二次函数的图像与性质及练习

1 9 二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质 一 二次函数概念 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫 2 yaxbxc abc 0a 做二次函数 说明 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而可以为0a bc 零 二次函数的定义域是全体实数 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二 二次函数的基本形式二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2 yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2 yaxc 上加下减 3 的性质 2 ya xh 左加右减 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小值yx0 x y 0 0a 向下 00 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大值yx0 x y 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小值yx0 x y c 0a 向下 0c 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大值yx0 x y c 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小值yxxh y 0 2 9 4 的性质 2 ya xhk 5 二次函数二次函数的性质的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随的增大而减小 当时 随的增大而增大 当 2 b x a yx 2 b x a yx 时 有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 时 随的增大而增大 当时 随的增大而减小 当时 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a 有最大值 y 2 4 4 acb a 三 二次函数图象的平移三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 0a 向下 0h X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大值yxxh y 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小值yxxh y k 0a 向下 hk X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大值yxxh y k 3 9 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿轴平移 向上 下 平移个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 四 二次函数四 二次函数与与的比较的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过 2 ya xhk 2 yaxbxc 配方可以得到前者 即 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 五 二次函数解析式的表示方法五 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以 写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式才可以x 2 40bac 用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 六 二次函数的图象与各项系数之间的关系六 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之的值越小 开口越0a aa 大 当时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之的值越大 开口越0a aa 大 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决aaa 定开口的大小 2 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 4 9 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 的符号的判定 对称轴在轴左边则 在轴的右侧则 ab a b x 2 y0 aby0 ab 概括的说就是 左同右异 总结 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy 负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 4 利用二次函数与轴的交点的个数来确定判别式的符号 利用特殊点的坐标确定特x 殊代数式的值的范围 有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数 的解析式必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几 种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 二次函数的图像与性质 应用举例 例 1 小强从如图所示的二次函数的图象中 观察得出了下面五条信息 2 yaxbxc 1 2 3 4 5 你0a 1c 0b 0abc 0abc 认为其中正确信息的个数有 C A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 1 0 12 y x 1 3 x 5 9 例 2 已知二次函数 的图象如图所示 2 yaxbxc 有以下结论 0abc 1abc 0abc 其中所有正确结论的序号是 C 420abc 1ca A B C D 例 3 小明从图所示的二次函数的图象中 观察得出了下面五条信息 2 yaxbxc 你认为其中正确信0c 0abc 0abc 230ab 40cb 息的个数有 C A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 分析 错误 由得 由前面的分析知 又由题图知当 1 23 b a 230ab 3 2 ab 时 将代入中得 2x 420yabc 2x 420abc 40cb 练 已知二次函数的图象如图所示 有下列 0 2 acbxaxy 5 个结论 0 abccab 024 cba 的实数 其中正确的结论有bc32 bammba 1 m C A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 分析 由图可知 从而 错误 又当0 1 0 2 b ac a 20 0baabc 时 错误 由抛物线的对称轴为直线知 当与1x 0yabc 1x 0 x 时函数值相等 所以 正确 因为2x 所以 正确 因为二次函数的对23222222 0cbcbbcbaabc 称轴为直线 所以当时 函数取得最大值 即当时的函数值小于1x 1x 1 mxm 当时的函数值 所以 得1x 2 abcambmc 所以 正确 bammba 例 4 如图 是二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的一部分 给出下列命题 a b c 0 b 2a ax2 bx c 0 的两根分别 为 3 和 1 a 2b c 0 其中正确的命题是 只要 求填写正确命题的序号 分析 由图知 正确且 所以 所以 错1 2 b a 20ba 1 1 1 Ox y 121 1 O 1 x y 6 9 误 由 正确得 所以 所以 错误 cab 2230abcababb 练 1 已知二次函数的部分图象如图所示 它的顶点的横坐标 2 0yaxbxc a 为 1 由图象可知关于的方程的两根为x 2 0axbxc 3 12 1 xx 2 二次函数图象的对称轴是直线 其图象的一部分如图所1x 示 对于下列说法 0 0 0 当 1 x 3 时 abcabc 3ac y 0 其中正确的是 把正确的序号都填上 分析 由图可知 抛物线的对称轴为直线 与轴的一个交点为 得 1x x 3 01 2 b a 与轴的另一个交点为 所以 2ba x 1 0 0abc 30acabc 例 5 在同一直角坐标系中 函数和 是常数 且ymxm 2 22ymxx m 的图象可能是 C 0m 例 6 1 已知二次函数的图象以 A 1 4 为顶点 且过点 B 2 5 求该函数的关系式 求该函数图象与坐标轴的交点坐标 答 交点坐标 2 23yxx 1 0 3 0 2 抛物线过 1 0 3 0 1 4 三点 求二次函数的解析式 答 2 23yxx 例 7 已知函数是关于的二次函数 求 2 4 281 mm ymxx x 1 求满足条件的的值 m 2 为何值时 抛物线有最低点 最低点坐标是多少 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而m 增大 3 m 为何值时 抛物线有最大值 最大值是多少 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 答 1 或 3m 2m x y O x y O x y O x y O 7 9 例 8 1 利用配方求函数的对称轴 顶点坐标 2 1 4 4 yxx 21 25 4 yx 2 利用公式求函数的对称轴 顶点坐标 2 1 617 2 yxx 6 6 12 2 2 b a 2 2 1 4176 434362 1 142 4 2 acb a 例 9 已知二次函数的图象的对称轴是 且最高点在直线 22 24ymxmxn 2x 上 求这个二次函数的解析式 1 1 2 yx 答 2 42yxx 例 10 如图 二次函数的图象经过坐标原点 与 x 轴交于点 A 4 0 2 4yaxxc 1 求二次函数的解析式 2 在抛物线上存在点 P 满足 请直接写出点 P 的坐标 8 AOP S 答 P 的坐标为或 2 4yxx 22 2 2 22 2 2 例 11 如图 抛物线经过直线与坐标轴的两个交点 A B 此抛物 2 yxbxc 3yx 线与轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D x 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 APC S ACD S 4 的点 P 的坐标 答 C D 所以 2 23yxx 1 0 1 4 8 ACD S P 的坐标为或 10 APC S 4 5 2 5 二次函数练习试题二次函数练习试题 一 选择题一 选择题 1 二次函数的顶点坐标是 2 47yxx 8 9 A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的 2 ykxk 0 k yk x 3 已知二次函数的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 当 2 0 yaxbxc a 和时 函数值相等 当时 的值只能1x 3x 40ab 2y x 取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 已知二次函数的顶点坐标 1 3 2 及 2 0 yaxbxc a 部分图象 如图 由图象可知关于的一元二次方程x 的两个根分别是 2 0axbxc 12 1 3xx 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 5 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为 y A B 2 2yxx 2 2yxx C 或 D 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二 填空题二 填空题 6 二次函数的对称轴是 则 2 3yxbx 2x b 7 已知抛物线 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 2 235yx 8 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0 时 函数值随自变量的xyx 增大而增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 9 抛物线的顶点为 C 已知直线过点 C 则这条直线与两坐 2 2 2