双曲线知识点总结

1 2 双曲线知识点双曲线知识点 知识点一 双曲线的定义知识点一 双曲线的定义 在平面内 到两个定点在平面内 到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数的距离之差的绝对值等于常数 大于大于 0 0 且且 的动点的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线 这两个定点这两个定点 叫双曲线的焦点 两焦点的距离叫作双叫双曲线的焦点 两焦点的距离叫作双 曲线的焦距曲线的焦距 注意 注意 1 1 双曲线的定义中 常数双曲线的定义中 常数应当满足的约束条件 应当满足的约束条件 这可以 这可以 借助于三角形中边的相关性质借助于三角形中边的相关性质 两边之差小于第三边两边之差小于第三边 来理解 来理解 2 2 若去掉定义中的若去掉定义中的 绝对值绝对值 常数 常数满足约束条件 满足约束条件 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支 若的一支 若 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支 的一支 3 3 若常数若常数满足约束条件 满足约束条件 则动点轨迹是以 则动点轨迹是以 F F1 1 F F2 2为端点的为端点的 两条射线 包括端点 两条射线 包括端点 4 4 若常数 若常数满足约束条件 满足约束条件 则动点轨迹不存在 则动点轨迹不存在 5 5 若常数 若常数 则动点轨迹为线段 则动点轨迹为线段 F F1 1F F2 2的垂直平分线 的垂直平分线 知识点二 双曲线知识点二 双曲线与与的简单几何性质的简单几何性质 标准方程标准方程 图形图形 焦点焦点 焦距焦距 范围范围 对称性对称性关于关于 x x 轴 轴 y y 轴和原点对称轴和原点对称 顶点顶点 轴长轴长实轴长实轴长 虚轴长 虚轴长 性质性质 离心率离心率 2 2 渐近线方渐近线方 程程 1 通径通径 过焦点且垂直于实轴的弦过焦点且垂直于实轴的弦 其长其长 a b2 2 2 2 等轴双曲线等轴双曲线 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即 2a 2b 时 我们称这样的双曲线为时 我们称这样的双曲线为 等轴双曲线 其等轴双曲线 其离心率离心率 两条渐近线互相垂直为两条渐近线互相垂直为 等轴双曲线可设为等轴双曲线可设为 3 3 与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为有公共渐近线的双曲线方程可设为 焦点在焦点在轴上 轴上 焦点在 焦点在 y y 轴上 轴上 4 4 焦点三角形的面积焦点三角形的面积 其中 其中 2 cot 2 2 1 bS FPF 21PF F 5 5 双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为 b b 6 6 在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为 0 1 22 mnnymx 7 7 椭圆 双曲线的区别和联系 椭圆 双曲线的区别和联系 椭圆椭圆双曲线双曲线 根据根据 MF MF1 1 MF MF2 2 2a 2a根据根据 MF MF1 1 MF MF2 2 2a 2a a a c c 0 0 a a2 2 c c2 2 b b2 2 b b 0 0 0 0 a a c c c c2 2