2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2 3 22 3 2 平面向量的正交分解和坐标表示平面向量的正交分解和坐标表示 学习目标学习目标 1 了解平面向量基本定理 理解平面向量的坐标的概念 2 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法 3 能够在具体问题中适当选取基底 使其他向量都能够用基底来表达 新知自学新知自学 知识回顾知识回顾 1 平面向量基本定理 如果 1 e 2 e是同一平面内的两个 向量 那么 对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使得 给定基底 分解形式惟一 1 2由a 1 e 2 e唯一确定 2 2 向量的夹角 已知两个非零向量a b 作aAO bBO 则 AOB 叫向 量a b 的夹角 当 a b 同向 当 a b 反向 同向 反向通称平行 当 称a 与b 垂直 记作a b 新知梳理新知梳理 由前面知识知道 平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示 当然也可以 用两个互相垂直的向量来表示 这样能给我们研究向量带来许多方便 1 平面向量的正交分解 把向量分解为两个 的向量 思考 在平面直角坐标系中 每一个点都可以用一对有序实数表示 平面内的每一个向 量 如何表示呢 2 平面向量的坐标表示 如图 在直角坐标系内 我们分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量 作为i j 基底 任作一个向量a 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数x y 使得 a x y i j 1 我们把 yx叫做向量a 的 直角 坐标 记作a x y 2 其中x叫做a 在x轴上的坐标 y叫做a 在y轴上的坐标 式叫做向量的坐标表示 与 2 a 相等的向量的坐标也为 yx 特别地 1 0 0 1 0 0 i j 0 3 在平面直角坐标系中 一个平面向量和其坐标是一一对应的 如图 在直角坐标平面内 以原点为起点作 a 则点A的位置由a 唯一确定 OOA 设 x y 则向量OA的坐标 yx就是点A的坐标 反过来 点A的坐标OA i j yx也就是向量OA的坐标 对点练习对点练习 1 如图 向量 是两个互相垂直的单位向量 向量a 与的夹角是 30 且i j i a 4 以向量 为基底 向量i j a y xO A a j i B AO P 2 在平面直角坐标系下 起点是坐标原点 终点 A 落在直线上 且模长为 1Oxy 的向量的坐标是 OA 合作探究合作探究 典例精析典例精析 例 1 请写出图中向量 的坐标OAOBBC 变式变式 1 1 请在平面直角坐标系中作出向量 其中 1 3 3 1 abab C 6 2 B 4 1 A 2 3 y x O 例例 2 2 如图所示 用基底 分别表示向量a 并求出它们的坐标 i j b c d 变式变式 2 2 已知 O 为坐标原点 点 A 在第一象限 求向量34 OA 0 60 xOA 的坐标OA 课堂小结课堂小结 向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系 它使得向量具有代数意义 将向量的起点平移到坐标原点 则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标 当堂达标当堂达标 1 已知力在水平方向与竖直方向的分力分别是 4 和 3 则力的实际大小是FF 若水平方向为 x 轴的正方向 竖直方向为 y 轴的正方向 则力的坐标表示是F 2 若 为单位向量 则的坐标 x y 就是 的坐标 即jyi xOA i jOA 若 x y 则点 A 的坐标就是 OA 3 如右图 OA 4 B 1 2 求向量 的坐标 AC CB OC y C B Ax0 课时作业课时作业 1 设 是平面直角坐标系内分别与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 且i j 则 OAB 的面积等于 42OAij 34OBij A 15 B 10 C 7 5 D 5 2 在平面直角坐标系中 A 2 3 B 3 4 如图所示 x 轴 y 轴上的两个单位向量分 别是和 则下列说法正确的是 2 3 3 4 OA i j OB i j 5 5 AB i j BA i j 3 如图所示的直角坐标系中 四边形 OABC 为等腰梯形 BC OA OC 6 则用坐标表示下列向量 0 60 AOC OC CB OB OA y O x A B C B 3 4 A 2 3 y x O 4 在直角坐标系 xoy 中 向量的方向如图所示 且 分别写 a b c 2 3 4abc 出他们的坐标 5 如图 已知 O 为坐标原点 点 A 在第一象限 求向量 4 3OA 0 60 xoA 的坐标 OA