高中数学所有的公式

精品文档 1欢迎下载 高中数学常用公式及结论高中数学常用公式及结论 1 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA AA 2 2 集合集合的子集个数共有的子集个数共有 个 真子集有个 真子集有个 非空子集个 非空子集 12 n a aa 2n21 n 有有个 非空的真子集有个 非空的真子集有个个 21 n 22 n 3 3 二次函数的解析式的三种形式 二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 当已知抛物线的顶点坐标 当已知抛物线的顶点坐标 2 0 hf xaakx 时 设为此式 时 设为此式 h k 3 3 零点式零点式 当已知抛物线与 当已知抛物线与 轴的交点轴的交点 12 0 f xa xxxax x 坐标为坐标为时 设为此式 时 设为此式 12 0 0 xx 4 4 切线式 切线式 当已知抛物线与直线 当已知抛物线与直线 0 2 0 xkxdf xa xa 相切且切点的横坐标为相切且切点的横坐标为时 设为此式 时 设为此式 ykxd 0 x 4 4 真值表 真值表 同真且真 同假或假同真且真 同假或假 5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式 原结论原结论反设词反设词原结论原结论反设词反设词 是是不是不是至少有至少有 一个一个 一个也没有一个也没有 都是都是不都是不都是至多有至多有 一个一个 至少有两个至少有两个 大于大于不大于不大于至少有至少有 个个n 至多有 至多有 1n 个个 小于小于不小于不小于至多有至多有 个个n 至少有 至少有 1n 个个 对所有对所有 x 成立成立 存在某存在某 不 不x 成立成立 或或pq且且p q 对任何对任何 x 不成立不成立 存在某存在某 成 成x 立立 且且pq或或p q 6 6 四种命题的相互关系四种命题的相互关系 下图下图 原命题与逆否命题同真同假 逆命 题与否命题同真同假 原命题 互逆 逆命题 精品文档 2欢迎下载 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 充要条件 充要条件 1 1 则 P 是 q 的充分条件 反之 q 是 p 的必pq 要条件 2 2 且 q p 则 P 是 q 的充分不必要条件 pq 3 3 p p 且 则 P 是 q 的必要不充分条件 qp 4 p p 且 q p 则 P 是 q 的既不充分 又不必要条件 7 7 函数单调性函数单调性 增函数 1 1 文字描述是 y 随 x 的增大而增大 2 2 数学符号表述是 设 f x 在 x D 上有定义 若对 任意的 都有 1212 x xDxx 且 成立 则就叫 f x 在 x D 上是增函数 D 则 12 f xf x 就是 f x 的递增区间 减函数 1 1 文字描述是 y 随 x 的增大而减小 2 2 数学符号表述是 设 f x 在 x D 上有定义 若对 任意的 都有 1212 x xDxx 且 精品文档 3欢迎下载 成立 则就叫 f x 在 x D 上是减函数 D 则 12 f xf x 就是 f x 的递减区间 单调性性质 1 1 增函数 增函数 增函数 2 2 减函数 减函数 减函数 3 3 增函数 减函数 增函数 4 4 减函数 增函数 减函数 注 上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的 是等号左边 两个函数定义域的交集 复合函数的单调性 函数 单调 单调性 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系 等价关系 1 1 设设那么那么 1212 x xa bxx 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 2 2 设函数设函数在某个区间内可导 如果在某个区间内可导 如果 则 则为增函为增函 xfy 0 x f xf 数 如果数 如果 则 则为减函数为减函数 0 x f xf 8 8 函数的奇偶性 注 函数的奇偶性 注 是奇偶函数的前提条件是 定义域必须关于 原点对称 奇函数 奇函数 精品文档 4欢迎下载 定义 定义 在前提条件下 若有 0fxf xfxf x 或 则 f x 就是奇函数 性质性质 1 奇函数的图象关于原点对称 2 奇函数在 x 0 和 x0 和 x 0 上具有相反相反的单调区间 奇偶函数间的关系 奇偶函数间的关系 1 1 奇函数 偶函数 奇函数 2 2 奇函数 奇函数 偶函数 3 3 偶奇函数 偶函数 偶函数 4 4 奇函数 奇函数 奇函 数 也有例外得偶函数的 5 5 偶函数 偶函数 偶函数 6 6 奇函数 偶函数 非奇 非偶函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y y 轴对称轴对称 反过来 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果 一个函数的图象关于一个函数的图象关于 y y 轴对称 那么这个函数是偶函数 轴对称 那么这个函数是偶函数 9 9 函数的周期性 函数的周期性 定义 定义 对函数 f x 若存在 T 0 使得 f x T f x 则就叫 f x 是周期函数 其中 T 是 f x 的一个周期 周期函数几种常见的表述形式 周期函数几种常见的表述形式 精品文档 5欢迎下载 1 1 f x T f x 此时周期为 2T 2 2 f x m f x n 此时周期为 2 mn 3 3 此时周期为 2m 1 f xm f x 1010 常见函数的图像 常见函数的图像 k0 y