极坐标方程与直角坐标方程的互化

精品文档 1欢迎下载 一 极坐标方程与直角坐标方程的互化一 极坐标方程与直角坐标方程的互化 1 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系下 已知圆 O cossin 和直线 2 sin 42 l 1 求圆 O 和直线l的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线l与圆 O 公共点的一个极坐标 2 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 sin2 设直线 的参数方程是 为参数 l ty tx 5 4 2 5 3 t 1 将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程 2 设直线 与轴的交点是 M N 为曲线 C 上一动点 求 MN 的最大值 lx 3 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为 C 2 22 36 4cos9sin 1 若以极点为原点 极轴所在的直线为轴 求曲线的直角坐标方程 xC 2 若是曲线上的一个动点 求的最大值 P x yC34xy 精品文档 2欢迎下载 5 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 经过点 倾斜角 l 1 1 P 6 1 写出直线 的参数方程 l 2 设 与圆 是参数 相交于两点 A B 求点 P 到 A B 两点的l 2cos 2sin x y 距离之积 6 本题满分 lO 分 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以 O 为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 的极方程xOyxl 为 圆 O 的参数方程为 为参数 2 sin 42 2 cos 2 2 sin 2 xr yr 0r I 求圆心的极坐标 当为何值时 圆 O 上的点到直线 Z 的最大距离为 3 r 6 1 圆心坐标为 1 分 2 2 2 2 设圆心的极坐标为 则 2 分1 2 2 2 2 22 所以圆心的极坐标为 4 分 4 5 1 2 直线 的极坐标方程为l 2 2 cos 2 2 sin 2 2 精品文档 3欢迎下载 直线 的普通方程为 6 分 l01 yx 圆上的点到直线 的距离 l 2 1sin 2 2 cos 2 2 rr d 即 7 分 2 1 4 sin 22 r d 圆上的点到直线 的最大距离为 9 分 l3 2 122 r 10 分 2 24 r 7 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 已知直线 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标方程为 l ty tx 3 2 12cos 2 1 求曲线 C 的普通方程 2 求直线 被曲线 C 截得的弦长 l 7 1 由曲线 2222 cos2 cossin 1 C 得化成普通方程 222 cos2sin 1 5 分 22 1xy 2 方法一 把直线参数方程化为标准参数方程 为参数 1 2 2 3 2 xt yt t 把 代入 得 2 2 13 21 22 tt 整理 得 2 460tt 设其两根为 12 t t 则 8 分 1212 4 6ttt t 精品文档 4欢迎下载 从而弦长为 10 分 22 12121 2 444 6 402 10 ttttt t 方法二 把直线 的参数方程化为普通方程为l 3 2 yx 代入 22 1 xy 得 6 分 2 212130 xx 设 与 C 交于l 1222 A x xB xy 则 8 分 1212 13 6 2 xxxx 10 分 22 1212 1 3 42 6262 10 ABxxx x 1 1 0909 广东理广东理 1414 坐标系与参数方程选做题 若直线 1 2 23 xt yt t 为参数 与直线 41xky 垂直 则常数k 解析 将 1 2 23 xt yt 化为普通方程为 37 22 yx 斜率 1 3 2 k 当0k 时 直线41xky 的斜率 2 4 k k 由 12 34 1 2 k k k 得6k 当0k 时 直线 37 22 yx 与直线41x 不垂直 综上可知 6k 答案 6 3 3 天津理天津理 13 13 设直线 1 l的参数方程为 1 1 3 xt yt t 为参数 直线 2 l的方程为 y 3x 4 则 1 l与 2 l的距离为 解析 由题直线 1 l的普通方程为023 yx 故它与与 2 l的距离为 5 103 10 24 答案 5 103 4 4 0909 安徽理安徽理 1212 以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中 取相同的长度单位 已知直线的极坐标方程为 4 R 它与曲线 精品文档 5欢迎下载 12cos 22sin x y 为参数 相交于两点 A 和 B 则 AB 解析 直线的普通方程为yx 曲线的普通方程 22 1 2 4xy 22 1 2 2 2 14 1 1 AB 答案 6 6 0909 海南海南 2323 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 4cos 3sin xt yt t 为参数 C2 8cos 3sin x y 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t Q 为 C2上的动点 求PQ中点M到直线 3 32 2 xt C yt t 为参数 距离的最小值 解 22 22 12 4 3 1 1 649 xy