用一般解法 则计算量较大 当把分子 分母分解因式后 会发现分子与分母有相同的因式 于是 可先约分 解 原方程变形为 62 2 22 222 0 22 2 y y yy y y yy 约分 得 6 2 2 222 0 2 y y y y yy 方程两边都乘以 yy 22 得 6220 22 yyy 整理 得 经检验 是原方程的根 216 8 8 y y y 重点知识巩固重点知识巩固 例 1 若解分式方程产生增根 则 m 的值是 2 1 11x x m xx x x A B 12或 12或 C D 12或12或 分析 分式方程产生的增根 是使分母为零的未知数的值 由题意得增根是 化简原方程为 xx 01或 把代入解得 故选择 D 211 22 xmx xx 01或m 12或 例 2 m 为何值时 关于 x 的方程会产生增根 2 24 3 2x mx xx 解 方程两边都乘以 得x 2 4 2436xmxx 整理 得 mx 110 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 4 当时 如果方程产生增根 那么 即或 若 则 若 则 综上所述 当或 时 原方程产生增根 mx m xxx x m m x m m m 1 10 1 4022 12 10 1 24 22 10 1 26 346 2 说明 分式方程的增根 一定是使最简公分母为零的根 例 3 甲 乙两班同学参加 绿化祖国 活动 已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树 甲班种 60 棵所用的时间与乙 班种 66 棵树所用的时间相等 求甲 乙两班每小时各种多少棵树 分析 利用所用时间相等这一等量关系列出方程 解 设甲班每小时种 x 棵树 则乙班每小时种 x 2 棵树 由题意得 6066 2xx 6012066 20 20 222 xx x x x 经检验 是原方程的根 答 甲班每小时种树 20 棵 乙班每小时种树 22 棵 说明 在解分式方程应用题时一定要检验方程的根 例 4 轮船在一次航行中顺流航行 80 千米 逆流航行 42 千米 共用了 7 小时 在另一次航行中 用相同的时间 顺 流航行 40 千米 逆流航行 70 千米 求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 分析 在航行问题中的等量关系是 船实际速度 水速 静水速度 有顺水 逆水 取水速正 负值 两次航行提 供了两个等量关系 解 设船在静水中的速度为 x 千米 小时 水流速度为 y 千米 小时 由题意 得 8042 7 4070 7 xyxy xyxy 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 5 解得 经检验 是原方程的根 x y x y 17 3 17 3 答 水流速度为 3 千米 小时 船在静水中的速度为 17 千米 小时 例 1 轮船在一次航行中顺流航行 80 千米 逆流航行 42 千米 共用了 7 小时 在另一次航行中 用相同的时间 顺 流航行 40 千米 逆流航行 70 千米 求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 分析 在航行问题中的等量关系是 船实际速度 水速 静水速度 有顺水 逆水 取水速正 负值 两次航行 提供了两个等量关系 解 设船在静水中的速度为 x 千米 小时 水流速度为 y 千米 小时 由题意 得 8042 7 4070 7 xyxy xyxy 解得 经检验 是原方程的根 x y x y 17 3 17 3 答 水流速度为 3 千米 小时 船在静水中的速度为 17 千米 小时 课后强化练习课后强化练习 1 甲 乙两地相距 S 千米 某人从甲地出发 以 v 千米 小时的速度步行 走了 a 小时后改乘汽车 又过 b 小时到 达乙地 则汽车的速度 解析 由已知 此人步行的路程为 av 千米 所以乘车的路程为千米 Sav 又已知乘车的时间为 b 小时 故汽车的速度为 Sav b B 千米 小时 应选 2 如果关于 x 的方程 2 3 1 3x m x m 有增根 则 的值等于 解析 把方程两边都乘以xxmxm 3235 得 若方程有增根 则xmmB 3532 即应选 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 6 3 解方程 1 1 10 1 12 1 23 1 910 2 xxxxxxx 分析 方程左边很特殊 从第二项起各分式的分母为两因式之积 两因式的值都相差 1 且相邻两项的分母中都有相 同的因式 因此 可利用裂项 即用 互为相反数的和为 0 将原方程化简 1 1 11 1n nnn 解 原方程可变为 1 10 1 1 1 2 1 2 1 3 1 9 1 10 2 xxxxxxx 1 1 2 221 1 2 1 2 x x x x 即 经检验 原方程的根是 2 11 2 1 4 1 0 24 x x x x x x x x 分析 用因式分解 提公因式法 简化解法 解 x xxxx 1 1 1 1 2 1 4 1 0 24 因为其中的 1 1 1 1 2 1 4 1 24 xxxx 经检验 是原方程的根 11 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 8 1 0 0 224 224 448 xx xxx xxx xxx x x 0 4 求 x 为何值时 代数式的值等于 2 29 3 1 3 2x xxx 解 由已知得2 9 3 1 3 2 2 x xxx 即 解得 经检验 是原方程的根 2 3 3 1 3 2 2 3 3 1 3 2 0 3 2 3 2 xxx xxx x x 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 7 的值等于 2 当时 代数式x x xxx 3 2 29 3 1 3 2 5 计算 aa a aa a 22 1 1 31 3 分析 分析 如果先通分 分子运算量较大 观察分子中含分母的项与分母的关系 可采取 分离分式法 简化计算 解 解 原式 a a a a a a 11 1 31 3 a a a a aa aa aa a aa 1 1 1 3 1 1 1 3 31 13 22 13 6 解方程 1 1 76 55 56 2 2 2 xx xx xx 分析 分析 因为 所以最简公分母为 xxxx 2 7616 xxxx 2 5623 若采用去分母的通常方法 运算量较大 由于 xxxx 1623 故可得如下解法 xx xx xx xxxx 2 2 2 22 55 56 561 56 1 1 56 解 解 xx xxxx 2 22 561 56 1 1 56 原方程变为1 1 76 1 1 56 22 xxxx 1 76 1 56 7656 0 22 22 xxxx xxxx x 经检验 是原方程的根 x 0 7 已知与互为相反数 求代数式的值 aa 2 69 b 1 42 2 2222 22 22 ab ab aba b aabb a bab b a 中国教育培训领军品牌 环球雅思环球雅思 8 分析 分析 要求代数式的值 则需通过已知条件求出 a b 的值 又因为 利aaa 22 6930 b 10 用非负数及相反数的性质可求出 a b 的值 解 解 由已知得 解得ab 3010 ab 31 原式 42 2 22 ab ab ab ab ba aabb ab ab b a 把代入得 原式 ab ab ab ab ababb ab ab b a ab ab ab ab ab ab ab ab b a ab a b 2222 2 2 2 2 1 ab 31 1 12 8 一列火车从车站开出 预计行程 450 千米 当它开出 3 小时后 因特殊任务多停一站 耽误 30 分钟 后来把速度 提高了 0 2 倍 结果准时到达目的地 求这列火车的速度 解 解 设这列火车的速度为 x 千米 时 根据题意 得 450 3 1 2 4503 12x x x 方程两边都乘以 12x 得540042450030 xx 解得 经检验 是原方程的根x 75x 75 答 答 这列火车原来的