kx b o y x a0 y ax2 bx c o y x 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 1111 对于函数对于函数 恒成立恒成立 则函数则函数的对称的对称 xfy Rx xbfaxf xf 轴是轴是 两个函数两个函数与与 的图象关于直线的图象关于直线 2 ba x axfy xbfy 对称对称 2 ba x 1212 分数指数幂与根式的性质 分数指数幂与根式的性质 1 1 且 m nm n aa 0 am nN 1n 2 2 且 11 m n m nm n a a a 0 am nN 1n 3 3 n n aa 4 4 当 当 为奇数时 为奇数时 当 当 为偶数时 为偶数时 n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 1313 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 指数性质 指数性质 1 1 1 2 2 3 3 1 p p a a 0 1a 0a mnmn aa 4 4 5 5 0 rsr s aaaar sQ m nm n aa 指数函数 指数函数 1 1 在定义域内是单调递增函数 1 x yaa 2 2 在定义域内是单调递减函数 注 注 指数指数 01 x yaa 函数图象都恒过点 0 1 精品文档 6欢迎下载 对数性质 对数性质 1 1 2 2 logloglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 3 3 4 4 5 5 loglog m aa bmb loglog m n a a n bb m log 10 a 6 6 7 7 log1 aa logab ab 对数函数 对数函数 1 1 在定义域内是单调递增函数 log 1 a yx a 2 2 在定义域内是单调递减函数 注 注 对数对数log 01 a yxa 函数图象都恒过点 1 0 3 3 log0 0 1 1 a xa xa x 或 4 4 或 log0 0 1 1 a xax 则 1 0 1 ax 则 1414 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 对数恒等式 对数恒等式 且且 logaN aN 0a 1a 0N 推论推论 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0N 1515 对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a 1a 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 2 2 log loglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 3 3 4 4 loglog n aa MnM nR loglog m n a a n NN n mR m 1616 平均增长率的问题 负增长时平均增长率的问题 负增长时 0p 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为 则对于时间 则对于时间 的总的总px 产值产值 有 有 y 1 xyNp 1717 等差数列 等差数列 通项公式 通项公式 1 其中 为首项 d 为公差 n 为 1 1 n aand 1 a 项数 为末项 n a 2 推广 nk aank d 3 注注 该公式对任意数列都适该公式对任意数列都适 1 2 nnn aSSn 精品文档 7欢迎下载 用 用 前前 n n 项和 项和 1 其中 为首项 n 为项数 为末 1 2 n n n aa S 1 a n a 项 2 1 1 2 n n n Snad 3 注注 该公式对任意数列都该公式对任意数列都 1 2 nnn SSa n 适用 适用 4 注注 该公式对任意数列都该公式对任意数列都 12nn Saaa 适用 适用 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若的等差中项 则有 mnp aa a是 2n m p 成等差 mnp aaa 2 若 为等差数列 则为等差数列 n a n b nn ab 3 为等差数列 为其前 n 项和 则 n a n S 也成等差数列 232 mmmmm SSSSS 4 0 pqp q aq apa 则 5 1 2 3 n 2 1 nn 等比数列 等比数列 通项公式 通项公式 1 其中 为首项 n 为项 1 1 1 nn n a aa qqnN q 1 a 数 q 为公比 2 推广 n k nk aaq 3 注注 该公式对任意数列都该公式对任意数列都 1 2 nnn aSSn 适用 适用 前前 n n 项和 项和 1 注注 该公式对任意数列都适该公式对任意数列都适 1 2 nnn SSa n 精品文档 8欢迎下载 用 用 2 注注 该公式对任意数列都该公式对任意数列都 12nn Saaa 适用 适用 3 1 1 1 1 1 1 n n naq S aq q q 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若的等比中项 则有 mnp aa a是 n m p 成等比 2 mnp aaa 2 若 为等比数列 则为等比数列 n a n b nn ab 1818 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款 每次还款元元 贷款贷款 元元 次还清次还清 每每 1 1 1 n n abb x b an 