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三 环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一 斯托克斯公式 二 空间曲线积分与路径无关的条件 四 向量微分算子 第十一章 1 一 斯托克斯 stokes 公式 斯托克斯公式 2 是有向曲面的正向边界曲线 右手法则 证明 如图 3 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 4 1 5 根椐格林公式 平面有向曲线 2 空间有向曲线 6 同理可证 故有结论成立 7 另一种形式 便于记忆形式 8 Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系 9 二 简单的应用 解 按斯托克斯公式 有 10 11 解 则 12 即 13 例3 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 计算 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 14 三 空间曲线积分与路径无关的条件 定理2 设G是空间一维单连通域 具有连续一阶偏导数 则下列四个条件相互等价 1 对G内任一分段光滑闭曲线 有 2 对G内任一分段光滑曲线 与路径无关 3 在G内存在某一函数u 使 4 在G内处处有 15 证 由斯托克斯公式可知结论成立 自证 设函数 则 16 同理可证 故有 若 3 成立 则必有 因P Q R一阶偏导数连续 故有 同理 证毕 17 与路径无关 并求函数 解 令 积分与路径无关 因此 例4 验证曲线积分 18 四 物理意义 环流量与旋度 1 环流量的定义 19 利用stokes公式 有 2 旋度的定义 20 21 设某刚体绕定轴l转动 M为刚体上任一 点 建立坐标系如图 则 点M的线速度为 此即 旋度 一词的来源 旋度的力学意义 22 斯托克斯公式的又一种形式 其中 23 斯托克斯公式的向量形式 其中 24 Stokes公式的物理解释 25 解 由力学知道点的线速度为 观察旋度 由此可看出旋度与旋转角速度的关系 26 例6 求电场强度 的旋度 解 除原点外 这说明 在除点电荷所在原点外 整个电场无旋 27 的外法向量 计算 解 例7 设 28 五 向量微分算子 定义向量微分算子 它又称为 Nabla 算子 或哈密顿 Hamilton 算子 则 29 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成 30 六 小结 斯托克斯公式的物理意义 斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式 31 思考与练习 则 提示 三式相加即得 32 练习题 33 34 练习题答案 35 斯托克斯 1819 1903 英国数学物理学家 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 后称之 为纳维 斯托克斯方程 1
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