缸体型线是双弧外摆线的等距曲线ppt课件.ppt

几何学与科学技术 引言 一个理想的倡导学科学用科学的社会氛围应当具有 第一 能使十分严谨但略呆板的课堂内容变为活生生的社会常识 倘使我们能有办法让每个人在面对社会时 能像牛顿所说的那样 在在慎思 善莫大矣 第二 能让人们在各自工作领域中自觉养成理性思考的习惯 时时改善本职工作 以使人人能成为高科技时代的参与者 而不是同路人 钱伟长 一 圆锥曲线在宇宙中的应用 下图表明 当一个平面与两个圆锥体相交时会产生 圆 椭圆 抛物线和双曲线 1 圆锥曲线的实例抛物线 喷水的弧线闪光灯反射面的形状椭圆 某些行星和某些彗星的轨道双曲线 某些彗星和另一些天体的轨道圆 水塘中激起的波纹圆形的轨道轮子自然界中的物体在宇宙中有许多构成圆锥曲线的例子 当代最为令人鼓舞的例子之一就是哈雷慧星 天体的轨道是这样一种观念 它应能很容易用方程或它们的曲线加以描述 研究曲线图有时能够揭示轨道的循环和周期 2 开普勒的行星定律 跟伽里略一样 开普勒也是个坚定的日心说者 但他对太阳系的看法十分有趣 从下面的说明可以看出 几何原本 仍然是当时人们仅有的数学工具 原本 的后几卷里曾经介绍过正多面体 一共写出了5种 后来被证明 正多面体事实上也只有这5种 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体和正二十面体 对于当时仅发现的6大行星 水星 金星 地球 火星 木星和土星 他是这样来给它们安排位置的 首先它们全在不同的6个球面上运动 将地球运动的球面外接一个正十二面体 则火星便在它的外接球面上 在这个球面上外接一个正四面体 则木星便在它的外接球面上 再在这个球面上外接一个正六面体 则土星便在它的外接球面上 现在在地球运动球面上内接一个正二十面体 则它的内接球面便是金星的运动球面 再在这个球面作一个内接正八面体 则水星便在它的内接球面上 1609年他发表了经过6年辛苦研究的成果 即我们现在都已熟知的开普勒三大定律 1 椭圆轨道律 每一个行星都在一条椭圆轨道上运行 太阳位于椭圆的一个焦点上 2 面积律 在椭圆轨道的任何处 相同时间内行星和太阳连线扫过的面积总是相等的 3 周期律 行星运行周期的平方与行星和太阳的平均距离的立方成正比 平均距离指椭圆的长轴的一半 这段历史生动地告诉我们 2000年前希腊人发现地圆锥曲线终于在科学地发展中作出了巨大的贡献 二 圆锥曲线在现实生活中的应用 1 1792年建造的美国国会大厦 以其非电子窃听设计 而符合于这一目的 在国会巨大圆顶厅 在这个厅里 当时有一位阿达姆的议员 发现了一种奇特的声学现象 在厅一边的某个定点 人们能够清楚地听到位于厅的另一边的人的谈话 而所有站在两者之间的人 都听不到他们的声音 他们发出的噪音也并不使传递于大厅间的谈话声变得模糊 阿达姆的桌子正巧坐落在抛物天花板的一个焦点 这样 他便能很容易地窃听到位于另一个焦点的其他国会议员的私人谈话 声音经抛物反射镜 在上述情况下为天花板圆顶 的反射 平行地抵达相对的抛物反射镜 再经反射而会聚于它的焦点 这样 原先在一个焦点的全部声音 便传到相对的焦点来 2 在远离希腊的西密岛上 那里有一个半球形的太阳能蒸馏装置 供应岛上4000个居民每人每天约一加仑的淡水 太阳的热量使中心部分供应的海水蒸发 然后淡水凝结在透明的半球形圆顶的下方 并沿着顶面往下流 流到圆顶的边缘收集起来 三 几何学在古代工程测量中的应用 一 海船测距 二 金字塔测高 三 隧道测向 一 海船测距 这个问题是泰勒斯 Thales 提出的 他还提出勒金字塔的测高问题 对于生活在2600余年 公元前约600年 前的泰勒斯 至今人们所知甚少 只知道是希腊哲学的奠基人之一 并被希腊人和罗马人尊为 希腊七贤 之一 是他最早将几何研究引进希腊 人们称之为演绎推理之父 他既是一位数学家 又是一名教师 一名哲学家 一名天文学家 一个精明的商人 而且是第一个采用一步步证实的办法来证明自己结论的几何学家 在上图 a 中 我们需要测量海船B与岸边A点处的距离 泰勒斯的方法如下 从A点沿海岸垂直于AB方向行走任意一段距离 作一个标记S 要求S较高 以能目测一切 图 b 随后继续往前走上相同距离至C点 然后转一个直角 朝远离海岸方向行走 如果当他走到E点时正好看到海船在点S的后面 即点E S及海船在一条直线上 则CE长便是所要测量的海船距离 那时没有任何平面几何 当然更没有全等三角形的概念 时间是公元前600年 在那个时代 他能够想到利用这种方法进行测量已经使很伟大的了 二 金字塔测高 公元前585年 泰勒斯正确地预言了当时的日蚀 他还利用影子和相似三角形来计算大金字塔地高度 