期利率为期利率为 b 1919 三角不等式 三角不等式 1 1 若 若 则 则 0 2 x sintanxxx 2 2 若若 则 则 0 2 x 1sincos2xx 3 3 sin cos 1xx 2020 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin 2121 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 2222 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 辅助角辅助角 所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 a btan b a 2323 二倍角公式及降幂公式二倍角公式及降幂公式 sin2sincos 2 2tan 1tan 精品文档 9欢迎下载 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2 1tan 1tan 2 2tan tan2 1tan sin21 cos2 tan 1 cos2sin2 22 1 cos21 cos2 sin cos 22 2424 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x Rx R 及函数及函数 x R x R A A 为常数 为常数 sin yx cos yx 且且 A A 0 0 的周期的周期 函数 函数 A A 为为 2 T tan yx 2 xkkZ 常数 且常数 且 A A 0 0 的周期的周期 T 三角函数的图像 三角函数的图像 1 1 y sinx 2 2 3 2 2 3 2 2 o y x 1 1 y cosx 2 2 3 2 2 3 2 2o y x 2525 正弦定理正弦定理 R R 为为外接圆的半径 外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC sin sin sina b cABC 2626 余弦定理 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 2727 面积定理 面积定理 1 1 分别表示分别表示 a a b b c c 边上的高 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 2 2 abcS rr abc 斜边 内切圆直角内切圆 2828 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABC ABC 中 有中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 2929 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设 为实数 那么 为实数 那么 1 1 结合律 结合律 a a 2 2 第一分配律 第一分配律 a a a 3 3 第二分配律 第二分配律 a b a b 3030 与与 的数量积的数量积 或内积或内积 a b a b a b cos 3131 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 精品文档 10欢迎下载 1 1 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 2 2 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 3 3 设设 A A B B 则则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 则 则 a x yR a xy 5 5 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 x xy y 3232 两向量的夹角公式 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b ab xyxy a 11 x yb 22 xy 3333 平面两点间的距离公式 平面两点间的距离公式 A A B B A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 3434 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设 设 且 且 则 则 a 11 x yb 22 xyb 0 交叉相乘差为零 交叉相乘差为零 a b b a 1221 0 x yx y 0 0 对应相乘和为零 对应相乘和为零 a b a 0 a b 1212 0 x xy y 3535 线段的定比分公式线段的定比分公式 设 设 是线段是线段的分点的分点 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 是实数 且是实数 且 则 则 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 3636 三角形的重心坐标公式 三角形的重心坐标公式 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 11 A x y 则则 ABC ABC 的重心的坐标是的重心的坐标是 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 3737 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要条件 