导数基本概念

第一节第一节 导数的概念与运算导数的概念与运算 一 一 思维导图思维导图 二 知识模块二 知识模块 知识点知识点 1 1 导数的定义 1 导数的概念 设函数在附近有定义 如果时 与的比 也叫函 yf x 0 xx 0 x y x y x 数的平均变化率 有极限 即无限趋近于某个常数 我们把这个极限值叫做函数 y x 在处的导数 记作或 yf x 0 xx 0 fx 0 x x y 即 0 fx 0 000 00 0 limlimlim xxxx f xxf xf xf xy xxxx 2 导数的物理意义 瞬时速度 设时刻一车从某点出发 在 时刻车走了一定的距离在时刻 车0t t SS t 01 tt 走了 这一段时间里车的平均速度为 当与很接近时 该 10 S tS t 10 10 S tS t tt 1 t 0 t 平均速度近似于时刻的瞬时速度 若令 则可以认为 即 0 t 10 tt 10 10 10 lim tt S tS t tt 就是时刻的瞬时速度 0 S t 0 t 3 思路提示 利用导数的定义 经过合理的添项 拆项与调配系数 凑成导数的极限定义 的等价形式 例例 1 1 设存在 求下列各式极限 0 fx 00 0 3 lim x f xxf x x 00 0 lim h f xhf x h 例例 2 2 若 则等于 00 0 2 lim1 3 x f xxf x x 0 fx 2 A B C D 2 3 3 2 32 例例 3 3 设在处可导 则等于 f x 0 x 00 0 3 lim x f xxf xx x A B C D 0 2 fx 0 fx 0 3 fx 0 4 fx 例例 4 4 若既是周期函数 又是偶函数 则其导函数 yf x yfx A 既是周期函数 又是偶函数 B 既是周期函数 又是奇函数 C 不是周期函数 但是偶函数 D 不是周期函数 但是奇函数 例例 5 5 已知函数 那么的值为 2 0 0 xx yf x x x 0 x y A B C 或 D 不存在0110 例例 6 6 已知 其中 则的值为 2 2 lim2 1 x x axb x a bR ab A B C D 6 2 26 例例 7 7 已知 若 则等于 mNa bR 0 1 lim m x xa b x ab A B C D m m1 1 例例 8 8 等于 1 32 lim 1 x x x A B C D 不存在 1 2 0 1 2 例例 9 9 已知 则 3 4 3 1ff 3 43 lim 3 x xf x x 例例 10 10 已知定义在上的函数 若则R f x g x 0 1 1 lim 2 x f xxg xg x 在处的导数 f x0 x 0 f 例例 11 11 如图 函数的图象是折线段 其中的坐标分别为 157 f xABC A B C 0 4 则 2 0 6 4 0ff 0 11 lim x fxf x 例例 12 12 设等差数列的前项和为 若则 n an n S 13 12 aS 2 lim n n S n 3 例例 13 13 2 1 1 lim 34 x x xx 例例 14 14 已知函数 在点处连续 则 23 0 0 xx f x a x 0 x 2 22 1 lim n an a nn 例例 15 15 设 试求的值 使在处可导 2 1 1 xx f x axb x a b f x1x 知识点知识点 2 2 求函数的导数 1 导数的运算的法则 和 差 积 商 设 均可导 则 uu x vv x uvuv uvu vuv 2 0 uu vuv v vv 2 基本导数表 为常数 0 CC 1 nn xnxnQ ln xx aaa xx ee 1 log ln a x xa 1 ln x x sin cosxx cos sinxx 3 思路提示 对于简单函数的求导 关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基 本函数的形式 以免求导过程中出现指数或系数的失误 例例 1 1 求下列函数的导数 5 yx 4 1 y x 53 yx 10 xy 2 logyx sinyx 例例 2 2 则等于 sin lncos lnyxxx y A B C D 2cos ln x 1 2cos ln x 2sin ln x sin ln x 例例 3 3 的导数为 2 L f L g fL A B C D 2 gL gL 1 2 gLL 例例 4 4 设函数 导函数为 则下列关于导函数的说法正 1 sin2sin 2 f xxx fx fx 确的是 A 仅有最小值的奇函数 B 既有最大值 又有最小值的偶函数 4 C 仅有最大值的偶函数 D 非奇非偶函数 例例 5 5 记 则 22 xxxx eeee shxchx shx A B C D shx shxchxchx 例例 6 6 二次函数导函数为 已知 且对任意实数 有 2 f xaxbxc fx 0 0f x 则的最小值为 0f x 1 0 f f 例例 7 7 已知函数 则的值为 cossin 4 f xfxx 4 f 知识点知识点 3 3 复合函数求导 1 复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数之间具有关系 yf g x yf u yf u 该关系用语言表述就是 对的导数等于对的导数与对的导数 xux yyu yxyuux 的乘积 也就是先把当做一个整体 把对求导 再把对 g x yf g x g x g x 求导 这二者的乘积就是复合函数对的导数x yf g x x 例例 1 1 求下列函数的导数 32x ye 2 