并使埃及人为之震惊 图中的四棱锥为金字塔 左边的小三角形表示一个装置 即在平地上树起一根3米的杆子 在某一时刻 它在太阳光底下的影子比方说是4 8米 泰勒斯在同一时刻测得金字塔在太阳光底下的影子是235米 因为这数字是在同一时刻测出的 故由于那两个粗线三角形相似 从而泰勒斯测得的塔高应从下式来计算 金字塔高 235 3 8 146 875 米 要注意的是 此处比例值 杆高 杆影长 是解决问题的关键 其实这个数在一天里的不同时刻有着不同的值 因为这个数来自太阳在地平线上升起的角度 泰勒斯特地根据不同的太阳高度编了一张表如下 有个这张表 我们可以把泰勒斯的方法总结如下 1 先测出待求物体某一时刻在太阳光下的影子长度s 2 测定太阳在地平线上的角度H 通常我们称之为仰角 在上面的这张表中找出与仰角相应的数R 3 数s R便是所求物体的高度 我们可以看到泰勒斯利用两个三角形相似 它们的对应角度数相等 对应边的长度成比例 而上面的那张表正好就是我们熟悉的正切三角函数表 也许这张表正是历史上第一张三角函数表 三 隧道测向 著名希腊历史学家希罗陶图斯 Herodotus 生活在泰勒斯前约100年 在他的著作中曾经描写过希腊萨摩 Samos 岛的三项工程 其中有一个是有关打通卡斯特洛 Castro 山向萨摩岛首府引水的隧道工程 2500年以后 考古学家们于1882年真的发现勒希罗陶图斯描写过的那条隧道 这条隧道长1千米 高与宽约2米 使人们感到惊奇的是那条隧道建造之精良 使考古学家感兴趣的是 当时人们是怎样为开掘隧道测定方向的 因为那时 几何原本 还没有诞生 换句话说 2500年以前 人们已经表现出掌握相似三角形得聪明睿智 图中隧道的入口是A与B 位于卡斯特洛山的两侧 先在图中那样作出点E F G H 其中已知距离分别是BE 750米 EF 1000米 FG 2000米 GH 800米 HA 250米 这些数字都是暂设的 现在三角形ABC位于山下 无法直接测得 但由减法已可知AC 200米 BC 1000米 因此三角形得两个直角边的比 常称勾股比 为1比5 要想知道隧道方向 在隧道出口处A与B点如图作两个适当得三角形 即三角形BOP BO 50米 OP 10米 和三角形AQR 例如 取AQ 50米 QR 10米 现在一切都清楚了 由于上面两个小三角形和三角形ABC都是相似直角三角形 因此RA或PB的方向便是我们所要的隧道方向 四 几何学在科学技术方面的应用 问题1板金零件的展开图问题2飞机机翼的整流面问题3三角活塞旋转式发动机的缸体型线问题4圆钢矫直机的辊子曲面 问题1板金零件的展开图 图a是我们通常见到的二通管道变形接头或炉筒拐脖的示意图 要制造这类零件 先按照零件展开图的度量尺寸 展平曲线 在薄板 铁皮或铝板等 上下料 然后弯曲成型 并将各部分焊接在一起 为了获得零件展开图的展平曲线 必须求出截交线的方程 设圆柱管道的方程为 截平面的方程为 为求截平面与管道的截交线方程 将管道的方程改写成参数形式 将其代入截平面方程中 得 圆柱的底圆展平时有 即 这里s是弧长 将代入上式 上式即是截交线 截平面与圆柱管道的交线 的展平曲线方程 如果截平面是正垂面 平行y轴 则截交线的展平曲线方程为 即 这是一条调整过振幅的余弦曲线 见图b 图b 问题2飞机机翼的整流面 某型号飞机的机翼为直纹面 机翼表面上的信号灯 或称航向灯 突出部分的曲面称为整流面 是由两组不同方向的直母线相交织构成的曲面 整流面上四个不重合的点 可以确定整流面上的一小片曲面的方程 设四个点对应的向径分别表示为 这块整流面片的边界线均为直线 四条直线的方程可以表示为 由直线和直线确定的直纹曲面可以表示为 由直线和直线确定的直纹曲面可以表示为 显然两直纹曲面和在4个角点处的函数值相等 因此这块整流曲面的方程可以表示为 问题3三角活塞旋转式发动机的缸体型线 旋转式发动机是对内燃机结构的重大改革 它的活塞直接作旋转运动 这就可以提高转速 增大功率 并使结构紧凑 如图a所示 中间的三角形的部分是旋转活塞 它始终与外面的缸体型线紧密接触 缸体型线是双弧外摆线的等距曲线 缸体的理论型线 双弧外摆线 当时 圆的周长是圆的周长的一半 所以圆滚动两周后回到原处 这时点的轨迹是一条封闭的曲线 而且它由两条对称的弧组成 因此称它为双弧外摆线 见图b 把代入 就可以得到双弧外摆线的方程 式中 图a 图b 根据技术要求 实际型线是双弧外摆线的等距曲线 用表示双弧外摆线 实际型线是的外等距曲线 见图c 得出的方程 其中 图c 问题4圆钢矫直机的辊子曲面 由于各种原因 圆钢从热轧机中出来后 并不是笔直的 需要把它矫直 有一种专门的机器叫做矫直机 它由几对辊子组