向量形式的充要条件 设设 为为所在平面上一点 角所在平面上一点 角所对边长分别为所对边长分别为 则 则OABC A B C a b c 1 1 为为的外心的外心 OABC 222 OAOBOC 2 2 为为的重心的重心 OABC 0OAOBOC 3 3 为为的垂心的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 4 为为的内心的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 5 为为的的的旁心的旁心 OABC A aOAbOBcOC 3838 常用不等式 常用不等式 1 1 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 22 2abab 2 2 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 2 ab ab 3 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 精品文档 11欢迎下载 4 4 bababa 5 5 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 22 2 22 ababab ab ab 3939 极值定理极值定理 已知已知都是正数 则有都是正数 则有yx 1 1 若积 若积是定值是定值 则当 则当时和时和有最小值有最小值 xypyx yx p2 2 2 若和 若和是定值是定值 则当 则当时积时积有最大值有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 3 3 已知 已知 若 若则有则有 a b x yR 1axby 2 1111 2 byax axbyabababab xyxyxy 4 4 已知 已知 若 若则有则有 a b x yR 1 ab xy 2 2 abaybx xyxyabababab xyxy 4040 一元二次不等式一元二次不等式 如果 如果 与与 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 同号 则其解集在两根之外 如果同号 则其解集在两根之外 如果 与与异号 异号 2 axbxc a 2 axbxc 则其解集在两根之间则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之间简言之 同号两根之外 异号两根之间 即 即 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 4141 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当 当 a a 0 0 时 有时 有 22 xaxaaxa 或或 22 xaxaxa xa 4242 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 4343 直线的五种方程 直线的五种方程 1 1 点斜式 点斜式 直线直线 过点过点 且斜率为 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 2 斜截式 斜截式 b b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距 ykxb l 3 3 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 1212 xxyy 两点式的推广 两点式的推广 无任何限制条件 无任何限制条件 211211 0 xxyyyyxx 4 4 截距式截距式 分别为直线的横 纵截距 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 00ab 5 5 一般式 一般式 其中其中 A A B B 不同时为不同时为 0 0 0AxByC 精品文档 12欢迎下载 直线直线的法向量 的法向量 方向向量 方向向量 0AxByC lA B lBA 4444 夹角公式 夹角公式 1 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线l l1 1与与l l2 2的夹角是的夹角是 12 ll 2 4545 到到 的角公式 的角公式 1 l 2 l 1 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线l l1 1到到l l2 2的角是的角是 12 ll 2 4646 点到直线的距离点到直线的距离 点点 直线直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 4747 圆的四种方程 圆的四种方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 0 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 3 圆的参数方程 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 4 圆的直径式方程 圆的直径式方程 圆的直径的端点是圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B x y 4848 点与圆的位置关系 点点与圆的位置关系 点与圆与圆的位置关系有的位置关系有 00 P xy 222 rbyax 三种 三种 若若 则 则点点 在圆外在圆外 