函数的奇偶性习题.ppt

函数奇偶性 函数奇偶性的概念 偶函数定义 如果对于f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫奇函数 对奇函数 偶函数定义的说明 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 前提条件 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出相应结论 判断函数的奇偶性 判断下列函数是否具有奇偶性 1 f x x x3 x5 2 f x x2 1 3 f x x 1 4 f x x2 x 1 3 分析 先求定义域 再判断f x 与f x 的关系 解析 1 函数f x x x3 x5的定义域为R 当x R x R f x x x3 x5 x x3 x5 f x f x x x3 x5为奇函数 2 函数f x x2 1的定义域为R 当x R x R f x x 2 1 x2 1 f x f x x2 1是偶函数 3 函数f x x 1的定义域是R 当x R时 x R f x x 1 x 1 f x x 1 f x f x 且f x f x x R f x x 1既不是奇函数 也不是偶函数 4 因为函数的定义域关于原点不对称 存在3 1 3 而 3 1 3 f x x2 x 1 3 既不是偶函数 也不是奇函数 点评 定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提 练习 判断下列函数的奇偶性 1 2 3 4 说明 根据奇偶性 函数可划分为四类 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 题2 已知函数且f 2 10 则f 2 等于 A 26B 18C 10D10 A 1 2 函数f x g x 在区间 a a a 0 上都是奇函数 则下列结论 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是偶函数 f 0 g 0 0 其中正确的个数是 4 跟踪训练 2 偶函数f x x R 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 使f x 0的自变量范围是 A 4 4 B 4 1 1 4 C 4 1 0 D 4 1 0 1 4 解析 根据题目条件 想象函数图象如下 答案 B 利用函数的奇偶性求函数的解析式 已知函数f x 是定义在 上的偶函数 当x 0 时 f x x x4 求当x 0 时 f x 的表达式 解析 当x 0 时 x 0 因为x 0 时 f x x x4 所以f x x x 4 x x4 因为f x 是定义在 上的偶函数 所以f x f x 所以f x x x4 跟踪训练 3 若f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 求当x 0时 函数f x 的解析式 分析 将x0上 这是解决本题的关键 解析 由f x 是奇函数 当x 0时 f x f x x 1 x x 1 x 当x 0时 f 0 f 0 f 0 f 0 02f 0 0即f 0 0 当x 0时 f x x 1 x 1 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出相应结论 2 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 3 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 4 函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 5 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 6 奇函数在其对称区间上的单调性相同 函数值相反 7 偶函数在其对称区间上的单调性相反 函数值相同 8 设f x g x 有公共的定义域 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 题5 定义在R上的函数f x 满足 任意x y R 有f x y f x f y 当x 0 f x 0 f 1 2 求证 1 判断函数f x 的奇偶性 2 f x 在R上是减函数 3 求函数在区间 3 3 上的最值 练习 已知函数f x