CxyC 1 C为圆心是 4 3 半径是 1 的圆 2 C为中心是坐标原点 焦点在 x 轴上 长半轴长是 8 短半轴长是 3 的椭圆 当 2 t 时 3 4 4 8cos 3sin 24cos 2sin 2 PQM 故 3 C为直线 3 5 270 4cos3sin13 5 xyMCd 到的距离 从而当 43 cos sin 55 时 8 5 5 d取得最小值 C C 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 1 3 xt t yt t t为参数 0t 求曲线 C 的普通方程 精品文档 6欢迎下载 解析 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 因为 2 1 2 xt t 所以 2 1 2 3 y xt t 故曲线 C 的普通方程为 2 360 xy 1010 0909 辽宁理辽宁理 2323 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1 M N 分别为 C 与 x 轴 y 轴的交点 1 写出 C 的直角坐标方程 并求 M N 的极坐标 2 设 MN 的中点为 P 求直线 OP 的极坐标方程 解 由得1 3 cos 1 sin 2 3 cos 2 1 从而 C 的直角坐标方程为 2 3 32 3 32 2 0 2 20 23 1 2 3 2 1 N M yx yx 所以时 所以时 即 M 点的直角坐标为 2 0 N 点的直角坐标为 3 32 0 所以 P 点的直角坐标为 6 3 32 3 3 1 点的极坐标为则P 所以直线 OP 的极坐标方程为 1 1 20082008 广东理 广东理 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 12 CC 的极坐标方 程分别为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 答案 2 3 6 5 5 20082008 宁夏理 宁夏理 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 精品文档 7欢迎下载 已知曲线 C1 cos sin x y 为参数 曲线 C2 2 2 2 2 2 xt t yt 为参数 1 指出 C1 C2各是什么曲线 并说明 C1与 C2公共点的个数 2 若把 C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 1 C 2 C 写出 1 C 2 C的参数方程 1 C与 2 C公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同 说 明你的理由 解 1 1 C是圆 2 C是直线 1 C的普通方程为 22 1xy 圆心 1 0 0 C 半径1r 2 C的普通方程为20 xy 因为圆心 1 C到直线20 xy 的距离为1 所以 2 C与 1 C只有一个公共点 2 压缩后的参数方程分别为 1 C cos 1 sin 2 x y 为参数 2 C 2 2 2 2 4 xt yt t为参数 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 其判别式 2 2 2 4 2 10 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点 和 1 C与 2 C公共点个数相同 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 设 P x y 是椭圆1 3 2 2 y x 上的一个动点 求 S x y 的最大值 C 解 解 由椭圆 sin cos3 1 3 2 2 为参数的参数方程为 y x y x 故可设动点 P 的坐标为 sin sin3 其中 20 精品文档 8欢迎下载 因此 3 sin2sin 2 1 cos 2 3 2sincos3 yxS 所以当 2 6 取得最大值时 S 1 1 辽宁省抚顺一中 辽宁省抚顺一中 20092009 届高三数学上学期第一次月考 届高三数学上学期第一次月考 极坐标方程 cos 化为直角 坐 标方程为 A x 2 1 2 y2 4 1 B x2 y 2 1 2 4 1 C x2 y 2 1 2 4 1 D x 2 1 2 y2 4 1 答案 D 4 4 20092009 广州一模 广州一模 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长为 答案 4 3 7 7 20092009 广东三校一模 广东三校一模 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 极坐标方程分别为 cos2 和 sin 的两个圆的圆心距为 答案 2 5 1 11 1 2 20 00 09 9 东东莞莞一一模模 参参数数方方程程与与极极坐坐标标选选做做题题 在极坐标系中 点 1 0到直线 cossin2 的距离为 答案 2 2 1313 20092009 江门一模 江门一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 P是曲线 sincos 1 sin2 x y 2 0 是参数 上一点 P到点 2 0 Q距离的最小值是 答案 2 7 1616 20092009 茂名一模 茂名一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 把极坐标方程cos 1 6 化为直 角 坐标方程是 精品文档 9欢迎下载 答案 320 xy 2222 20092009 韶关一模 韶关一模 在极坐标系中 圆心在 2 且过极点的圆的方程为 答案 2 2cos 2525 20092009 