22 00 daxby dr P 点点 在圆上在圆上 点点 在圆内在圆内 dr Pdr P 4949 直线与圆的位置关系 直线直线与圆的位置关系 直线与圆与圆的位的位0 CByAx 222 rbyax 置关系有三种置关系有三种 22 BA CBbAa d 0 交交rd0 交交rd0 交交rd 5050 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1 O O2 2 半径分别 半径分别 为为 r r1 1 r r2 2 则 则 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 精品文档 13欢迎下载 d d d 交交 交交交交 交交交交 r1 r2 r2 r1od 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 5151 椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是 离心率离心率 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 2 2 1 cb e aa 准线到中心的距离为准线到中心的距离为 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 2 a c 2 b p c 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a A 5252 椭圆椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的 22 22 1 0 xy ab ab 面积面积 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 12 2 1 tan 2 F PFP FPF Sc yb 5353 椭圆的的内外部椭圆的的内外部 1 1 点 点在椭圆在椭圆的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点 点在椭圆在椭圆的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 5454 椭圆的切线方程椭圆的切线方程 1 1 椭圆椭圆上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过椭圆 过椭圆外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆 椭圆与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 5555 双曲线双曲线的离心率的离心率 准线到中心的距离 准线到中心的距离 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 2 1 cb e aa 为为 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 过焦点且垂直于 过焦点且垂直于 2 a c 2 b p c 实轴的弦叫通经 其长度为 实轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a A 精品文档 14欢迎下载 焦半径公式焦半径公式 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 两焦半径与焦距构成三角形的面积两焦半径与焦距构成三角形的面积 12 2 1 cot 2 F PF FPF Sb 5656 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为 若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 2 若渐近线方程为若渐近线方程为双曲线可设为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 3 若双曲线与若双曲线与有公共渐近线 可设为有公共渐近线 可设为1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 焦点在 焦点在 x x 轴上 轴上 焦点在 焦点在 y y 轴上 轴上 0 0 4 4 焦点到渐近线的距离总是焦点到渐近线的距离总是 b 5757 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 1 1 双曲线双曲线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线过双曲线外一点外一点所引两条切线的切点弦方程所引两条切线的切点弦方程 22 22 1 xy ab 00 P xy 是是 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线 双曲线与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 xy ab 0AxByC 22222 A aB bc 5858 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式 pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 5959 二次函数二次函数的图象是抛物线 的图象是抛物线 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 1 