log21yx sin 2 3 yx 1 1 y x 例例 2 2 函数的导数为 cos2sinyxx A B cos 2sin2 2 x x x cos 2sin2 2 x x x C D sin 2sin2 2 x x x cos 2sin2 2 x x x 例例 3 3 函数的导数是 sin sin cos cosyxx A cos cos sinsin sin cosyxxxx B cos cos sinsin sin cosyxxxx C sin coscos sinyxx D cos2yx 5 例例 4 4 函数的导数为 sin lncos lnyxx A B coslnsinlnxx x coslnsinlnxx x C D coslnsinlnxx coslnsinlnxx 例例 5 5 求函数的导数 sin cos x yx 例例 6 6 求函数的导数1yx 知识点知识点 4 4 导数的几何意义 1 导数的几何意义 函数在定点处的切线斜率 函数在处的导数 表示曲线在点处的切线 yf x 0 x 0 fx yf x 00 P xf x 的斜率 即 如图所示 过点的切线方程为PT 0 tan fx 3 1P 同样可以定义曲线在的法线为过点与 000 yyfxxx yf x 0 x 00 P xf x 曲线在的切线垂直的直线 过点的法线方程为 yf x 0 xx P 000 0 1 0 yyxxfx fx 例例 1 1 设函数是上以为周期的可导偶函数 则曲线在处的切线斜 f xR5 yf x 5x 率为 A B C D 1 5 0 1 5 5 例例 2 2 下列各函数在点处没有切线的是 0 x A B 3 sinyxx 2 cosyxx C D 3 1yx cosyxx 6 例例 3 3 若是曲线的一条切线 则 0y 3 yxbxc 32 32 bc A B C D 1 012 例例 4 4 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 2 3ln 4 x yx 1 2 A B C D 321 1 2 例例 5 5 若在曲线上取一点 使过点的切线与直线平行 sin 0 yxx MM 3 2 yx 则点坐标为 M A B C D 3 32 3 32 1 6 2 3 62 例例 6 6 如果一直线过原点且与曲线相切于点 那么切点的坐标为 1 1 y x PP A B C D 1 2 2 1 2 2 3 2 1 1 2 3 例例 7 7 已知函数 3 f xxx I 求曲线在点处的切线方程 yf x M t f t II 设 如果过点可作曲线的三条切线 证明 0a a b yf x abf a 例例 8 曲线 3ln1yxx 在点 1 1处的切线方程为 例例 9 曲线 3 3yxx 在点 1 3 处的切线方程 例例 1010 曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点 0 4 M 处的切线的斜率为 A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 例例 11 曲线 x ye 在点 1 0 处的切线斜率为 例例 12 已知点P在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取值范 围是 7 A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 例例 13 若曲线 2 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 例例 14 设直线 1 2 yxb 是曲线lnyx 0 x 的一条切线 则实数b的值为 例例 15 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相 2 1yx 0 xx 3 1yx 0 xx 平行 则的值为 0 x 例例 16 已知函数 2 ln 0 f xxaxx a I 若曲线在点处的切线斜率为 求的值以及切线方程 yf x 1 1 f2 a II 若是单调函数 求的取值范围 f xa 例例 17 已知函数 2 ln 1 0 2 x f xxxxk 当 2 时 求曲线在点处的切线方程 k yf x 1 1 f 求的单调区间 f x 例例 18 已知函数 b 2 f xxaab a bR a I 当时 求曲线在点处的切线方程 1 2ab yf x 2 f x II 设是的两个极值点 是的一个零点 且 12 x x f x 3 x f x 31 xx 32 xx 证明 存在实数 使得 按某种顺序排列后的等差数列 并求 4 x 1234 x x x x 4 x 例例 19 已知函数 其中 32 4361 f xxtxtxtxR tR 8 当时 求曲线在点处的切线方程 1t yf x 0 0 f 当时 求的单调区间 0t f x 证明 对任意的在区间内均存在零点 0 tf x 0 1 例例 20 设函数 32 2f xxaxbxa 2 32g xxx 其中xR 为常数 a b 已知曲线 yf x 与 yg x 在点处有相同的切线 2 0 l I 求的值 并写出切线 的方程 a bl II 若方程 f xg xmx 有三个互不相同的实根 0 1 x 2 x 其中 12 xx 且 对任意的 12 xx x 1 f xg xm x 恒成立 求实数 m 的取值范围 知识点知识点 5 5 综合 例例 1 1 求下列函数的导数 5 yx 4 1 y x 53 yx 10 xy 2 logyx sinyx 例例 2 2