深圳一模 深圳一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标系中 曲线 1 C的参数方程 为 0 sin cos y x 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C在极坐标系中 的方程为 cossin b 若曲线 1 C与 2 C有两个不同的交点 则实数b的取值范围 是 答案 21 b 2828 20092009 湛江一模 湛江一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 若过点 0 3 A且与极轴 垂直的直线交曲线 cos4 于 A B 两点 则 AB 答案 32 4141 20092009 厦门一中 厦门一中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已知直线l经过点 1 1 P 倾斜角 6 设l与曲线 2cos 2sin x y 为参数 交于两点 A B 求点P到 A B两点的距离之积 解 直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt 即 3 1 2 1 1 2 xt yt 曲线的直角坐标方程为4 22 yx 把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入4 22 yx 得 222 31 1 1 4 31 20 22 tttt 1 2 2t t 则点P到 A B两点的距离之积为2 精品文档 10欢迎下载 4242 20092009 厦门二中 厦门二中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已知直线l的参数方程 ty tx 41 2 t为 参 数 圆 C 的极坐标方程 4 sin22 试判断直线l与圆 C 的位置关系 解 将直线l的参数方程化为普通方程为 12 xy 将圆C 的极坐标方程化为普通方程为 211 22 yx 从圆方程中可知 圆心 C 1 1 半径2 r 所以 圆心 C 到直线l的距离rd 2 5 2 1 2 1112 22 所以直线l与圆C 相交 4343 20092009 厦门集美中学 厦门集美中学 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 求曲线 2cos sin y x 过点 2 0 的切线 方程 2 sin21 sin yx 消去参数 得12 2 yx 设切线为2 kxy 代入得012 2 kxx 令08 2 k 得22 k 故222 xy即为所求 或xy4 设切点为 ba 则斜率为 a a a b a 2212 4 2 解得 2 2 a 即得切线方程 4444 20092009 厦门乐安中学 厦门乐安中学 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 在极坐标系中 设圆3 上的点到直 线 cos3sin2 的距离为d 求d的最大值 解 将极坐标方程3 转化为普通方程 22 9xy cos3sin2 可化为32xy 在 22 9xy 上任取一点 A 3cos 3sin 则点 A 到直线的距离为 0 3cos3 3sin26sin 30 2 22 d 它的最大值为 4 4545 20092009 厦门十中 厦门十中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已知圆 C 的参数方程为 为参数 sin23 cos21 y x 若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点 以原点 O 为极点 x 精品文档 11欢迎下载 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设过点 P 的圆 C 的切线为 l 求直线 l 的极坐标方 程 解 由题设知 圆心 0 2 3 1PC CPO 60 故过 P 点的切线飞倾斜角为 30 设 M 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点 则在 PMO 中 MOP 00 150 30 OPMOMP 由正弦定理得 00 30sin 2 sin150 sinsinOMP OP OPM OM 130sin 160cos 00 或 即为所求切线的极坐标方程 4646 20092009 厦门英才学校 厦门英才学校 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 求极坐标系中 圆2 上的点到直线 6sin3cos 的距离的最小值 解 由 2 即 2 4 则易得 22 4xy 由 6sin3cos 易得 360 xy 圆心 0 0 到直线的距离为 0 22 006 3 1 3 d 又圆的半径为 2 圆上的点到直线的距离的最小值为 0 2321dd 5353 20092009 通州第四次调研 通州第四次调研 求经过极点 9 0 0 6 6 2 24 OAB 三点的圆的极坐标 方程 解 将点的极坐标化为直角坐标 点 O A B的直角坐标分别为 0 0 0 6 6 6 故OAB 是以OB为斜边的等腰直角三角形 圆心为 3 3 半径为3 2 圆的直角坐标方程为 22 3318xy 即 22 660 xyxy 将cos sinxy 代入上述方程 得 2 6cossin0 即6 2cos 4 5454 20092009 盐城中学第七次月考 盐城中学第七次月考 若两条曲线的极坐标方程分别为1 与 3 cos2 它们相交于BA 两点 求线段AB的长 精品文档 12欢迎下载 解 由1 得 22 1xy 又 2 2cos cos3sin cos3 sin 3 22 30 