1 顶点坐标为 顶点坐标为 2 2 焦点的坐标为 焦点的坐标为 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 3 3 准线方程是 准线方程是 2 41 4 acb y a 6060 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ABxxyy 精品文档 15欢迎下载 或或 2222 21211212 1 4 1tan 1tABkxxxxxxyyco 弦端点 弦端点 A A 由方程 由方程 消去消去 y y 得到得到 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax 为直线为直线的倾斜角 的倾斜角 为直线的斜率 为直线的斜率 0 ABk 2 121212 4xxxxx x 6161 证明直线与平面的平行的思考途径证明直线与平面的平行的思考途径 1 1 转化为直线与平面无公共点 转化为直线与平面无公共点 2 2 转化为线线平行 转化为线线平行 3 3 转化为面面平行 转化为面面平行 6262 证明直线与平面垂直的思考途径证明直线与平面垂直的思考途径 1 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 转化为该直线垂直于另一个平行平面 6363 证明平面与平面的垂直的思考途径 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 1 转化为判断二面角是直二面角 转化为判断二面角是直二面角 2 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 3 3 转化为两平面的法向量平行 转化为两平面的法向量平行 6464 向量的直角坐标运算 向量的直角坐标运算 设设 则 则 a 123 a a ab 123 b b b 1 1 a b 112233 ab ab ab 2 2 a b 112233 ab ab ab 3 3 R R a 123 aaa 4 4 a b 1 1223 3 aba ba b 6565 夹角公式 夹角公式 设设 则 则 a 123 a a ab 123 b b b 1 1223 3 222222 123123 cos aba ba b a b aaabbb 6666 异面直线间的距离异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为是两异面直线 其公垂向量为 是是上任一点 上任一点 CD n d n 12 l ln CD 12 l l 为为间的距离间的距离 d 12 l l 6767 点点 到平面到平面 的距离 的距离 B 精品文档 16欢迎下载 为平面为平面 的法向量 的法向量 是是 的一条斜线段 的一条斜线段 AB n d n n A AB 6868 球的半径是球的半径是 R R 则其体积 则其体积 其表面积其表面积 3 4 3 VR 2 4SR 6969 球的组合体 球的组合体 1 1 球与长方体的组合体球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体长方体的外接球的直径是长方体的体 对角线长对角线长 2 2 球与正方体的组合体球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 正方体的外正方体的外 接球的直径是正方体的体对角线长接球的直径是正方体的体对角线长 3 3 球与正四面体的组合体球与正四面体的组合体 棱长为棱长为 的正四面体的内切球的半径的正四面体的内切球的半径a 为为 6 12 a 正四面体高正四面体高的的 外接球的半径为外接球的半径为 正四面体高正四面体高 6 3 a 1 4 6 4 a 的的 6 3 a 3 4 7070 分类计数原理 加法原理 分类计数原理 加法原理 12n Nmmm 分步计数原理 乘法原理 分步计数原理 乘法原理 12n Nmmm 7171 排列数公式排列数公式 N N 且 且 m n A 1 1 mnnn mn n nmmn 规定 规定 1 0 7272 组合数公式 组合数公式 N N 且 且 m n C m n m m A Am mnnn 21 1 1 mnm n nmN mn 组合数的两个性质组合数的两个性质 1 1 2 2 规定规定 m n C mn n C m n C 1 m n C m n C 1 1 0 n C 7373 二项式定理二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 的展开式的系数关系 的展开式的系数关系 2 012 n n n f xaxbaa xa xa x 012 1 n aaaaf 012 1 1 n n aaaaf 0 0 af 7474 互斥事件互斥事件 A A B B 分别发生的概率的和 分别发生的概率的和 P AP A B P A B P A P B P B 个互斥事件分别发生的概率的和 个互斥事件分别发生的概率的和 P AP A1 1 A A2 2 A An n P A P A1 1 n P AP A2 2 P AP An n 7575 独立事件独立事件 A A B B 同时发生的概率 同时发生的概率 P A B P A B P A P B P A P B n n 个独立事件同时发生的概率 个独立事件同时发生的概率 P AP A1 1 A A2 2 A An n P A P A1 1 P AP A2 2 P AP An n 7676 n n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k k 次的概率 次的概率 精品文档 17欢迎下载 1 kkn k nn P kC PP 7777 数学期望 数学期望 1 122nn Ex Px Px P 数学期望的性质数学期望的性质 1 1 2 2 若 若 则则 E abaEb B n pEnp 3 3 若若 服从几何分布服从几何分布 且且 则 则 1 k Pkg k pqp 1 E p 7878 方差 方差 222 1122nn DxEpxEpxEp 标准差 标准差 D 方差的性质 方差的性质 1 1 2 D aba D 2 2 若 若 则 则 B n p 1 Dnpp 3 3 若若 服从几何分布服从几何分布 且且 则 则 1 k Pkg k pqp 2 q D p 方差与期望的关系 方差与期望的关系 2 2 DEE 7979 正态分布密度函数 正态分布密度函数 2 2 26 1 2 6 x f xex 式中的实数式中的实数 0 0 是参数 分别表示个体的平均数与标 是参数 分别表示个体的平均数与标 准差准差 对于对于 取值小于 取值小于 x x 的概率 的概率 2 N x F x 12201 xxPxxPxxxP 8080 在在处的导数 或变化率 处的导数 或变化率 xf 0 x 0 00 0 00 limlim x x xx f xxf xy fxy xx 瞬时速度 瞬时速度 00 limlim tt ss tts t s t tt 瞬时加速度 瞬时加速度 00 limlim tt vv ttv t av t tt 8181 函数函数在点在点处的导数的几何意义 处的导数的几何意义 xfy 0 x 函数函数在点在点处的导数是曲线处的导数是曲线在在处的切线的斜处的切线的斜 xfy 0 x xfy 00 xfxP 率率 相应的切线方程是 相应的切线方程是 0 x f 000 xxxfyy 8282 几种常见函数的导数 几种常见函数的导数 1 1 C C 为常数 为常数 2 2 3 3 0 C 1 n n xnxnQ xxcos sin 4 4 5 5 xxsin cos x x 1 ln 1 log log aa xe x 6 6 xx ee aaa xx ln 8383 导数的运算法则 导数的运算法则 精品文档 18欢迎下载 1 1 2 2 3 3 uvuv uvuvuv 2 0 uuvuv v vv 8484 判别判别是极大 小 值的方法 是极大 小 值的方法 0 xf 当函数当函数在点在点处连续时 处连续时 xf 0 x 1 1 如果在 如果在附近的左侧附近的左侧 右侧 右侧 则 则是极大是极大 0 x0 x f0 x f 0 xf 值 值 2 2 如果在 如果在附近的左侧附近的左侧 右侧 右侧 则 则是极小是极小 0 x0 x f0 x f 0 xf 值值 8585 复数的相等 复数的相等 abicdiac bd a b c dR 8686 复数复数的模 或绝对值 的模 或绝对值 zabi z abi 22 ab 8787 复平面上的两点间的距离公式 复平面上的两点间的距离公式 22 122121 dzzxxyy 111 zxy i 222 zxy i 8888 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程实系数一元二次方程 2 0axbxc 若若 则则 2 40bac 2 1 2 4 2 bbac x a 若若 则则 2 40bac 12 2 b xx a 若若 它在实数集 它在实数集 内没有实数根 在复数集内没有实数根 在复数集 内有内有 2 40bac RC 且仅有两个共轭复数根且仅有两个共轭复数根 2 2 4 40 2 bbac i xbac a 高中数学公式提升高中数学公式提升 一 集合 简易逻辑 函数一 集合 简易逻辑 函数 1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性 确定 互异 无序 已知集合 A x xy lgxy 集合 B 0 x y 且 A B 则 x y 2 研究集合 首先必须弄清代表元素 才能理解集合的意义 已知 集合 M y y x2 x R N y y x2 1 x R 求 M N 与集合 M x y y x2 x R N x y y x2 1 x R 求 M N 的区 别 3 集合 A B 时 你是否注意到 极端 情况 或 BA A 精品文档 19欢迎下载 求集合的子集时是否忘记 例如 BBA 对一切恒成立 求 a 的取植范围 你讨论 01222 2 xaxaRx 了 a 2 的情况了吗 4 对于含有 n 个元素的有限集合 M 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的个数依次为 如满足条件 n 2 12 n 12 n 2 2 n 的集合M共有多少个 4 3 2 1 1 M 5 解集合问题的基本工具是韦恩图 某文艺小组共有 10 名成员 每 人至少会唱歌和跳舞中的一项 其中 7 人会唱歌跳舞 5 人会 现从 中选出会唱歌和会跳舞的各一人 表演一个唱歌和一个跳舞节目 问有多少种不同的选法 6 两集合之间的关系 14 12 ZkkxxNZkkxxM 7 CUA CU B CU A B CUA CUB CU A B BBA AB 8 可以判断真假的语句叫做命题 逻辑连接词有 或 且 和 非 p q 形式的复合命题的真值表 真且真 同假或假 真且真 同假或假 pq P 且 qP 或 q 真真真真 真假假真 假真假真 假假假假 9 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若 则 q 逆否命题 若 则 精品文档 20欢迎下载 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 