xyxy 由 22 22 1 30 xy xyxy 得 13 1 0 22 AB 2 2 13 103 22 AB 1 2009 番禺一模 在直角坐标系中圆C的参数方程为 2cos 22sin x y 为参数 若以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴建立极坐标 系 则圆C的极坐标方程为 答案 4sin 16 2009 厦门同安一中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 若两条曲线的极坐标方程分别为 l 与 2cos 它们相交于A B两点 求线段AB的长 3 解解 由1 得 22 1xy 又 2 2cos cos3sin cos3 sin 3 22 30 xyxy 由 22 22 1 30 xy xyxy 得 13 1 0 22 AB 2 2 13 103 22 AB 7 分 17 2009 厦门北师大海沧附属实验中学 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 已知点 P 的直角坐标为 1 5 点 M 的极坐标为 4 若直线l过点 P 且倾斜角为 圆 C 以 M 为圆心 4 为半径 2 3 求直线l的参数方程和圆 C 的极坐标方程 试判定直线l和圆 C 的位置关系 解解 直线l的参数方程为 1 1 2 3 5 2 xt yt 圆C的极坐标方程为8sin 精品文档 13欢迎下载 因为4 2 M 对应的直角坐标为 0 4 直线l化为普通方程为3530 xy 圆心到直线l的距离 0453 93 5 23 1 d 所以直线l与圆C相离 1 1 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 若直线的参数方程为 12 23 xt t yt 为参数 则直线的斜率为 A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 解析 233 122 yt k xt 答案 D 2 2 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 下列在曲线 sin2 cossin x y 为参数上的 点是 A 1 2 2 B 3 1 4 2 C 2 3 D 1 3 解析 转化为普通方程 2 1yx 当 3 4 x 时 1 2 y 答案 B 3 3 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 将参数方程 2 2 2sin sin x y 为参数化为普 通方程为 A 2yx B 2yx C 2 23 yxx D 2 01 yxy 解析 转化为普通方程 2yx 但是 2 3 0 1 xy 答案 C 4 4 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 化极坐标方程 2 cos0 为直角坐标方 程为 A 2 01yy 2 x或 B 1x C 2 01y 2 x或x D 1y 解析 22 cos1 0 0 cos1xyx 或 答案 C 5 5 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 点M的直角坐标是 1 3 则点M的极坐 精品文档 14欢迎下载 标为 A 2 3 B 2 3 C 2 2 3 D 2 2 3 kkZ 解析 2 2 2 3 kkZ 都是极坐标 答案 C 6 6 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 极坐标方程cos2sin2 表示的曲 线为 A 一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆 解析 2 cos4sincos cos0 4sin 4 sin 或即 则 2 k 或 22 4xyy 答案 C 1111 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 直线 34 45 xt t yt 为参数的斜率为 解析 455 344 yt k xt 答案 5 4 1212 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 参数方程 2 tt tt xee t yee 为参数的普通 方程为 解析 2 2 4 22 2 2 2 ttt tt t y xexee yy xx y y ee xe 答案 22 1 2 416 xy x 1313 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 已知直线 1 1 3 24 xt lt yt 为参数与直线 2 2 45lxy 相交于点B 又点 1 2 A 则AB 解析 将 1 3 24 xt yt 代入245xy 得 1 2 t 则 5 0 2 B 而 1 2 A 得 5 2 AB 精品文档 15欢迎下载 答案 5 2 1414 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 直线 1 2 2 1 1 2 xt t yt 为参数被圆 22 4xy 截得的弦长为 解析 直线为10 xy 圆心到直线的距离 12 22 d 弦长的一半为 22 214 2 22 得弦长为14 答案 14 1515 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 直线cossin0 xy 的极坐标方程为 解析 coscossinsin0 cos 0 取 2 答案 2 2222 20072007 20082008 泰兴市蒋华中学基础训练 泰兴市蒋华中学基础训练 已知点 P x y是圆 22 2xyy 上的动点 1 求2xy