10 你对映射的概念了解了吗 映射 f A B 中 A 中元素的任意 性和 B 中与它对应元素的唯一性 哪几种对应能够成映射 11 函数的几个重要性质 如果函数对于一切 都有或 f 2a xfy Rx xafxaf x f x 那么函数的图象关于直线对称 xfy ax 函数与函数的图象关于直线对称 xfy xfy 0 x 函数与函数的图象关于直线对称 xfy xfy 0 y 函数与函数的图象关于坐标原点对称 xfy xfy 若奇函数在区间上是递增函数 则在区间 xfy 0 xfy 上也是递增函数 0 若偶函数在区间上是递增函数 则在区间 xfy 0 xfy 上是递减函数 0 函数的图象是把函数的图象沿 x 轴向左 axfy 0 a xfy 平移 a 个单位得到的 函数 的图象是把函数 axfy 0 a 的图象沿 x 轴向右平移个单位得到的 xfy a 函数 a的图象是把函数助图象沿 y 轴向上平移 xfy 0 a xfy a 个单位得到的 函数 a的图象是把函数助图象 xfy 0 a xfy 沿 y 轴向下平移个单位得到的 a 12 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时 你标注了该函数 的定义域了吗 13 求函数的定义域的常见类型记住了吗 函数 y 的定义域 2 3lg 4 x xx 是 复合函数的定义域弄清了吗 函数的定义域是 0 1 求 xf 的定义域 函数的定义域是 求函数 log 5 0 xf xfba 0 ab 的定义域 xfxfxF 14 一个函数的奇偶性时 你注意到函数的定义域是否关于原点对 称这个必要非充分条件了吗 在公共定义域内 两个奇函数的 乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数 一个奇函数与一个 偶函数的乘积是奇函数 15 据定义证明函数的单调性时 规范格式是什么 取值 作差 判正负 可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法 导数也是判定函数单调性的一种重要方法 精品文档 21欢迎下载 16 函数的单调区间吗 该函数在和上 0 a x a xy a a 单调递增 在 0 a 和上单调递减 这可是一个应用广泛的函数 a 0 17 函数问题时 你注意到真数与底数的限制条件了吗 真数大 于零 底数大于零且不等于 1 字母底数还需讨论呀 18 换底公式及它的变形 你掌握了吗 bb a b b a n a c c a n loglog log log log 19 你还记得对数恒等式吗 ba b a log 20 实系数一元二次方程有实数解 转化为 0 2 cbxax 你是否注意到必须 当 a 0 时 方程有解 04 2 acb0 a 不能转化为 若原题中没有指出是 二次 方程 函04 2 acb 数或不等式 你是否考虑到二次项系数可能为零的情形 二 三角 不等式二 三角 不等式 21 三角公式记住了吗 两角和与差的公式 二倍角公式 解题时本着 三看 的基本原 则来进行 看角 看函数 看特征 基本的技巧有 巧变角 公式 变形使用 化切割为弦 用倍角公式将高次降次 22 在解三角问题时 你注意到正切函数 余切函数的定义域了吗 正切函数在整个定义域内是否为单调函数 你注意到正弦函数 余弦函数的有界性了吗 23 在三角中 你知道 1 等于什么吗 xxxx 2222 tanseccossin1 这些统称为 1 的代换 常数 1 0cos 2 sin 4 tancottan xx 的种种代换有着广泛的应用 还有同角关系公式 商的关系 倒数关系 平方关系 诱导公试 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 24 在三角的恒等变形中 要特别注意角的各种变换 如 等 222 25 你还记得三角化简题的要求是什么吗 项数最少 函数种类最 少 分母不含三角函数 且能求出值的式子 一定要算出值来 26 你还记得三角化简的通性通法吗 切割化弦 降幂公式 用 三角公式转化出现特殊角 异角化同角 异名化同名 高次化低 次 你还记得降幂公式吗 cos2x 1 cos2x 2 sin2x 1 cos2x 精品文档 22欢迎下载 2 27 你还记得某些特殊角的三角函数值吗 4 15 18sin 4 26 15cos75sin 4 26 75cos15sin 28 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗 lrSrl 2 1 扇形 29 辅助角公式 其中 角所在的象限 xbaxbxasincossin 22 由 a b 的符号确定 角的值由确定 在求最值 化简时 a b tan 起着重要作用 30 三角函数 正弦 余弦 正切 图象的草图能迅速画出吗 能 写出他们的单调区 对称轴 取最值时的 x 值的集合吗 别忘 了 k Z Z 三角函数性质要记牢 函数 y k 的图象及性质 sin xA 振幅 A 周期 T 若 x x0为此函数的对称轴 则 x0是使 y 取 2 到最值的点 反之亦然 使 y 取到最值的 x 的集合为 当时函数的增区间为 减区间为 0 0 A 当时要利用诱导公式将 变为大于零后再用上面的结论 0 五点作图法 令依次为 求出 x 与 y 依点 x 2 2 3 2 0 作图 yx 31 三角函数图像变换还记得吗 平移公 1 如果点 P x y 按向量 平移至 kha P x y 则 kyy hxx 2 曲线 f x y 0 沿向量平移后的方程为 kha f x h y k 0 32 有关斜三角形的几个结论 1 正弦定理 2 余弦定理 3 面 积公式 33 在用三角函数表示直线的倾斜角 两条异面直线所成的角等时 你